(完整版)解三角形知识点归纳总结

1、第一章解三角形.正弦定理:1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径，即abc2R（其中R是三角形外接圆的半径）sin Asin Bsi nC2.变形：1)a bcabcsinsinsi nCsinsinsi nC2）化边为角：a :b: csin A:sin B:sin C -asi nA. bsin B asin AbJsin B csin C csin C 3）化边为角：a2Rsin A,b 2Rsi nB,c 2Rs inC4）化角为边：sin Aa .Jsin Bb si nA asin Bbsin Cc sin C c5）化角为边：sin

2、Aasin Bbc,si nC2R2R2R3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角; 例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180,求角A,由正弦定理-Sn) - Sn b sin B c sin Ca sin A t;求出b与cc sin C 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正b sin B弦定理a泄求出c边c sin C4. ABC中，已知锐角A,边b,贝U a bsin A时，B无解； a bsinA或a b时，B有一个解; bsin

3、A a b时，B有两个解。如：已知A 60 ,a 2,b2.3,求B（有一个解）已知A 60 , b 2,a2 3,求B （有两个解）注意：由正弦定理求角时，注意解的个数.三角形面积1. Sabcabs inC2bcsin A2acs inB22. S abc -(a b c)r ,其中r是三角形内切圆半径.2 13. Sabc JP(P a)( p b)( p c),其中 p 2(a b c),4. s ABC abc,R为外接圆半径4R5. S ABC 2R2sin A si n Bsin C ,R 为外接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这

4、两边与它们夹角的余弦的积的2 倍,即2 ab22 c2bccos Ab22 a2 c2accos B2 c2 ab22abcosCb222ca2.变形：cos A -2bc2 2 . 2 a c b cosB2aca2 b2 c2cosC2ab注意整体代入，如：a2 c2 b2 ac cosB -23利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、c是C的角 、C的对边，贝U:F 4占立亡小営卫 0 J 90 若，所以V为锐角 若c2 b2 a2 A为直角2T2J +A2 亡 0 eos4 = 90* 若,所以以为钝角，则4亠是 钝角三角形4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三

5、个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 四、应用题1. 已知两角和一边（如 A、B、C）,由A+B+C= n求C,由正弦定理求a、b.2. 已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= n ,求另一角.3. 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C =冗求C,再由正弦定理或余弦定理求 c边，要注意解可能有多种情况.4. 已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C= n，求角C.5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心， 将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所

6、成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度， 北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上 方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180 （A+B）;2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：.八-：，：二，：“ ；两边之差小于第三边：川 -,：，；* ；3） 在同一个三角形中大边对大角：A B a b sin A sin B4）三角形内的诱导公式：sin（A B） si nC, cos（A B） cosC, tan （A B） tanC,AB

7、“C、tantan( )2 2 2CC、sin( )cos()22_2_cos(C)sin(C)2 2 25)两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)si n( aB ) = sin a cos B 土 cos a sin B .(2)cos(a= cos ocos B?sin ain Btan aa n Btan( aB = 1?tan aan B6)二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 a= 2sin a cos a .(2)cos 22 . 2a = cos a Sin a=2cos? a 1 = 1 2sin 1 2 a . sin2 tan 22ta n a1 tan2 a7）三角形的五心：垂心一一三角形的三边上的高相