数学思想方法之数形结合思想

1、专题专题数学思想方法数学思想方法 第二讲第二讲 数形结合思想数形结合思想 2数形结合思想 (1) 就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互 转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅 形”两个方面 (2) 数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结 合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象 思维为形象思维， 有助于把握数学问题的本质， 发现解题思路， 而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程 (3) 数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选择题、填 空题中更显其优越， 要注意培养这种思想意识， 做到心中有图， 见数想图，以开拓自己的思维视野 . ? ?

2、 探究点二探究点二 数形结合思想的应用数形结合思想的应用 例 2 (1)已知函数 yx 3 3 xc的图象与 x轴恰有两个公 共点，则 c( ) A2或2 B9或3 C1或1 D3或1 (2)2012 浙江卷 定义：曲线C上的点到直线l的距离的 最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离已知曲线 C1：yx2a 到直线 l：yx的距离等于曲线C2：x2(y4) 2 2到直线 l： yx的距离，则实数a_. 答案 (1)A (2) 9 4 解析 (1) 若函数 yx33 xc的图像与x轴恰有两个公共 点，则说明函数的两个极值中有一个为 0.函数的导数为y3 x2 3，令 y3 x 2 30，解得 x

3、1，可知极大值为f(1)2 c，极小值为 f(1) c2.由 f(1)2c0，解得c2，由 f(1) c20，解得 c2，所以c2或c2，选A. (2) 方法 1：曲线C2：x2(y4) 2 2到直线 l：yx 的距离为 圆心到直线的距离与圆的半径之差，即 dr| 4| 2 22.由y x 2 a可得 y2x，令y2x1，则x1 2 ，在曲线 C1上对应 的点 P ? ? ? ? ? ? 1 2 ，1 4 a，所以曲线 C1到直线l的距离即为点P 1 2 ，1 4 a到 直线 l的距离，故? ? ? ? ? ? 1 2 1 4 a 2 ? ? ? ? ? ? 1 4 a 2 ， 所以 ? ?

4、? ? ? ? 1 4 a 2 2， 可得 ? ? ? ? ? ? a1 4 2，a 7 4 或 a9 4 ，当a 7 4 时，曲线 C1：yx27 4 与直线 l：y x相交，两者距离为 0，不合题意，故a9 4 . 方法2： 圆到直线的距离求法同方法1.设曲线yx 2 a上点的 坐标为(x，x 2 a)，根据点到直线的距离公式得 d|x 2 xa| 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x1 2 2 a1 4 2 ? ? ? ? ? ? a1 4 2 2，且只能a1 4 0，否则直线yx 与 曲线yx 2 a相切或者相交，故a1 4 2，即a9 4 . 点评 本例两个

5、题目中都没有确定是图形问题， 但是在解题中 我们是借助图形找到“数式”所满足的条件的，这是数形结合思想 的主要方面，即“以形助数” 变式题(1)在OAB中，M是 AB的中点，N是OM的 中点，若 OM2 ，则NO (NA NB )_. 答案 (1)-2 解析 如图， 延长 NM到点C，使得MCNM.连接AC，BC. 根据向量的几何运算法则，可得 NA NB NC OM ， 而NO 1 2 OM ，所以NO (NA NB )1 2 |OM | 2 2. ?技巧 有些图形问题， 单纯从图形上无法看出问题的结论， 这 就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的 ?易错 使用函数思想时注意

6、函数的定义域， 使用方程思想时注 意方程解的合理性； 在解答题中数形结合思想是探究解题思路使用 的，不能使用形的直观代替相关的计算和推理论证. 创新意识数形结合与创造性解题 示例 2012 浙江卷 设aR， 若x0时均有 ( a1) x 1( x 2 ax1)0，则 a_. 解析 令 y 1? ? ? ? ? ? a1x1 ，y2x2ax1，如图 719 1，则 函数 y 1? ? ? ? ? ? a1x1 ，y2x2ax1都过定点 P? ? ? ? ? ? 0，1.考查函数 y 1 ? ? ? ? ? ? a1x1 ，令y0，得M? ? ? ? ? ? ? ? 1 a1 ，0，同时只有a10

7、即a1时 才有可能满足 x? ? ? ? ? ? 0， 时，y1y20； 图7191 考查函数 y 2 x2ax1，显然只有过点M ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a1 ，0 时才能满足 x ? ? ? ? ? ? 0， 时，y 1y2 0，代入得 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 a1 2 a a1 10，可得 ? ? ? ? ? ? a12a? ? ? ? ? ? a11 0,2 a23a0，解 得 a 3 2 或 a0，舍去a0，得答案a 3 2 . 跟踪练跟踪练 1函数y 2sinx 3cosx的值域是 _ 答案 ? ? ? ? ? ? ? ? 33 4 ，3 3 4 解析 函数

8、y的几何意义是指坐标平面上定点A(3,2)与动点 M(cosx，sinx)连线的斜率，而动点M的两坐标的平方和为1，动点 M是坐标平面内单位圆上的点组成的， 问题等价于求定点A和单位 圆上的动点连线斜率的取值范围 如图，函数 y的值域的两个端点， 就是过点 A的单位圆的两条切线AM，AN的斜率，设切线方程为y 2k(x3)， 即kxy3 k20， 圆心到直线的距离为 |3 k2| 1k 2 ， 这个距离等于圆的半径，即 |3 k2| 1k 2 1，解得k3 3 4 ，故所求的 函数值域为 ? ? ? ? ? ? ? ? 33 4 ，3 3 4 . 2 已知： y f(x)是最小正周期为 2的函

9、数， 的函数， 当当 x 1,1 时，f(x)x 2 ，则函数，则函数 y f(x)(xR)图象与 y |log 5 |x|图象的 交点的个数是交点的个数是( ) A 8 B9 C 10 D12 答案 C 解析 因函数yf(x)(xR)与y|log 5|x|均为偶函数，故研究 它们在 y右侧交点情况即可，作函数图像如图所示从图可知，当 0 x5时没有交点， 故在 y右侧交点个数为5， 由对称性知， 在y轴左侧交点个数也是5， 则两个函数图像交点个数为 10. 选C. 【针对训练 1】(1) 2016山东重点高中模拟若实数 a 满足 alg a4，实数 b 满足 b10b4，函数 f(x) ?

10、? ? ? ? x 2?ab?x2，x0， 2，x0， 则关于 x的方程 f(x)x的根的个 数是( ) A1 B2 C3 D4 解析 在同一坐标系中作出y 10 x，ylg x以及y4x的图 象，其中y10 x，ylg x的图象 关于直线yx对称，直线yx与 y4x的交点为(2,2)，所以a b4，f(x) ? ? ? ? ? x 24x2，x0， 2，x0， 当x0 时，由x 24x2x可得，x1或2；当x0时，易知x 2，所以方程f(x)x的根的个数是3. (2)2014 全国卷已知偶函数f(x)在0，)上单调递 减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_ (1,3) 解析 作出

11、函数f(x)的大致图象如图所示， 因为f(x1)0，所以2x12， 解得1x3. 则x的取值范围为(1,3) 【针对训练 2】 (1)使 log2(x)x1 成立的 x的取值 范围是_ (1,0) 解析 在同一坐标系中，分别作出ylog2(x)，yx1的图 象，由图可知，x的取值范围是(1,0) (2)若不等式|x2a|1 2xa1对xR恒成立，则a的取 值范围是_ ? ? ? ? ? ? ? ? ， 1 2 解析 作出y |x 2a|和y 1 2 xa1的简图，依题意 知应有2a22a，故a 1 2. 【针对训练 3】 (1)已知圆 C：(xa)2(yb)21， 平面区域 ： ? ? ? ?

12、 ? xy70， xy30， y0. 若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2b2的最大值为( ) A5 B29 C37 D49 解析 由已知得平面区域为MNP内部及边 界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1 与xy70的交点A(6，1)处时，amax6.a2b2的最大 值为621237.故选C. (2)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是 圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是 圆心，则四边形PACB面积的最小值为_ 2 2 解析 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y 80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形 PAC的面积SRt PAC 1 2 |