角平分线性质53角平分线的性质与判定

1、外国语实验中学 翟铁宾 不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ A O B C 再打开纸片，看看折 痕与这个角有何关系？ （对折） (1)实验：将AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上 结论：它到角的两边的距离相等 证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB（已知） PDO= PEO（垂直的定义） 在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证

2、） OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等） P A O B C E D 12 已知：如图，OC平分AOB，点P在OC 上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE 探究角平分线的性质 (3)验证猜想 角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。 利 用 此 性 质 怎样书写推理过 程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知） PD=PE （全等三 角形的对应边相等） P A O B C E D 12 ， O A B E D 思考：思考： 如图所示如图所示OC是是AOB 的平分线的平分线,P 是是OC上任意上任意 一点一点,问问PE=P

3、D?为为 什么什么? C P PD,PE没有垂直没有垂直OA,OB,它们不是角它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等所以不一定相等 思考： 要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） 公路 铁路 如 图 ： 在 ABC 中 ， C=90 AD是BAC的平分 线，DEAB于E，F在AC上， BD=DF；求证：CF=EB A CD E B F 分析:要证CF=EB, 首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等 ,即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件 BD=DF(斜

4、边相等 ),还需 要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质 ) 再用HL证明. 试试自己写 证明。你一 定行！ 例 已知：如图，ABC的角 平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA 的距离相等. ?证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为D、E、F ?BM是ABC的角平分线，点P在BM上 （已知） ?PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距 离相等） ?同理 PE=PF. ? PD=PE =PF. ?即点P到边AB、BC、CA的距离相等 D E F A BC P M N 练习：练习：如图，的的外角的平 分线与的外角的平分线相交于

5、 点求证：点到三边， 所在直线的距离相等 F G H 一、过程小结：一、过程小结： 情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用 二、知识小结：二、知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你 学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？ 回味无穷 ?定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个 角的两边距离相等角的两边距离相等 . ?OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线 ,P是是OC 上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB, 垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知) ) PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到

6、这角平分线上的点到这 个角的两边距离相等 ).). ?用尺规作角的平分线 . 小结拓展 O C B 1 A 2 P D E 到一个角的两边的距离相等 的点，在这个角平分线上。 已知：PD OA ，PE OB，垂足分别是D、E， PD=PE. 求证： 点P在AOB的平分线上。 角平分线的判定定理 A O B P D E C 用符号语言表示为： PD=PE PD OA ，PE OB 1= 2 . 由上面两个定理可知：到角的两边的距离由上面两个定理可知：到角的两边的距离 相等的点，都在这个角平分线上；反过来，相等的点，都在这个角平分线上；反过来， 角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线上的点到

7、角的两边的距离相等。 ?角的平分线是到角的两边距离相 等的所有点的集合. 练一练 填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (1). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _) A C D E B 1 2 1= 2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.已知：如图，C= C=90 AC=AC 求证（1） ABC= ABC ； （2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定） B C A C 例例1 已知：在等腰已知：在等腰RtABC中，AC BC C90，AD平分 BAC，DEAB于点E。 求证：BD

8、DE AC 变式已知AB 15cm, 求DBE的周长 E DC B A 利用结论，解决问题 练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 想一想 在确定度假村的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的? 拓展与延伸 2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处B. 两处 C.三处D.四处 分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。 拓展与延伸 3、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分