精华：特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

1、八年级平行四边形相关知识归纳和常见题型精讲性质和判定总表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角四个角都是直角对角相等四个角都是直角对 角 线互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每条对角线平 分一组对角判定有三个角是直角； 是平行四边形且 有一个角是直角；是平行四边形且 两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一 组邻边相等；是平行四边形且两条 对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等； 是菱形，且有一个角是直角。对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形.矩形精品矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做

2、矩形（通常也叫长方形或正方形 ）.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过 对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质：（具有平行四边形的一切特征）矩形性质1:矩形的四个角都是直角.矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分.如图，在矩形 ABCD 中，AC、 BD 相交于点 0 ,由性质 2有1AO=BO=CO=DO= -AC= - BD .因此可以得到 直角三角形的一个性质:2 2D直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的判定方法.矩形判定方法1:对角钱相等的平行四边形是矩形.矩形判定方法2:有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定方法3：有一个角是直角的平

3、行四边形是矩形.矩形判定方法4:(4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.例1已知：如图，矩形 ABCD , AB长8 cm，对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点 A 到BD的距离AE的长.例2已知：如图，矩形 ABCD中，E是BC上一点，DF丄AE于F,若AE=BC . 求证: CE = EF.例3.如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一点，DE =4cm，矩形 ABCD的周长为32cm，求AE的长.例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接 AE并延 长交DC的延长线于点F.(1) 求证：AB=CF ;(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形菱形定义：有一组邻边相等的平行

4、四边形叫做菱形.【强调】菱形（1）是平行四边形；（2） 一组邻边相等.菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直.菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形.例1已知：如图，四边形 ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E . 求证：/ AFD= / CBE .例2已知：如图二ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 求证：四边形 AFCE是菱形.口例3、如图，在 ABCD中，0是对角线AC的中点，过点0FC作AC

5、的垂线与边 AD、BC分别交于E、F，求证：四边形 AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形 ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M ,若 AB=AE, / EAD=2 / BAE。求证：AM=BE。例5.(10湖南益阳)如图，在菱形 ABCD中，/ A=60 , AB =4,0为对角线BD的中点，过0点作0E丄AB,垂足为E.求线段BE的长.例6、(2008四川自贡)如图，四边形ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延长线于E , DF丄BC, 交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想例7、( 2008山东烟台)如图，菱形 ABCD的边长为2, BD=2 , E、

6、F分别是边AD , CD上的两个动点，且满 足 AE+CF=2.(1) 求证： BDEA BCF;(2) 判断 BEF的形状，并说明理由；(3) 设厶BEF的面积为S,求S的取值范围.精品三.正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:(菱形)(矩形)正方形 有一组邻边相等的平行四边形正方形定义：有一组邻边相等 并且有一个角是直角 的平行四边形 叫做正方形.并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形. 有一个角是直角的平行四边形 正方形不仅是特殊的平行四边形,正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方

7、形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的 夹角是45 ;正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特 殊性质.正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质.正方形的判定方法：?(1)有 一个角是直角的菱形是正方形；?(2)有 一组邻边相等的矩形是正方形.? 注意：1、正方形概念的三个要点：?(1 )是平行四边形；?(2)有一个角是直角；?(3)有一组邻边相等

8、.2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形ABCD中，对角线的交点为 0, E是DK /C精品負B例1已知：如图，正方形OB 上的一点， DGCBE丄AE于G, DG交OA于F. 求证：OE=OF .例2已知：如图，四边形 ABCD是正方形，分别过点 A、C两点作I, J,作BM丄h于 M , DN丄li于N，直线 MB、DN分别交I2于Q、P点.求证：四边形 PQMN是正方形.例3、（ 2008海南）如图，P是边长为1的正方形 ABCD对角线AC上一动点（P与A、C 不重合），点 E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：PE=PD ；PE丄

9、PD ；2）设AP=x, ZPBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值 .例4.（2006年河南省）如图，梯形 ABCD中，AD / BC, AB=AD=DC , E为底边BC的中 点，且DE / AB，试判断厶ADE的形状，并给出证明.:,例5:(2008深圳)如图，在梯形 ABCD中，AB / DC, DB平分/ ADC，过点 A作AE / BD，交CD的延长线于点 E,且/ C= 2/ E.(1) 求证：梯形 ABCD是等腰梯形.(2) 若/ BDC = 30, AD = 5,求 CD 的长.图5例题讲解例一 分析：

10、(1)因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形 的性质，而此题利用方程的思想， 解决直角三角形中的计算， 这是几何计算题中常用的方法.解：设AD=xcm，则对角线长(x+4)cm,在Rt ABD中，由勾股定理：x2 82 (x 4)2,解得 x=6 .则 AD=6cm .(2)“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边 及斜边上的高的一个基本关系式：AEX DB= ADX AB,解得 AE = 4.8cm.例二分析：CE、EF分别是BC, AE等线段上的一部分，若 AF = BE,则问题解决，而证明 AF = BE,只要证明厶ABEDFA即可

11、，在矩形中容易构造全等的直角三角形.证明： 四边形ABCD是矩形，/ B=90。，且 AD / BC ./ 仁 / 2.DF 丄 AE , / AFD=90 ./ B= / AFD .又 AD=AE , ABE DFA (AAS).AF=BE .EF=EC .此题还可以连接 DE，证明 DEF DEC，得到EF = EC .菱形例1证明：/四边形ABCD是菱形，CB=CD , CA 平分/ BCD ./ BCE= / DCE .又 CE=CE , BCE COB ( SAS)./ CBE= / CDE ./ 在菱形 ABCD 中，AB / CD ,AFD= / FDC/ AFD= / CBE

12、.例2证明：T 四边形ABCD是平行四边形，AE / FC./ 仁 / 2 .又 / AOE= / COF , AO=CO , AOE COF .EO=FO . 四边形AFCE是平行四边形.又 EF丄AC , -AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形例 6、解：DE = DF证明如下：连结BD四边形ABCD是菱形 / CBD = Z ABD（菱形的对角线平分一组对角 ）/ DF 丄 BC, DE 丄 AB DF = DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）例7、住）正明：丁菱題的边快为备 和厶BCD揶为正三角形xrAE+DE=D=2,而人 ECF=氛化 DEUF.（2）；形理由UDE

13、辿UCF,二=二即A ABJFF为正三角筋*d）貂：设 EF=EF=h,则 5=寺工 y 当 BE LAD 时和=2 Xshi60*=5/5当 BE-AS 車合时,r = 2tg产習=辰4).c正方形例1 分析：要证明 OE=OF，只需证明 AEO DFO,由于正方形的对角线 垂直平分且相等，可以得到/ AOE= / DOF=90, AO=DO，再由同角或等角的余角相等 可以得到/ EAO= / FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得.证明： 四边形ABCD是正方形，/ AOE= / DOF=90, AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等）.又 DG 丄 AE ,/ EAO

14、+ / AEO= / EDG+ / AEO=90./ EAO= / FDO . AEO DFO .OE=OF .例2 分析：由已知可以证出四边形PQMN 是矩形，再证 ABM DAN，证出AM=DN，用同样的方法证 AN=DP .即可证出 MN=NP .从而得出结论.证明：/PN 丄 li, QM 丄 li,PN / QM，/ PNM=90.PQ / NM , 四边形PQMN是矩形. 四边形ABCD是正方形 / BAD= / ADC=90, AB=AD=DC （正方形的四条边都相等， 四个角都是直角） / 1+ / 2=90 .又/ 3+ / 2=90 , / 仁 / 3. ABM DAN .

15、AM=DN . 同理 AN=DP .AM+AN=DN+DP即 MN=PN . 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例3( 1)证法一：T四边形ABCD是正方形，AC为对角线， BC=DC, / BCF= / DCP=45 . PC= PC, PBC PDC ( SAS . PB= PD,/ PBC= / PDC.又 PB= PE , PE=PD.PE丄 PD.(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,/ PB=PE, / PBE= / PEB, / PEB= / PDC, / PEB+ / PEC= / PDC+ / PEC=180 , / DPE=360 -(/ BC

16、D+ / PDC+ / PEC)=90 , PE丄 PD.)(ii) 当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时,(iii) 当点E在BC的延长线上时，如图./ / PEC= / PDC,Z 1= / 2, / DPE= / DCE=90 ,精品 PE丄 PD.综合(i)( ii)(iii) , PE丄 PD.(2 过点P作PF丄BC,垂足为F,贝U BF=FE.x.2精品T AP=x, AC= 2 , PC= 2- x, PF=FC= (.2 x) BF=FE=1-FC=1-(1 22PF= -x(122x22x2Sa pbe= BF 1 2-X2-v 0,22时，y最大值2x)= x.

17、2返)2(Ov xv .、2).-(x 丄)22 2(1)证法二：过点P作GF / AB, 分别交AD、BC于G、F.如图所示.T四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形， AGP和厶PFC都是等腰直角三角形. GD=FC = FP, GP=AG = BF,Z PGD= / PFE=90 又t PB=PE, BF=FE, GP=FE,(SAS) efpa PGD PE=PD. / 1= / 2./ 1+ / 3= / 2+ / 3=90/ DPE=90 . BF= PG=2x,PF=1-2x.22Sapbe= BF PF=:-x(12 ) x)1 2x222即y1 2 x22x2(0v xv . 2 )y1 2x2x(x122224PE丄 PD.(2 )t AP=x,av 0,二当x 2时，y最大值 .24（注：用其它方法求解参照以上标准给分.）例4 【解析】 ADE是等边三角形.理由如下： AB=CD ,梯形ABCD为等腰梯形，/ B= / C. E为BC的中点，/ BE=CE .在厶ABE和厶DCE中，AB DC,B C,BE CE ABE DCE ./ AE=DE . AD / BC