数列求和与数列综合应用 优质课件

1、第 7 讲 数列求和与数列综合应用 第第 7 7 讲讲 数列求和与数列综合应用数列求和与数列综合应用 主干知识整合 第第 7 7 讲讲 主干知识整合主干知识整合 数列求和常用的方法 (1)公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公 式特别提示：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1 的关系，必要时需分类讨论；常用公式：123n 1 2n(n1)， (2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将 “和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 第第 7 7 讲讲 主干知识整合主干知识整合 (3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共 性或数列的通项与组合数相关联， 则常可考虑

2、选用倒序相加法， 发挥其共性的作用求和 (这也是等差数列前 n 项和公式的推导方 法) (4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项 与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法 (这也 是等比数列前 n 项和公式的推导方法 ) (5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形 式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和 (6)通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再 运用分组求和法求和 要点热点探究 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 ? 探究点一 数列求和 例 1 等比数列的首项为 a，公比为 q，Sn为前 n 项的和， 则 S1S2Sn_.

3、 【答案】【答案】 ? ? ? ? ? ? ? n?n1? 2 a，q1， na 1q aq?1qn? ?1q? 2 ，q1. 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 【解析】【解析】 当 q1 时，ana，Snna， S1S2Sn(12n)an?n1? 2 a； 当 q1 时， 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 Sn a?1qn? 1q ，S1S2Sn a 1q(1 q)(1q2)(1qn) a 1q n(qq2qn) a 1q? ? ? ? ? ? ? ? nq?1q n? 1q na 1q aq?1qn? ?1q? 2 . 【点评】【点评】 等比数列an求和时必须注意：

4、(1)当条件中 注明 q1(或 q1 没有意义 )时，可直接使用公式Sn a1?1qn? 1q ；(2)当 q1 有意义时，应分成两种情况：当 q 1 时，Snna 1；当 q1 时，Sn a1?1qn? 1q . 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 已知 log3x 1 log23， 则 xx 2x3xn 的前 n 项和为_ 【答案】 1 1 2n 第 7 7 讲 要点热点探究 【解析】 由 log3x 1 log23? log3xlog32? x 1 2. 由等比数列的求和公式得 Snxx2x3xn x?1xn? 1x 1 2? ? ? ? ? ? 1 1 2 n 11 2 1

5、1 2n. 第 7 7 讲 要点热点探究 第 7 7 讲 要点热点探究 ? 探究点二 数列与其他知识的综合问题 例 2 在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2， y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数 n，点 Pn位于函数 y3x13 4 的图象上，且 Pn的横坐标构成以 5 2为首项，1 为公差的等差数列 xn (1)求点 Pn的坐标； 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 (2)设抛物线列 c1，c2，c3，cn，中的每一条的对称 轴都垂直于 x 轴，第 n 条抛物线 cn的顶点为 Pn，且过点 Dn(0， n 21)，设与抛物线 c n 相切于 Dn的直线的斜率

6、为 kn， 求： 1 k1k2 1 k2k3 1 kn1kn； (3)设 S? ? ? ? ? ? ? ? ? x|x2xn，nN*，Ty|y4yn，nN*，等差 数列an的任一项 anST，其中 a1 是 ST 中的最大数， 265a10125，求an的通项公式 第 7 7 讲 要点热点探究 【解答】 (1)xn 5 2(n1)(1)n 3 2， yn3xn 13 4 3n5 4，P n ? ? ? ? ? ? n3 2，3n 5 4 . 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 (2)cn的对称轴垂直于 x 轴， 且顶点为 Pn.设 cn的方程为 ya ? ? ? ? ? ? ? ?

7、x 2n3 2 212n5 4 ， 把 Dn(0，n 21)代入上式，得 a1， cn的方程为 yx2(2n3)xn 21. kny|x02n3， 1 kn1kn 1 ?2n1? 2n3? 1 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 2n1 1 2n3 ， 1 k1k2 1 k2k3 1 kn1kn 1 2 1 5 1 7 1 7 1 9 1 2n1 1 2n3 1 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 1 2n3 1 10 1 4n6 n1 10n15. (3)Sx|x(2n3)，nN*， Ty|y(12n5)，nN*y|y2(6n1)3，n N*， STT，T 中最大数 a117. 第第

8、 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 设an公差为 d，则 a10179d(265，125)， 由此得 248 9 d12，又anT，d12m(mN*)， d24，an724n(nN*) 【点评】 本题是数列与解析几何问题综合，难度较 大，近三年江苏对数列的考查很少与其他知识交汇，数列 与其他知识交融是命题的冷点，复习时仍要关注 第 7 7 讲 要点热点探究 第 7 7 讲 要点热点探究 ? 探究点三 数列中的探索性问题 例 3 已知负数 a 和正数 b，令 a1a，b1b，且对任意的正 整数 k，当a kbk 2 0 时，有 ak1ak，bk1a kbk 2 ；当a kbk 2 bn1？

9、请 说明理由 (3)若对任意的正整数 n，都有 b2n1b2n，且 b2nb2n1，求 bn的表达式 第 7 7 讲 要点热点探究 【解答】 (1)当 akbk 2 0 时，bk1ak1 akbk 2 ak bkak 2 ； 当a kbk 2 b n1，即 an an1. 所以 anan1a1a，又 bnan(ba) ? ? ? ? ? ? 1 2 n1， 所以 bna(ba) ? ? ? ? ? ? 1 2 n1， 又a nbn 2 0，即 a(ba) ? ? ? ? ? ? 1 2 n0，即 2nab a ， 因为 ab a 是常数，故 2nab a 不可能对任意正整数 n 恒成 立 故不

10、存在 a，b，使得对任意的正整数 n 都有 bnbn1. (3)由 b2n1b2n，可知 a2n1a2n，b2na 2n1b2n1 2 ， 所以 b2na 2nb2n1 2 ， 即 b2nb2n1(b2na2n)(ba) ? ? ? ? ? ? 1 2 2n1. 又 b2nb2n1，故 b2n1b2n1(b2na2n)(ab) ? ? ? ? ? ? 1 2 2n1， 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 b2n1(b 2n1b2n3)(b2n3b2n5)(b3b1)b1 (ab) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2n3 ? ? ? ? ? ? 1 2 2n5

11、? ? ? ? ? ? 1 2 1 b (ab) 1 2? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 4 n1 11 4 b2 3(ab)? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 4 n1 b. 当 n 为奇数时，令n2m1，可得 bnb2m1 2 3(a b)? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 4 m1 b2 3(ab)? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 n1 b， 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 当 n 为偶数时，可得 bnbn12 3(ab)? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 n b， 故 b

12、n ? ? ? ? ? 2 3?ab? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 n1 b，?n为奇数?， 2 3?ab? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 1 2 n b，?n为偶数?. 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 【点评】【点评】 对于数列中的探索性问题，和解决其他 探索性问题一样，需要从特殊情况出发，经过观察、试 验、类比、归纳证明一般性结论 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 第 7 7 讲 要点热点探究 ? 探究点四 数列应用题 例 4 公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每 年交纳的数目均比上一年增加 d(d0)，历年所交

13、纳的储备金数 目 a1，a2，是一个公差为 d 的等差数列与此同时，国家给 予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利如果 固定年利率为 r(r0)，那么，在第 n 年末，第一年所交纳的储 备金就变为 a1(1r)n 1，第二年所交纳的储备金就变为 a 2(1 r)n 2，.以 T n 表示到第 n 年末所累计的储备金总额 求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列， Bn是一 个等差数列 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 【解答】【解答】 T1a1，对 n2 反复使用上述关系式，得 TnTn1(1r)anTn2(1r) 2a n1(1r)an a1(1r) n1a 2(1r

14、) n2a n1(1r)an， 在式两端同乘 1r，得 (1r)T na1(1r) n a2(1r) n1a n1(1r) 2a n(1 r) ，得 rT na1(1r) nd(1 r) n1(1r)n2 (1r)an d r (1r) n1ra 1(1r) na n. 即 Tna 1rd r 2(1r) nd r na 1rd r 2. 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 如果记 Ana 1rd r 2(1r) n，B n a1rd r 2d r n， 则 TnAnBn. 其中An是以 a1rd r 2(1r)为首项，以 1r(r0) 为公比的 等比数列；Bn是以 a1rd r 2

15、d r 为首项， d r 为公差的等差数 列 第第 7 7 讲讲 要点热点探究要点热点探究 【点评】【点评】 数列在实际生活中有着广泛的应用， 同时也 是高考考查的重要内容解决实际问题建立数列模型主要 有：(1)等差数列模型；(2)等比数列模型；(3)等差等比综合 运用模型 运用数学知识和数学方法解决生产和生活实际问题是 数学社会功能化的需要环境保护，生态平衡越来越成为 人们关注的热点之一，也必然成为高考的热点问题之一， 本题具有一定的生活背景和文化背景，对学生要求既要有 坚实的基础知识，又要有良好的思维能力和分析、解决问 题的能力 第第 7 7 讲讲 规律技巧提炼规律技巧提炼 规律技巧提炼

16、1方程思想：等差(比)数列的通项公式，数列的求 和公式都是等式，可以说，数列的学习离不开方程由 于数列与方程之间存在着这种“天然”的联系我们自 然就想到了用方程的思想来解数列问题 第第 7 7 讲讲 规律技巧提炼规律技巧提炼 2函数思想：数列是一种特殊的函数，它的定义域是 N*或 N*的子集1,2,3，n，其图象是一群孤立的点利用 函数的思想研究数列常常能收到事半功倍的效果例如：公 差不为 0 的等差数列an的通项公式 ana1(n1)ddn (a1d)是关于 n 的一次函数，因此，可以利用一次函数 ykx b 的性质研究等差数列的通项问题，其中kd，ba1d； 等差数列的前 n 项和公式 S

17、nna 1 n?n1?d 2 是关于 n 的二次 函数，且 Sn n 是关于 n 的一次函数，因此，可以利用二次函数 y ax 2bxc 其中 ad 2，ba 1d 2，c0 或一次函数 ykx b 的性质研究有关等差数列的前 n 项和的问题 第第 7 7 讲讲 江苏真题剖析江苏真题剖析 江苏真题剖析 2010江苏卷 设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 2a2a1a3，数列 Sn是公差为 d 的等差数列 (1)求数列an的通项公式(用 n，d 表示)； (2)设 c 为实数，对满足 mn3k 且 mn 的任意正整数 m，n，k，不等式 SmSncSk都成立求证： c 的最大

18、值为 9 2. 第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升 【解答】【解答】 (1)由题意知：d0， Sn S1(n1)d a1(n1)d， 2a2a1a3? 3a2S3? 3(S2S1)S3,3(a1d)2a1 ( a12d)2， 化简，得：a12 a1dd20， a1d，a1d2. Snd(n1)dnd，Snn 2d2， 当 n2 时，anSnSn1n 2d2(n1)2d2(2n1)d2， 适合 n1 的情形 故 an(2n1)d2. 第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升 (2)(方法一) Sm SncSk? m2d2 n 2d2ck2d2 ? m2 n 2ck2 ， c(mn)2 9k2? m2n 2 k2 9 2， 故 c9 2，即 c 的最大值为 9 2. 第第 7 7 讲讲 课本挖掘提升课本挖掘提升 (方法二)由 a1d 及 Sn a1(n1)d，得 d0，Sn n 2d2. 于是，对满足题设的 m，n，k，mn，有 SmSn(m2n 2)d2?mn? 2 2 d29 2d