证明三点共线问题的方法

1、 证明三点共线问题的方法 1、利用梅涅劳斯定理的逆定理 例1、如图1,圆内接 ABC为不等边三角形，过点A、B C分别作圆的切线依次交直线 BC CA AB于A1、B1、C1，求证：A1、B1、C1三点共线。 解：记 BC a,CA b, AB c,易知 AC1 S AC1C C1B S CC1B S 又易证 AC1C : CC1B .则 S CC1B 22 AC b2 CB a2 同理 ba1 A1C 2 c CB1 a, AC1 BA1 CB1 b2 2 2 c a b2 ，B1A c2. 故 C1B A1C B1A 2 a 1 ,2 2 1 b c 由梅涅劳斯定理的逆定理，知 A1、B1

2、、C1三点共线。 2、禾I用四点共圆（在圆内，主要由角相等或互补得到共线） 例2、如图，以锐角厶ABC的一边BC为直径作O O过点A作O O的两条切线，切点为 M N 点H是厶ABC的垂心求证：M H N三点共线。（96中国奥数） 证明：射线AH交BC于 D,显然AD为高。 记AB与O O的交点为E,易知C、H、E三点共线。 联结 OM ON DM DN MH NH 易知 AMO ANO ADO 900 , A、M O D N五点共圆，更有 A、M D N四点共圆， 此时， AMD AND 1800 因为 AM2 AE AB AH AD （B、D H E 四点共圆）， am ad 即；又 MA

3、H DAM，所以 AMH : ADM，故 AHM AMD AH AM 同理， AHN AND。 因为 AHM AHN AMD AND 180，所以，M H N三点共线。 3、利用面积法 如果SS ，点E、F位于直线MN的异侧，则直线 MN平分线段EF,即卩M N与EF EMN FMN 的中点三点共线。例3、如图，延长凸四边形 ABCD勺边AB DC交于点E,延长边AD BC交于点F,又 M N L分别是 AC BD EF的中点，求证： M N L三点共线。 证明：设BC的中点为0,辅助线如图所示， 由 0M /AE,0N / DE 可知, 点0必在 EMN内，此时, EMN S S 0MN S

4、 S OME ONE S OMN OMB S ONC S BMN S BCN (S BMD 1 S BCD(S BMC S DMC ) 1 1 (S ABC S ADC ) S四边形 ABCD 4 冋理，S FMN 四边形ABCb 4 S/C CQ AS/ AP S/C CQ AP AM CQ CN 。再令 但 ，所以 故 MN与 AC交于 S/。同理可得 AS/ S/C AM CN AS/ S/C AS/ AS/ S/C。利用合比性质得，AC AS/ 。 AC 因此S EMN S FMN。此时，直线MN平分EF即M N L三点共线。 注:利用梅涅劳斯定理的逆定理也可证明此题。 4、利用同一法

5、 尽管同一法是一种间接证法，但它却是一各很有用的证法，观察例4后，你会感到，同一 法在证明三点共线问题时，也有其用武之地。 例4、如图4(a)，凸四边形 ABCD的四边皆与O O相切，切点分别为 P、M Q N,设PQ与 MN交于S,证明：A、S、C三点共线。 证明：如图4(b)，令PQ与 AC交于S/ , 易证 APS/与 CQS/互补。 而 AS/PCS/Q，则 AS/ sin APS， sin CQS， AP sin AS/P sin CS/Q 因此，AS/AS/，可断定S/与S/必重合于点S,故A、S、C三点共线。 注：观察本题图形，显然还可证得 B、S、D三点共线；换言之， AC B

6、D PQ MN四线共点。 5、利用位似形的性质 如果 ABC与 A/B/C/是两个位似三角形，点0为位似中心，那么不仅A、A、O； B B/、 0; C C/、O分别三点共线，而且 ABC、 A/B/C/的两个对应点与位似中心 0也三点共线， 位似形的这种性质，对于证明三点共线，颇为有用。 例5、如图,ABC内部的三个等圆O 01、O 02、O 03两两相交且都经过点 P,其中每两个圆 都与 ABC的一边相切，已知0 I分别是 ABC的外心、内心，证明：I、P、0三点共线。 证明：联结 0102、 0103、 0203。由已知得 0102 / AB 、 0203 / BC 、 0103/ CA

7、。 可断定 ABC与 010203是一对位似三角形， 且易知 ABC的内心I是两者的位似中心。 因为O 0i、O 02、O 03为等圆， 即 P01 P02 P03, 所以点P是OQ203的外心。又点0是ABC的外心，故P、0两点是两个位似三角形的对应 点，利用位似形的性质，即得 I 、 P、 0三点共线。 6、利用反证法 有的几何题利用直接证法很难，而用反证法却能很快达到预期目的。 例6、如图，梯形 ABCD中、DC/AB，对形内的三点 R、F2、F3，如果到四边距离之和皆相等， 那么，P、P2、F3三点共线，试证之。 证明： 先看 R、P?两点， 设直线PP2分别交AD BC于M、N, P

8、1E1 BC 于 E1 ， P2E2 BC 于 E2 ， P1F1 AD 于 F1 ， P2F2 AD 于 F2 。 因为DC/AB，则点P到AB CD的距离之和等于点 P2到AB、CD的距离之和。由已知可得 R已 RFi P2E2 F2F2。过点R作AD的平行线、过点 P2作BC的平行线得交点 P （由于AD 与BC不平行）。记RP交F2F2于G P2P交PiEi于H。 观察上式有 PEi P2E2 P2F2 PFi。所以，PH P2G。 因为 PPP2有两条高RHP.G，所以，PPP2是等腰三角形，则PPP?PPP。 故 DMN PP2PRPCNM。 再用反证法证明点 R 定在PP2上：假

9、设点 R不在PP2上，联结PP3并延长分别交 AD BC于 M I N/，易知点M I N/在MN的异侧；因为点 到AD BC的距离之和等于点 P3到AD BC 的距离之和，由上述证明过程知必有DM /N/ CN/M /。 事实上，观察图形只能得到DM / N/ DMN CNMCN/M /，矛盾，这说明点 巳必 在PP2上，即卩MN上，因此P、P2、R三点共线。 7、用塞瓦定量的逆定理 变三点共线为三线共点，利用塞瓦定理的逆定理，在圆内接凸六边形ABCDEF中，若 AB CD EF BC DE FA，贝U AD BE、CF三线共点；反之亦然，利用这个结果来证明某些 三点共线问题，可立竿见影。 例7、如图乙凸四边形 ABCD内接于圆，延长 AD BC交于点P,作PE、PF切圆于E、F,又AC 与BD交于K,证明：E、K、F三点共线。 解：联结AE ED CF FB得凸六边形 ABFCDE 欲证E、K F三点共线，即 AG BD EF三线共点， 只须证 AB FC DE BF CD EA。 注意到 PAB PCD, PFC PBF, PDE : PEA