考研数学超强题型总结,不怕你考不了高分[共77页]

1、第 一 讲 求 极 限 的 各 种 方 法教学目的通过教学使学生掌握求极限的各种方法，重点掌握 用等价无穷小量代换求极限；用罗必塔法则求极限；用对数恒等式求limg( x)f (x) 极限 ；利用 Taylor 公式求极限；数列极限转化成函数极限求解1用等价无穷小量代换求极限重点2用罗必塔法则求极限难3用对数恒等式求limg ( x)f (x) 极限点4利用 Taylor 公式求极限5数列极限转化成函数极限求解1约去零因子求极限2分子分母同除求极限3分子 (母)有理化求极限4应用两个重要极限求极限教学5用等价无穷小量代换求极限 提纲6用罗必塔法则求极限7用对数恒等式求limg ( x)f (x

2、) 极限8数列极限转化成函数极限求解9n 项和数列极限问题10单调有界数列的极限问题第一讲 求极限的各种方法求极限是历年考试的重点，过去数学一经常考填空题或选择题，但近年两次作为大题出现，说明极限作为微积分的基础，地位有所加强。数学二、三一般以大题的形式出现。用等价无穷小量代换求极限，用对数恒等式求limg ( x)f (x) 极限是重点，及时分离极限式中的非零因子是解题的重要技巧。1约去零因子求极限例 1：求极限4xlimx1 x11【说明】 x 1表明 x与1无限接近，但 x 1，所以 x 1这一零因子可以约去。2(x 1)( x 1)( x 1)2【解】 lim ( 1)( 1) 6li

3、m x xx 1 x 1x 12分子分母同除求极限例 2：求极限3xlim 3x3x2x1【说明】 型且分子分母都以多项式给出的极限 , 可通过分子分母同除来求。3 2 1x x 1 1xlim lim 【解】3 1x x 33 1 x 33x【评注】 (1) 一般分子分母同除 x 的最高次方；(2)limxnaxnb xmmanbmnx1mx111a0b00anbnmmmnnn3分子 (母)有理化求极限2 x 2例 3：求极限 lim ( 3 1)xx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】limx2 2( x 3 x 1)limx(2x32x2x 1)(32x2x31

4、x21)例 4：求极限limx 01 tan x 1 sin x3x【解】1 tan x 1 sin x tan x sin xlim lim33x x x 1 tan x 1 sin0 x 0x 【注】本题除了使用分子有理化方法外， 及时 分离极限式中的非零因子 是解题的关键4应用两个重要极限求极限sin x两个重要极限是 1limx0 x11 1x n和 x exlim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) ，第一个重要极限x n x 0x n过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xlimx x11x【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，

5、再凑1X，最后凑指数部分。【解】2x 112x x 2x 1 2 1 22lim lim 1 lim 1 1 ex1 1x 1 x 1 xx xx2例 6：(1)x x1 x 2alim 1 ；(2)已知 lim 82x x x x a，求 a 。5用等价无穷小量代换求极限【说明】(1) 常见等价无穷小有：x当 x 0 时, x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1 x) e 1,1b 1 21 cosx x , 1 ax abx；2(2) 等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的 因式；sin x x x xlim lim 0 是不正确的 x 0 tan3x x

6、0x(3) 此方法在各种求极限的方法中 应作为首选。例 7：求极限limx 0x ln(1 x)1 cos x【解】x ln(1 x) x xlim lim 21x x0 1 cos x 0 x22.例 8：求极限sin xlimx 0 tan3xx【解】sin xlimx 0 tan3xx 21sin x x cos x 1 x2lim lim lim3 2 2x 0 x xx x 0 30 3x16例 9：求极限limx 0sin x sin sin x sin x4x.【解】(sin x sin sin x )sin x sin x sin sin xlim lim4 3x 0 x 0x

7、 xlimx 0cos x cos(sin x) cos x23x6用罗必塔法则求极限2ln cos 2x ln(1 sin x)例 10：求极限limx 0x2【说明】 或00型的极限 , 可通过罗必塔法则来求。【解】2sin 2x2ln cos 2x ln( 1 sin x) cos2x 1lim lim2x x0 x x 20sin 2x2sinx2x2 2x cos(t )dt0例 11：求 .lim10x x0sin【说明】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解2 2x x2 2 2 2x cost dt x cost dt42x 2x cosx 0 0【解】 9lim l

8、im lim10 10x 0 x x0 10sin x x x0g( x)lim f (x) 极限 7用对数恒等式求2例 12：极限 xlim 1 ln(1 x)x 0【说明】（）该类问题一般用对数恒等式降低问题的难度（）注意 x 0时， ln( 1 x) x2【解】 lim 1 ln( 1 x) x =x 0limx 02 2ln 1 ln(1 x) 2 ln(1 x )ln1 ln(1 x) lim lim2e = 0 ex 0 e .x x xe x例 13：求极限x1 2 cos xlim 13x 30x.【解】 原式limx 0xlne2 cos x33x11limx 0ln2 co

9、s32xxx(1 x)lim【又如 】 xx x0e8数列极限转化成函数极限求解例 14：极限1lim nsinn n2n【说明 】这是 1 形式的的数列极限，由于 数列极限不能使用罗必塔法则 ，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。2 11 1x 121 sin 1 2x x sin y 1 x y y【解】考虑辅助极限 6lim x sin lim e lim e ex x y 0x2n 11所以， 6lim n sin enn9n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算；(2)利用两

10、边夹法则求极限。例 15：极限limnn12212n1 1222n2n【 说 明 】 用 定 积 分 的 定 义 把 极 限 转 化 为 定 积 分 计 算 , 是 把 f (x) 看 成 0,1 定 积 分 。1 1 2 n1lim f f f f ( x)dx n n n nn 0【解】原式limn1n11 1 1221211nn2nn例 16：极限【说明】1 1 1limn 2 2 2n 1 n 2 nn(1) 该题与上一题类似，但是不能凑成1 1 2 nlim f f f 的形式，因而用两边夹法nn n n n则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

11、【解】1 1 1limn 2 2 2n 1 n 2 nn因为n 1112 2 2 2 nn n n 1 n 2 n nn21又n nlim lim 1n 2 n 2n n n 1所以1 1 1lim n 2 2 2n 1 n 2 n n1 2 n例 17：求 n n n 2 2 2limn 1 1n 1n n2 n【说明】该题需要把两边夹法则与定积分的定义相结合方可解决问题。【解】10单调有界数列的极限问题xn 1 n例 18：已知 1 n ，证明 limx ， x 1 , 211 xnn 1x 存在，并求该极限n【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限

12、的存在 .xn 1【解】 21 x 1n x1n 1该数列单调增加有上界，所以 limnx 存在，设 limnnx nx An 1对于 ,x 1 令 n ， A ! , 得n1 x 1 An 11 52即? lim xn n1 5 2例 19：设数列x 满足 0 x1 ,xn 1 sin xn(n 1,2, )n1（）证明 limnx 存在，并求该极限；（）计算nlimnxnxn12nx.【解】 （）因为0 x ，则 0 x2 sin x1 1 .1可推得 0 xn 1 sin xn 1 ,n 1,2, ，则数列 xn 有界 .于是x 1 sin xn nx xn n1，（因当 x 0时，si

13、n x x ）， 则有 xn 1 xn ，可见数列 xn 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限 limnx 存在.n设 limnx l ，在 xn 1 sin xn 两边令 n ，得 l sin l ，解得 l 0，即 lim xn 0.nn1 1（） 因2 2x x1 x sin xn nn nlim limn x n xn n，由（）知该极限为 1 型，11 1 x xsin 1212 sin x 1x2xx 3lim sin x e e elim lim x 6( 使用了罗必塔法则 ) x 0 x 0 x 10 1x1 2 2x x1 x sin x 6n nn nlim li

14、m e故 .n x n xn n第二讲 无穷小与函数的连续性教学 通过教学使学生掌握 无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大量目的 之间的关系 ，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。重1用等价无穷小量代换求极限点2函数的连续性的判 难3. 间断点的求法 点. 无穷小如果 lim 0 , 就说在这个极限过过程中 是无穷小量。. 无穷大lim ， lim ， lim ，就说在这个极限过过程中 是无穷大量。无界量4. 函数的连续性 教学提定义 1 函数 y f x 在点x 的某一领域内有定义，如果0纲(1)极限limx x0f x 存在；lim f x f x(2) 0x x0。那

15、么就称 y f x 在点x 连续。0、函数的间断点第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在第二讲 无穷小与函数的连续性无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关键 。. 无穷小如果 lim 0 , 就说在这个极限过过程中 是无穷小量。【说明】 （1）说一个函数 （数列） 是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。在这个极限过程中 是无穷小量，在另一个极限过程中 不一定是无穷小量。 x 0时， sin x 是无穷小量，但 x 1时，

16、sin x 不是无穷小量；（2）0 是唯一可作为无穷小的常数；（3）2 3x3x 作为 无穷小量 （ x 0），主要 看低次方项 ；作为 无穷大量 （ x ），主要 看高次方项 ；在同一变化过程中如果 lim 0 , 就说 是比 高阶的无穷小 , 记作 ;如果 lim , 就说 是比 低阶的无穷小 .如果 lim c 0, 就说 与 是同阶无穷小 ;如果 lim c 0,k 0kk, 就说 是关于 的 k 阶无穷小， O( ).如果 lim 1, 就说 与 是等价无穷小 , 记作 .例 1：当 x 0时，2(x) kx 与 (x) 1 x arcsin x cos x 是等价无穷小，则求 k.

17、【解】 由题设，limx 0(x)x)limx 01 xarcsin x2kxcosx=x arcsin x 1 cos xlim2x 0 kx x x x( 1 arcsin cos)=12kx arcsin x 1 cos x 3lim2x 0 x 4k1，3得 .k4例 2： x 0 时无穷小量x02x x2 , tan , sin 3cost dt t dt t dt ，排列起来，使排在后面0 0的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（ ）a) , , b) , , c) , , d) , , 【说明】 （1）无穷小量的阶主要看它和哪个kx 同阶，然后再kx 阶排定顺序；（2）无

18、穷小量求导数后阶数降低一阶。12 阶 ， 阶 ， 阶3【解】 sin( x) (1 ) cos x (0 ) 2 xtan x(2 ) ，应选 ?。2 x例 3：设函数 f (x) 在 x 的某邻域具有二阶连续导数，且 f ( 0), f (0), f (0) 0 证明：存在惟一的一组实数 a, b, c ，使得当 h 0时，2af (h) bf (2h) cf (3h) f (0) o(h ) af (h) bf (2h) cf ( 3h) f (0)【分析】 条件告诉我们 lim 02x0 h因而同上 af (0) 2bf (0) 3cf (0) 0 ， f (0) 0, a 2bb 3c

19、 0。【证】略. 无穷大lim ，lim ，lim ，就说在这个极限过过程中 是无穷大量。定理：当自变量在同一变化过程中时，（）若 f (x) 为无穷大量，则f1( x)为无穷小量。（）若 f (x) 为无穷小量，且 f ( x) 0 ，则f1(x)为无穷大量。k n n【说明】 常见无穷大量的阶 ln n n n a (a 1) n (n )无界量如不存在 M 0使，对 x I ，都有 | f (x) | M ，则称 f (x) 在 I 上无界lim f (x)x a，则 (a ,a) 上无界， lim f ( x)x，则 (a, ) 上无界例 4： x 时，变量1 1 2 sin 是( C

20、 )x xa) 无穷小 b) 无穷大； c) 无界，但不是无穷大； d) 有界，但不是无穷小4. 函数的连续性函数 y f x 在点x 的某一领域内有定义，如果0(1)极限limx x0f x 存在；(2)lim f x f x0x x0。那么就称 y f x 在点x 连续。0如果函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内每一点都连续 ,则称 f ( x) 在开区间 (a, b) 内连续 ;如果函数 f (x)在开区间 ( a,b)内连续 ,在点 a 右连续 ,在点 b 左连续 ,则称函数 f (x) 在闭区间 a,b 上连续。如果 lim f x f x0x x0,就说函数 f x 在点 x

21、0 左连续。lim f x f x如果 0x x0,就说函数 f x 在点 x0 右连续。例：tan x1 e, x 0,xf (x) arcsin 在x 0连续，则a=( 2)。22xae , x 0,【解】 lim 2f xx x0， f x alim ， a 2x x0、函数的间断点设函数 f x 在点 x0 的某去心领域内有定义 .在此前提下 ,如果函数 f x 有下列三种情形之一 :在 x x0 没有定义 ;虽在 x x0 有定义 ,但 lim f x 不存在 ;x x0虽在 x x0 有定义 ,且 lim f x 存在,但 lim f x f x0x x0 x x0;则函数 f x

22、 在点x 为不连续 ,而点 x0 称为函数 f x 的不连续点或间断点 .0间断点 x0 的分类 :第一类间断点 :左极限f x 及右极限 f x0 都存在，0可去间断点 :f ，(补充定义使之连续 )x0 f x0跳跃间断点 :f x0 f x ，0第二类间断点 : 左极限f x 及右极限0f x 至少有一个不存在，0无穷间断点 : lim f x ，x x0第一类间断点 左右极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点）第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）例 6：求ln xf (x) 的间断点，并指出它的类型。2 xx 3 2【分析】 由于初等函数在定义

23、域内都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。【解】ln xlim f ( x) lim2x x 00 x 3x2， x 0是第二类间断点教学 通过教学使学生掌握导数的定义，导数的几何意义及微分的概念，熟练掌目的 握导数的各种求导方法。重1隐函数的导数求法点2参数方程确定的函数的导数求法难3形如g( x )y f (x) 的函数的导数求法取对数求导法点. 变动上线的积分表示的函数的导数一、基本概念1导数及其变形2分段函数的导数通过左右导数来求. 导数的几何意义4. 微分的定义二、求导方法 教. 求导公式及其应用学提. 复合函数求导法纲隐函数的导数求法4参数方程确定的函数的导数求法5

24、极坐标方程表示的的函数的导数求法形如g( x)y f (x) 的函数的导数求法取对数求导法分段函数的导数变动上线的积分表示的函数的导数第三讲 导数与微分法研究一元函数的导数与微分是微积分的基础，经常出选择题与填空题，可作为求极限、求驻点、求拐点、求多元函数的偏导数与全微分等问题的基础。重点掌握分段函数的导数、隐函数的导数、参数（极坐标）方程确定的函数的导数。变动上限的积分表示的函数的导数每年都考。一、基本概念1导数及其变形例 1：设 f ( x) 在x 可导，求0(1)limh 0f(x03h) f h(x )0， (2)limh 0f (x02h)hf(x02h)1 1(3) )lim n

25、f (x0 ) f (x0n n0 2n2分段函数的导数通过左右导数来求例 2：设 f (x) | x a | (x), (x)在 x a 连续，文在什么条件下 f (x) 在 x a 可导？f (x) f (a)【解】 lim ( ) ( )lim x ax x a xa a当 (a) (a) ，即 (a) 0时， f (x) 在 x a 可导。2 【讨论】 f ( x) | x| ， f (x) x | x |， ( ) ( 1)( 1) | 1|f x x x x x 分别有几个不可导点。例 3： 已知函数2x x 1f (x) 处处可导，试确定 a、b的值。ax b x 1【解】 (1

26、) 欲使 f (x) 在 x 1处可导，必先在 x 1处连续，故有 lim f ( x) lim f (x) f (1)x 1 x 1，即 a b 1（2）又 f (x) 在 x 1处的左、右导数分别为f ( 1)2(1 x) 1lim 2x 0 x ，f ( 1)a(1 x) b 1lim limx 0 x 0xaxxa，故 a 2，从而 b 1，所以，当 a 2，b 1时 f (x) 处处可导。. 导数的几何意义设函数 y f (x)在点x 的导数存在，为 f (x0 ) ，则导数值为函数 y f (x)上一点 （ x0 ， f (x0 ) ）0处 的 切 线 的 斜 率 。 此 时 ，

27、切 线 方 程 为 ： ( )( )y y0 f x x x ； 法 线 方 程 为 ：0 01y y ( x x )0 0f (x )0。例 4：求2y x 的切线方程，使此切线与直线 y x 1的斜率相同。【解】设切点为（ x0， y0 ），则有：2y ，0 x0由已知，切线斜率与 y x 1相同，则 y| 1，x0可解得：1x ，02y014切线方程为：1 1y x 即4 21y x 。4例 5：函数 y f ( x)由方程4xy 2ln x y 确定，求 y f (x)在 ( 1,1)处的切线方程。【解】略4. 微分的定义设函 数 y f x 在 某 区间内 有 定义，x 及 x0 x

28、 在这区间内 ， 如 果 因变量 的 增 量0y 可表示为y A x 0 x ，其中 A 是不依赖于 x 的常数，而 0 x 是f x0 x f x0x时比 x 高阶的无穷小，那么称函数 y f x 在点0x 是可微的。而 A x 叫做函数 y f x 在0点 x0 相应于自变量增量 x 的微分，记作 dy 。即 dy A x 。二、求导方法. 求导公式及其应用 ( 略) . 复合函数求导法（略）隐函数的导数求法1例 6： 求由方程 sin 0x y y 所确定的隐函数 y f x 的二阶导数22ddxy2y【解】两边对x 求导得： cos 01 y y （* ）22cosy由此得2dy2dx

29、ddx22cos y22sin ycosyy224sincosyyy32方 法 二 ：对（ * ） 式 再 两 端 求导得 ：y12ycosyysinyy0y1122y sin y1cosy2222y sin y 2 cos y2 cos y 2 cos ysin y24sinycos y34参数方程确定的函数的导数求法（1）若参数方程xytt确定 x 与 y 之间函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数。（2）计算导数的方法dydxttdtdttt，2 dyd y d dx2dxdx例 7: 函数 y f (x) 由参数方程xytsintasinudu确定，求dydx，2dy2dx【解】

30、dxdysintdtcostdtdydxcot t例 8: 函数 y f (x) 由方程2tyx2tsiny2t1确定，求2ddxy2【解】略5极坐标方程表示的的函数的导数求法设极坐标方程为 ( ) ，化为直角坐标xy()cossin，进一步转化为直角坐标求解。例 9: 函数 y f ( x)的极坐标方程为 e2 ，求dydx【解】xy2e2ecossindxdy2e2e(2(2cossinsincos)d)d形如g( x )y f (x) 的函数的导数求法取对数求导法dy cos x例 10: y (sin x 1) ，求dx 【解】 ln ycos x ln(sin x 1)方程两边关于

31、x 求导7分段函数的导数分段函数的导数在分段点通过左右倒数来讨论。例 11: 设f (x)xg (x) e xx0， g(x) 有二解连续的导数， g (0) 1, g (0) 1, 求 f (x)0 x 0【解】 当 x 0 时当 x 0时8. 变动上线的积分表示的函数的导数f (x) 连续，若xF (x) f (t )dt ，则 F ( x) f (x)a例 12： 求导数（1）ddxxacos(2t ) e cos(2 ) t dt x ext dt x ex（2）d 3 2cos(2t )e 2 cos(4 )t dt x e xdx2x（3）d 2 22x2cos(2t )e 2 c

32、os( ) 2 cos(2 )t dt x x ex x e xdx2x（4）ddxxaxd dx xt t t e dt x x et xcos(2t ) e dt x x cos(2t ) e dt cos(2 ) cos(2 )dx dxa a（5）d 1f (x)是连续函数，求 f ( tx)dtdx0d 1 x 11所以， ( )f (tx )dt f ( y) dy f x2dx x x0 0例 13：设 f (x) 可导， f ( x) xf (x 1) 4 ，并且1 xf ( xt)dt0 0f (t 1)dt3 2x x 2x求 f (x)【解】 令y tx, 则10f(tx

33、 )dt1xx0f(y )dy代入1 x3 2f ( xt)dt f (t 1)dt x x 2x0 0得x xf (t) dt x0 0f (t 1) dt4 x3 2x2x 两边两次求导x(x t) f (t )dt0例 14： 设函数 f(x) 连续，且 f (0) 0，求极限 .limx x f x t dt ( )0 x0【解】 由于x x t u0 xf (x t) dt f (u)( du) f (u) du ,于是0 x 0x x x(x t) f (t )dt x f (t)dt tf0 0 0lim limx xx 0 x f (u) dux 0x f (x t) dt0

34、0(t) dtxf (t )dt xf ( x) xf (x)0lim = xx 0 f (u )du xf ( x)0xf (t) dt0lim =xx 0 f (u) du xf (x)0xf ( )linx0 xf ( ) xf.(0)f(0)1. f (0) f (0) 2=第四讲 微积分中存在性问题的证明方法教学目的通过教学使学生掌握微积分中存在性问题证明的一般方法，熟练掌握用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题；用中值定理证明存在性问题；用泰勒公式证明存在性问题重点难点1用介值定理或根的存在性定理证明存在性问题2用中值定理证明存在性问题3用泰勒公式证明存在性问题1基本结论(1)

35、有界性；最值性；零点定理；介值性定理；罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理2证明思路(1) 设 f (x) 在a,b 上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在 a,b ，使得f ( x) c ，一般用介值定理或根的存在性定理。(2) 设 f (x) 在a,b 上连续，在 (a,b)上可导，证明存在 (a,b) ，使得结论中包含 和一 教阶导数的等式成立，一般用中值定理。学提(3) 设 f (x) 在a,b 上连续，在 (a,b)上二阶可微，证明存在 (a, b) ，使得结论中包含纲和二阶导数的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。(4)设 f ( x) 在a,b 上连续，在 (a,

36、b)上三次（或以上）可导，证明存在 (a,b) ，使得结论中包含 和三阶导数的等式成立，一般用泰勒公式。(5) 条 件 中 包 含bf (c) f (x)dx 时 ， 要 首 先 使 用 积 分 中 值 定 理 处 理 ， 得 到af (c) f ( )，作为其他证明的条件。3.存在性证明中辅助函数的构造方法第四讲 微积分中存在性问题的证明方法微积分中存在性问题的证明问题涉及闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、积分中值定理和泰勒公式，是历年考试的重点，一定熟练掌握。这一问题的突破点是选择正确的解题思路并合理构造辅助函数，有时辅助函数需要借助微分方程来寻找寻找。1基本结论(1) 有界性： 若

37、f ( x) Ca, b M 0, x a,b, f (x) M 。(2) 最值性 ：若 f (x) Ca, b ，则 f (x) 在 a, b 能取到最大值和最小值。(3) 零 点 定 理 ： 若 f (x) C a,b ， 且 f (a) f (b) 0 ， 则 在 (a, b) 内 至 少 存 在 一 点 c ， 使f (c) 0 。(4) 介 值 性 ： 若 f (x) C a,b ， M ,m 分 别 是 f (x) 在 a,b 上 的 最 大 值 和 最 小 值 ， 则m, M ，在 a,b 至少存在一点 c，使 f (c) 。(5)罗尔定理 如果函数 f(x)满足：（ 1）在闭区

38、间 a,b 上连续 （2）在开区间 (a, b) 内可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即 f (a) f (b) 那么在 (a, b) 内至少在一点 (a b) 使得函数 f (x) 在 该点的导数等于零，即 f ( ) 0(6)拉格朗日中值定理 如果函数 f (x) 满足（1）在闭区间 a,b 上连续 （2）在开区间 (a,b)内可导那么在 (a, b) 内至少有一点 (a b) 使得等式F x 在(a, b) (7)柯西中值定理 如果函数 f (x)及 F(x)在闭区间 a,b 上连续 ,在开区间 (a,b)内可导 ,且 ( )内每一点均不为零 ，那末在 (a,b)内至少有一点 (a

39、b) ,使等式f ( b)F(b)fF(a)(a)fF()成立2证明思路(1)设 f ( x) 在a,b 上连续，条件中不涉及到导数或可微，证明存在 a,b ，使得 f (x) c ，一般用介值定理或根的存在性定理 。(2) 设 f (x) 在a,b 上连续，在 (a,b)上可导，证明存在 ( a,b) ，使得结论中包含 和一阶导数的等式成立， 一般用中值定理 。(3) 设 f (x) 在a,b 上连续，在 (a,b)上二阶可微，证明存在 (a, b) ，使得结论中包含 和二阶导数的等式成立， 一般三次使用中值定理或用泰勒公式 。(4)设 f (x) 在a,b 上连续，在 (a,b) 上三次（

40、或以上）可导，证明存在 ( a,b) ，使得结论中包含 和三阶导数的等式成立， 一般用泰勒公式 。(5)条件中包含bf (c) f (x)dx时，要首先使用 积分中值定理 处理，得到 f (c) f ( )，作为其他a证明的条件。3.存在性证明中辅助函数的构造方法存在性证明中成功构造辅助函数是解题的关键。 辅助函数大多来源于结论， 从对结论的分析中得出辅助函数。例 1、设 f (x) 在0 ，2a 上连续， f (0) f (2a) ，证明在 0,a 上存在 使得f (a ) f ( ) .【分析】 f (a ) f ( ) f (a ) f ( ) 0 f (a x) f (x) 0【证明】

41、令 G(x) f (a x) f (x) ， x 0, a G(x) 在0,a 上连续，且当 f (a) f (0) 时，取 0，即有 f (a ) f ( ) ；当 f (a) f (0) 时， G(0)G( a) 0 ，由根的存在性定理知存在 (0,a) 使得， G( ) 0 ，即f (a ) f ( ) 例 2 设函数 f(x) 在0，3上连续，在 （0，3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1. 试证必存在 ( 0,3) ，使f ( ) 0.【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点 c 0,3) ，使得 f (c) 1 f (3)，然后在 c,3 上应用罗尔f

42、 (0) f (1) f (2)定理即可 . 条件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等价于 1，问题转化为 1 介于 f(x) 的最值之间，最3终用介值定理可以达到目的 .【证明】 因为 f(x) 在0，3上连续，所以 f(x) 在0，2上连续，且在 0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是m f (0) M ， m f ( 1) M ，m f (2) M .f (0) f (1) f (2)故m M .3由介值定理知，至少存在一点 c 0,2 ，使因 为 f(c)=1=f(3), 且 f(x) 在 c,3 上 连 续 ， 在 (c,3) 内 可 导 ， 所 以 由 罗 尔 定 理 知 ，

43、 必 存 在( c,3) ( 0,3) ，使 f ( ) 0.例 3、设函数 f (x) 在0,1 上连续，在 (0,1) 上可导， f (1 ) 0 ，证明：在 (0,1) 内存在 ，使得f ( )f ( ) 【分析】本题的难点是构造辅助函数，可如下分析：【证明】令 G(x) xf (x) ，则 G(x) 在0,1 上连续，在 (0,1) 上可导，且G (0) 0 f (0) 0, G(1) 1f (1) 0, G (x) f (x) xf ( x)f ( )由罗尔中值定理知，存在 (0,1)，使得 G ( ) f ( ) f ( ) 即f ( )1例 4 设函数 f (x) 在0，1上连续

44、，（ 0，1）内可导，且 kf (1 ) k0xe 1 x f (x)dx1 x f (x)dx1 f证明： ( 0,1)，使f ( ) (1 ) ( ) （k 1）【 分析 】本题的难点是构造辅助函数，x (1) 1 f ( ) 令 g(x) xe f (x)f e g(1) g( )【证明】略例 5 设函数 f (x) 在0，1上连续，（ 0，1）内可导，且 (0) (1) 0, ( ) 11f f f21 ，使f 证明： (1) ( ,1 ) ( )2(2) 对于任意实数 ， (0, )，使f ( ) ( f ( ) ) 1【分析】本题的难点是构造辅助函数，x x f x x e C 令

45、 g(x) e f (x) x( ) 例 6、设函数 f ( x) 在0，1上连续，（ 0，1）内可导，且 f (0) 0, x ( 0,1), f (x) 0证明：nf ( ) f (1 )，使 （ n为自然数）(0 ,1)f ( ) f (1 )【分析】本题构造辅助函数的难度大于上一题，需要积分（即解微分方程）方可得到：n【证明】令 G(x) f ( x) f (1 x)，则 G(x) 在0,1 上连续，在 (0,1) 上可导，且 G( 0) G(1) 0 ，( 0,1) G ( ) 0 ，即，使nfn1 f x f f n f( ) ( ) (1 ) ( )(1)0，又 f (x) 0，

46、约去 f ( ) n 1 xn 1 x，整理得证例 7、设函数 f ( x) 在0,1 上连续，在 (0,1) 上可导， f (0) 0， f (1 ) 1. 证明：(1) 在(0,1) 内存在 ，使得 f ( ) 1 / f /(2) 在(0,1) 内存在两个不同的点 ， ( ) ( ) 1使得f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论 .【证明】 （I） 令 F (x) f ( x) 1 x ，则 F(x) 在0，1上连续，且 F(0)=-10, 于是由介值定理知，存在存在 (0,1), 使得 F ( ) 0，即 f ( ) 1 .（ II ） 在 0, 和 ,1