3.3.4两条平行直线间的距离

1、疱丁巧解牛 知识巧学 一、两条平行直线间的距离 1公式：一般地，已知两条平行直线 IG C2 | li： Ax+By+C 1=0, I2： Ax+By+C 2=0(CiM,则这两条平行直线间的距离为d=- Ja2 + b2 2公式的得出：已知两条平行直线 li： Ax+By+C 1=0 , I2： Ax+By+C 2=0(CiM,求两平行线间 的距离发现两条平行线的方程经过变形都可化为li： Ax+By+C 1=0, I2： Ax+By+C 2=0的形 式在I1 上任取一点P(0, - C1),点P到|2的距离经化简为d= |C1二C2 1，发现这个距离 B,A2B2 只与x、y的系数和两个常

2、数项有关，且关系明显，我们把它作为求两条平行线间的距离公 式 即：一般地，已知两条平行线11： Ax+By+C 1=0, I2： Ax+By+C 2=0(6之2).设 P(x, y) 是直线I2上的任意一点，贝V Ax 0+By 0+C2=0，即卩Ax 0+By 0=-C2.于是，点P(X0, y0)到直线I1 : Ax+By+C 1=0 的距离 d= I A/ By C1 | = IC1 CJ 就是两平行直线 I1与I2 之间的距离 . Ja2+b2#a2 + b2 3另外，两平行线的方程用点斜式方程表示为：11： y=kx+b1, I2： y=kx+b 2，那么两平行线间 的距离d=|b1

3、 -b2 1 j1+k2 误区警示 两平行线间的距离的求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两 平行线间距离公式 d= |CC2 1，在应用平行线间距离公式时要注意前提：除了要将直线 PA2 +B2 方程化为一般形式之外，还要使x、y的系数分别相等否则不能直接套用公式这是在应用中 经常出现的一个错误，同学们要特别注意 问题探究 12 冋题1对于一个三角形 ABC ,如果已知点A(0, - ) B(- ,0),点C在已知直线1: 3x+4y+3=0 23 上滑动，那么三角形 ABC的面积是否随着点 C的变化而变化呢？ 探究：由A、B两点的坐标可以得出三角形ABC中边AB所在直线的方程

4、为 3x+4y-2=0，显 然与直线3x+4y+3=0平行而三角形ABC的面积等于 AB线段长与AB边上的高的乘积的一 5 半而|AB|=, AB边上的高即为 C点到直线AB的距离，而 C在直线3x+4y+3=0上滑动， 6 所以高即为两平行直线3x+4y+3=0与3x+4y-2=0的距离，无论 C点如何变化，高恒为定值 丨3 2|11 55 h=1，所以abc= |AB| d=1所以三角形 ABC的面积不随点 C的 522 612 变化而变化 问题2 什么是两条平行线之间的距离 ？它有什么特点？这个距离的公式是什么？有什么要求与特点， 是否适合于任意的两条平行直线? 探究：两条平行线间的距离

5、是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，平行线间的距离处处相 等.对于两条平行直线1仁Ax+By+C 1=0 , I2： Ax+By+C 2=0(Ci工,距离为d= |Cl C2 1 .要 QA 卡 B2 求在应用公式前必须将两直线方程表示为一般式，且 x、y的对应系数一致，在此前提下, 这个公式适合于任意两平行直线，包括斜率不存在的直线也成立 典题热题 例1与两平行直线 h:3x-4y-5=0和b:3x-4y+7=0距离之比为1 : 2的直线方程为() A.3x-4y-仁0 或 3x-4y+19=0B.3x-4y+3=0 或 3x-4y-仁0 C.3x-4y-1=0 或 3x-4y-17=0D.

6、3x-4y+3=0 或 3x-4y+19=0 思路解析：方法一(排除法)由题意知，所求直线一条在11、12的内侧，另一条在h、12所夹带 形区域的外侧，且靠近l1的部分，3x-4y+19=0在靠近l2的外侧部分，不合题意，故舍去A、 12 二 C | 2一3厂42 D.又B中两条均在11、-的内侧，不成立，故选 C. 方法二：(应用平行线间距离公式) 由题意，设所求方程为 3x-4y+c=0，由 |C_G I 0. 二 d4-90d2 w 0# 0d ,10 . 当两直线斜率不存在时，两直线分别为x=6, x=-3，则d=9 , 因为dmax=*10,此时k=竺P3. 2(81 d ) 两直线方程为 3x+y-16=0,3x+y+10=0. 深化升华本题若从问题的几何背景考虑，易知分别过 A、B的一切平行线的距离均不超过 A、B两点的距离丨AB当且仅当两平行线与直线AB垂直时，