2018全国高考理科数学试题及答案解析_全国卷

1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5 页， 23 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型 （ B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时， 选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使

2、用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A= x| x1000n入A A1 000 和 n=n+1B A1 000和 n=n+2C A 1 000 和 n=n+1D A 1 000 和 n=n+29已知曲线 C1： y=cos x， C2： y=sin (2x+ 2) ，则下面结论正确的是3A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得6到曲线 C2B把 C1 上各点的

3、横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，122得到曲线 C11倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得C把 C 上各点的横坐标缩短到原来的26到曲线 C2D把 C 上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，1212得到曲线 C210已知 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线l 1， l 2，直线 l 1 与 C交于 A、 B 两点，直线l2 与C交于、E两点，则 | |+| 的最小值为DABDEA 16B 14C 12D 1011设 xyz 为正数，且 2x3y5z ，则A 2x3y

4、5zB 5z2x3yC 3y5z2xD 3y2x100 且该数列的前 N项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是A 440B 330C 220D 110二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。13已知向量 a， b 的夹角为60， | a|=2 ， | b|=1 ，则 |a +2 b |= .x2y114设 x，y 满足约束条件2x y1，则 z3x2y 的最小值为 .xy015已知双曲线 C： x2y21（ a0， b0）的右顶点为A，以 A 为圆心， b 为半径做圆 A，圆 A与双曲线a 2b2C的一条渐近线交于、两点。若=60，则C的离心率为 _。M NMAN16如图，

5、圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为 O。 D、 E、 F 为圆 O上的点， DBC， ECA， FAB 分别是以BC， CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得、 、重合，得到三棱锥。当的边长变BC CA ABDBCECAFABD E FABC化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 _。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分） ABC的内角 A， B， C的对边

6、分别为a， b， c，已知 ABC的面积为a23sin A（ 1）求 sin Bsin C;（ 2）若 6cos Bcos C=1， a=3，求 ABC的周长 .18. （12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中， AB/CD，且BAPCDP90 .（ 1）证明：平面 PAB平面 PAD；（ 2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB- C的余弦值 . 19（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N( , 2)（

7、 1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(3,3) 之外的零件数，求 P( X1) 及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951161616经计算得 xxi9.97 ，s1(xix )21 (xi2 16x2

8、)20.212，其中 xi 为抽取16 i116 i 116i 1的第 i 个零件的尺寸，i1,2,16 用样本平均数x 作为的估计值? ，用样本标准差s 作为的估计值? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( ?3?, ?3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计和（精确到 0.01 ）附：若随机变量Z 服从正态分布N ( ,2) ，则 P(3Z3) 0.997 4，0.997 4 160.959 2 ，0.0080.09 20. （ 12 分）已知椭圆： x2y2（），四点1），2（），33）， 4（ 1，3 ）中恰有C22 =1P（1,1P0,1P（1，Pabab022三点

9、在椭圆C上 .（ 1）求 C的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 .21. （12 分）2xx已知函数（f x)ae +( a 2) e x.（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；（ 2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .（二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为x3cos, （ 为参数），直线l 的参数方程为ysin,x a 4

10、t ,（ t为参数） .y1t,（ 1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标；（ 2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为17 ，求 a.23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分）已知函数 f （ x） = x2+ax+4， g( x)= x+1+ x1.（ 1）当 a=1 时，求不等式 f （ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f （ x） g（ x）的解集包含 1， 1 ，求 a 的取值范围 .2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A2 B

11、3 B4 C5 D6 C7B8D9 D10 A11 D12 A二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13 2314 -5152 316 15cm33三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。a217（ 12 分） ABC的内角 A， B， C的对边分别为a， b， c，已知 ABC的面积为3sin A（ 1）求 sin Bsin C;（ 2）若 6cos Bcos C=1， a=3，求 ABC的周长 .解：（ 1）由题意可得 S ABC

12、1 bc sin Aa2，23sin A化简可得 2a23bc sin 2A ，根据正弦定理化简可得：2sin 2A 3sin B sinCsin 2 Asin B sinC2。3（ 2）sin B sinC2312由cos Acos A Bsin B sinC cos B cosC，1A3cos B cosC26因此可得 BC ，3将之代入 sin BsinC2中可得： sinCsin C3 sin C cosC1 sin 2 C0 ，3322化简可得 tanC3C, B，366利用正弦定理可得ba31sin B33 ，sin A22同理可得 c3 ，故而三角形的周长为32 3 。18. （

13、 12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中， AB/CD，且BAPCDP90 .（ 1）证明：平面 PAB平面 PAD；（ 2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A- PB- C的余弦值 .（ 1）证明：AB / /CD,CDPDABPD ,又ABPA, PAPDP , PA、 PD都在平面PAD内，故而可得ABPAD 。又 AB在平面 PAB内，故而平面 PAB平面 PAD。（ 2）解：不妨设 PAPDABCD2a，以中点O为原点，为x轴，为z轴建立平面直角坐标系。ADOAOP故而可得各点坐标：P 0,0,2a , A2a,0,0, B2a,2 a,0,C2a,2 a,0

14、，因此可得 PA2a,0,2a , PB2a,2 a,2a , PC2a,2 a,2a，假设平面 PAB 的法向量 n1x, y,1 ，平面 PBC 的法向量 n2m,n,1 ，故而可得n1PA2ax2a0x1，即 n11,0,1，n1PB2ax2ay2a0y0n2PC2am2an2a0m 02 ,1同理可得2，即 n20,。n2PB2am2an2a0n22因此法向量的夹角余弦值： cos n1,n213 。3322很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为3。319（ 12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm）根据长

15、期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N( , 2)（ 1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在(3,3) 之外的零件数，求 P( X1) 及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

16、1161616经计算得 xxi9.97 ，s1(xx )21 (x2 16x2 )20.212，其中 xi为抽取i16 i116 i 116i 1i的第 i 个零件的尺寸，i1,2,16 用样本平均数x 作为的估计值? ，用样本标准差s 作为的估计值? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( ?3?, ?3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计和 （精确到0.01 ）附：若随机变量Z 服从正态分布N (,2) ，则 P(3Z3) 0.997 4 ，0.997 4 160.959 2 ，0.0080.09 解：（1） P X11PX01 0.99741610.95920.0408

17、由题意可得，X 满足二项分布X B 16,0.0016 ，因此可得 EX16,0.0016160.00160.0256（ 2） 由（ 1）可得PX10.04085% ，属于小概率事件，1故而如果出现 (3,3 ) 的零件，需要进行检查。 由题意可得9.97,0.21239.334,310.606 ，2故而在9.334,10.606 范围外存在9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时：9.97169.22x1510.02 ，11515xx0.09 。i120. （ 12 分）已知椭圆 C： x2y2（ a b ），四点 P1（1,1）， P2（0,1）， P3（1，3 ），P4（ 1，3 ）

18、中恰有a2b2 =1 022三点在椭圆C上 .（ 1）求 C的方程；（ 2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A， B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1，证明： l过定点 .解：（ 1）根据椭圆对称性可得，P1（ 1,1 ） P4（ 1，3 ）不可能同时在椭圆上，2P3（ 1，3 ）， P4（ 1， 3 ）一定同时在椭圆上，22因此可得椭圆经过P2（ 0,1）， P3（ 1，3 ）， P4（ 1，3 ），22代入椭圆方程可得：13b1, a241a 2 ，故而可得椭圆的标准方程为：x2y21。4（ 2）由题意可得直线P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在，不妨设

19、直线 P2A 为： ykx1 , P2B 为： y 1kx 1.ykx1联立x24k21 x28kx0 ，y214假设 Ax1, y1， Bx2 , y2此时可得：8k 1 4k 28 1 k1 4 1 k2，A4k 21, 4k 21, B4 1 k 21 ,24 1 k114 1k 214k2此时可求得直线的斜率为：kABy2y14 1 k 214k 21x2x18 1k8k，4 1k 214k 21化简可得 kAB12 ，此时满足k1。12k211时， AB两点重合，不合题意。 当 k22k1时，直线方程为： y1x8k14k2 当24k 24k 2，21 2k114k24k1x即 y1

20、2k2，当 x 2时， y1，因此直线恒过定点2,1。21. （ 12 分）已知函数（f x)ae2x +( a 2) e x x.（ 1）讨论 f ( x) 的单调性；（ 2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .解：（ 1）对函数进行求导可得f x2ae2 xa2 ex1aex1ex1。10 时， f xaex1ex10 恒成立，故而函数恒递减 当 a20 时， f xaex1ex10xln11上单调递 当 a，故而可得函数在,lnaa减，在ln 1 ,上单调递增。a（ 2）函数有两个零点，故而可得a0，此时函数有极小值fln1ln a1，aa1要使得函数有两个零点，亦即极小值

21、小于0，故而可得 ln a1a0，令 galn a1，1 01aa1a对函数进行求导即可得到g a0 ，故而函数恒递增，a21又 g 10 ，g aln a10 a 1 ，a因此可得函数有两个零点的范围为a0,1。（二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22 选修 44：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为x3cos, （ 为参数），直线l 的参数方程为ysin ,xa4t ,（ 为参数） .y1 t,t（ 1）若 a=-1，求 C与 l的交点坐标；（ 2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求

22、.a解：将曲线 C 的参数方程化为直角方程为x2y 21，直线化为直角方程为y1 x 11 a944（ 1）当 a1 时，代入可得直线为 y13y1 x3x，联立曲线方程可得：44 ，44x29 y29x2125 或x3 ，故而交点为2124解得,或 3,0y24y0252525（ 2）点x3cos , 到直线 y1 x11 a 的距离为 d3cos4sina 417 ，ysin,4417即： 3cos4sina417，化简可得17a43cos4sin17a4 ，根据辅助角公式可得13a5sin21a ，又55sin5 ，解得 a8或者 a16 。23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分）

23、已知函数 f （ x） = x2+ax+4， g( x)= x+1+ x1.（ 1）当 a=1 时，求不等式 f （ x） g（ x）的解集；（ 2）若不等式 f （ x） g（ x）的解集包含 1， 1 ，求 a 的取值范围 .解：2xx1将函数 g xx1x1 化简可得 g x21x12xx1（ 1）当 a 1时，作出函数图像可得 fxgx 的范围在 F 和 G点中间，y2x可得点 G171,17 1 ，因此可得解集为 1,171。联立x2yx 422（ 2）即 f xg x 在1,1 内恒成立，故而可得x2ax42x22 ax 恒成立，根据图像可得：函数y ax 必须在 l1,l 2 之

24、间，故而可得1a1 。绝密启封并使用完毕前试题类型： A2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1 至 3 页，第卷3至5页。2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一 . 选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1+z（ 1）设复数 z 满足=i ，则 |z|=（A）1（B）2（C）3（D）2（ 2） sin20 cos10 -con160

25、sin10 =（ A）33（ C）11（ B）22（D）22（ 3）设命题 P：n N， n2 2n ，则P 为（ A） n N, n2 2n（ B） n N, n2 2n（ C） n N, n2 2n（ D） n N,n2 = 2n（ 4）投篮测试中， 每人投 3 次，至少投中2 次才能通过测试。 已知某同学每次投篮投中的概率为0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ A） 0.648（ B） 0.432（ C） 0.36（ D） 0.312（ 5）已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C : x2y21 上的一点， F1 , F2是 C 上的两个焦点， 若 M

26、F MF20 ，21则 y0 的取值范围是（ A）（-3 ，3 ）（ B）（-3， 3）3366（ C）（2222）（ D）（23233，33，）3（ 6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 : 积及为米几何 ?”其意思为 : “在屋内墙角处堆放米( 如图，米堆为一个圆锥的四分之一) ，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛B.22斛C.36斛D.66斛（ 7）设 D为ABC所在平面内一点BC3CD ，则（A） AD14ABAC33（C） AD41ABAC33(B)1AB4ADAC33(D)4AB1ADAC33(8) 函数 f (x)cos(x) 的部分图像如图所示，则f (x) 的单调递减区间为(A) ( k1 , k3), kZ (B