构造法在中学数学中的应用研究毕业论文

1、 本科毕业设计（论文）题目 构造法在中学数学解题中的应用研究 学 院 数学与统计学院 年 级 2009级 专 业 数学与应用数学 班 级 0401091 学 号 040109104 学生姓名 田伟 指导教师 戴培良 职 称 教授 论文提交日期 2013-5-22 常熟理工学院本科毕业设计(论文)诚信承诺书本人郑重声明： 所呈交的本科毕业设计(论文)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签

2、名： 日期：常熟理工学院本科毕业设计(论文)使用授权说明本人完全了解常熟理工学院有关收集、保留和使用毕业设计(论文)的规定,即：本科生在校期间进行毕业设计(论文)工作的知识产权单位属常熟理工学院。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业设计(论文)被查阅和借阅；学校可以将毕业设计(论文)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业设计（论文），并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业设计(论文)在解密后遵守此规定。本人签名： 日期：导师签名： 日期：构造法在中学数学解题中的应用研究摘要构造法是一种重要的划归手段，

3、学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。 关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题application of the construction method in middle school mathematicsabstractconstruction is an important classified method, student

4、s achieve the objective of solving problems through constructing a new mathematical model which is obtained by students through observing, analyzing and grasping the characteristics, associating the mathematical model and transforming propositions. it plays an important roles in solving mathematical

5、 problems of middle school, mainly involves the function, pattern, equation, sequence and so on. construction method is also a method of creative, belongs to unconventional thinking, it can improve the students observation, analysis, problem solving skills.key words: construction method; analysis; c

6、reativity; problem solving.目 录1.引言1.1 论文的研究背景. 11.2 本论文研究内容. 22.构造法在中学数学中的应用 2.1如何利用构造法解方程类问题. 32.2巧妙构造图像性质解决数学问题 52.3用构造法求解数列问题 72.4用构造三角函数法巧解数学问题. . 9 2.5用构造法巧解生活中常见问题. 10 3.关于中学生对构造法思想掌握情况的调查报告3.1调查的设计、方法和过程133.2调查结果及分析143.2.1 实验结果14 结语. . .16 参考文献. 17 致谢. .191. 引言1.1 论文的研究背景构造法是数学解题中一种十分重要的基本方法，

7、是根据题目中所给的条件或者结论，通过观察、分析、联想与综合，利用各种知识间的内在联系，有目的的构造一个特定的数学模型，从而将一个命题转化成一个与之等价的命题。构造法同样是一种创新的思维方法，解题过程中要打破常规思维，另辟蹊径，巧妙的解决。构造法历史发展过程：从数学产生的那天起，数学中的构造性方法就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直观派有关。直观派出于对数学的“可行性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。”这就是构造主义。构造法的发展历史主要包括以下几个过程：（一）直观数学阶段，先驱者是19世纪末德国的克隆尼克

8、。他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。”曾计划把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。后续代表人物包括彭加勒，其主张所有的定义和证明都必须是构造性的。以及近代构造法的系统创立者布劳威，其主张存在必须被构造的观点。（二）算法数学阶段，由于直觉数学难以为人读懂，同时直觉数学对排斥非构造数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性，所以产生了另外几种构造性倾向，主要是算法数学。算法数学是马尔科夫及其合作者创立的，并将此定义为：一种把数学的一切概念归约为一个基本概念算法的构造性方

9、法。但是，因为这种构造法外行人读起来十分困难，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。（三）现代构造数学阶段，由比肖泊提出，他避免使用直觉派的超数学原理，摆脱了算法数学对递归函数理论方法的不必要依赖，超脱了对于形式体系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。同时比肖泊采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号，所以为一般数学家容易看懂。构造法的应用研究涉及各个科学领域，现在数学构造法在中学方面的研究主要集中表现为以下两类。（一）构造法的理论教学研究。构造法的主要特点是创新性，发散性，需要学生具有一定的创新思维能力，同时要求学生对基础知识的把握要牢固，学生只有通过自己的再创造

10、而获得的知识才能被掌握和灵活应用1。构造法的教学有利于提高学生对数学模型的敏感性，培养学生的创新和发散思维能力以及促使学生完善数学认知结构，增强学生自我建构的能力2。随着新课程改革的不断推进，学校教育越来越重视学生的能力素质的培养，特别是注重学生对数学方法的了解，理解，掌握和灵活运用。 教师应在数学教学中广泛运用构造法，在潜移默化中培养学生的创新能力3。（二）构造法解题的基本类型分析。构造法解题的巧妙之处不是直接去解所给问题，而是构造一个与问题先关的辅助问题，通过来解决问题。如：构造代数模型、几何模型、不等式模型等4。构造法解题同样有其一定的规律性，通过学生对方法技巧的掌握，从构造法的特点入手

11、，也能有效的利用好这个解题工具5。构造法解题在中学中具有广泛的应用，所涉及的知识点也很广，但主要归纳起来为以下几个方面：1.构造模式；2.构造特例；3.构造引理6。1.2论文研究内容上述两种方法都是以分开的形式进行研究，虽然各有优点，但是不能有效的，从整体上来分析中学生如何有效的掌握利用构造法解题的方式。所以，为了有效的解决这一问题，并且整合上述两种研究方式的优点，本文将主要论述中学数学当中的构造法实际应用，通过构造函数，构造数列，构造方程，构造图形，以及构造性思维培养几个方面，来认识和学习运用构造法，并以例题分析的方式加深学生对知识的理解与掌握。同时为了直观的了解现在中学生对构造法的理解程度

12、，本文将通过调查问卷的形式，来分析中学生对这一重难点的认知水平和知识建构情况，调查对象为高中一年级和二年级，通过纵向与横向研究，来分析不同年级以及不同学生间对构造法掌握的差异程度，并且对所得结果提出了作者本人的看法。2.构造思想方法在中学数学中的应用构造法在中学数学解题中是一种重要的思维方法，运用构造法解题可以拓宽学生的视野，提高学生分析，观察，解决问题的能力，培养好学生的创新思维。构造法的大体结构如下：构造法有以下两种基本特征： （一）：对所讨论的对象能进行较为直观的描述； （二）：实现的具体性，就是不只是判明某种解的存在性，而且要实现具体求解2.1如何利用构造性方法解决方程类问题方程的求解

13、方法最早出现在我国的数学著作九章算术中，经过无数数学家的不懈努力，在十六世纪，已经找到三次和四次函数的求根公式，但至今无人能解决五次以上的代数方程的根式解。方程，作为中学数学最重要的考察内容之一，往往涉及到许许多多的难点和重点，考察的方式也多种多样，学生在做到尤其是需要构造法解决的问题时，常常会束手无策。如以下例题： 例1：已知，求证： 分析：学生在做这种题目时，会想到通过分母进行通分得到：，做到这思维往往就会停滞，不知如何开展，其实如果将不等式右边的代数式移到左边得，做到这，通过观察，分析可以联想到上述不等式与一元二次方程根的判别式：是相似的，通过逆向构造一元二次方程可得，进而通过判别式方法

14、来解决。详细过程如下：例1： 已知，求证：证明： 因为，所以将分母通分可得： 将不等式的右边移到不等式左边可得： 。联想到二次函数进而构造出一元二次方程：，通过观察分析所得：是方程的一个根。所以方程根的判别式： ；即： 以上例题重在考查学生能否通过已知条件和结论，性质与特征，构造出一元二次方程的模型，以及观察，发现，解决问题的能力。如果说上述方法重在创新，以下的例题则更强调对解题方法的记忆和理解。如以下在中学中最常见的方程练习题：例2： 解方程：分析：在做这类习题时，如果采用常规方法即：平方差公式法解题或者平方法，在解题过程中会觉得难以奏效甚至会越来越烦，在解决这类问题时，需要学生发挥好创造性

15、思维，但这类问题随着时间的推移，逐渐形成了解题的固定方式，但仍需要学生在记忆的基础上重在对解题方式的理解。解题通用过程大致如下：例2：解方程：解： 根据方程可以构造出以下辅助恒等式：（1）将原方程标记为等式（2），由（1）（2）可得：（3）（2）+（3）得： 解得： 总结：在做上述例题时，并不对所有类似的题都是有效的，需要满足以下条件 （一）：根号内的未知数最高次项必须是相同的； （二）：最高次项前的系数必须是相同的；只有满足以上两个条件才能用上诉的方法解答。在解方程类习题时，若果采用向思维难以解决时，或者越来越烦，可以考虑逆向思维，如：构造相思结构的方程等方式，将问题转换成一个自己熟悉的问题

16、，从而巧妙简捷的解决问题。2.2巧妙构造图像性质解决数学问题数形转换是我们经常采用的构造方法之一，就是把代数与几何相结合，抽象与直观相联系，使问题直观化。比如说：在中学数学学习过程中，学生会经常遇到一些难以解决或者解起来很困难的函数类问题，如求函数的值域，如果通过常规法解题，需要先求出根号下一元二次函数的值域，然后再求总的函数的值域，过程相对较繁。但是我们通过观察会发现函数的图像就是一个圆，转化可得：，这样就可以很直观的得出函数的值域是，其次还有诸如数学符号“”可以将绝对值中的方程构造成点与点之间的距离；数学符号“”构造成平面中点到点的距离，圆，圆锥曲线等图像形式，当然，还有很多其他的一些构造

17、图像解问题方法。通过下面例题的讲解，可以更加直观的了解构造图像解数学问题的优点。例3：求函数的值域解析：一般在做这种类型题目时，往往会采用分类讨论的思想，但是考虑的因素会较多，不便于书写。本题中可以看成坐标轴上的一点到点-2的距离与到点3处的距离之和，存在下面三种情况：1.如图1.当点在-2和点3中间时，不管点是如何的移动，其距离之和总是-2到3之间的距离，即为5 （图1）2. 如图2. 当点处在点3的右侧时，随着点的不停右移，点到两点间的距离之和将越来越大且大于5 （图2）3. 如图3.当点处在-2的左侧时，随着点不停的左移，点到两点间的距离之和将越来越大，且大于5。 （图3）综上所述：我们

18、可以得到，函数的值域是。（解题过程略）例4：设求证：解析：直观上看相对复杂，按照平方法等常规方法做本题对学生来说是无从下手的，但是对本题进行观察分析，我们会发现每一个根号下的未知数都是以平方的形式出现，易于联想到勾股定理，构造出对应的三角形，如下：设,于是：，因为固所给结论成立。图4上述问题的变式很多，作者曾做到过很多类似的问题，如某市中考模拟卷中有如下一个问题： 变式1：在中，三边的长为，求这个三角形的积？解析：用高中数学知识解答是能够完成，通过联立，两个公式即可解决，但是计算起来相对复杂，况且是初中数学问题。三角形是一个一般三角形，三边无规律性，所以解决这类问题，可以通过增补的方法使之呈现

19、规则的形式。增补方式如图5所示， 图5在日常解题过程中要注意对问题的归纳，再遇到一个新问题时，尤其是自己无从下手的问题，需要我们联想到一个类似的问题，最终将它转化成一个简单的问题。其次要考虑它们的图像意义，能够将抽象的问题直观化。上述两个例题主要分析了绝对值和根号问题解答过程中所应联想到的方法。构造图像解数学问题是中学中每一位学生都必须掌握的，利用好图像工具不仅仅有利于问题的解决，更能增加学生的学习兴趣。2.3用构造法求解数列问题数列是中学数学最为重要的内容，也是高考考查的重点和难点。数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切。数列中的递推思想，函数思想，分类讨论思想以

20、及数列求和，求通项等各种方法和技巧在中学数学中都有十分重要的地位。解决数列问题，往往不可忽视构造法的应用，这也是数列的难点所在，很多数列问题题目较短，所给的文字信息有限，学生在做题时不容易找到突破口。其实，解题的方向就在题目中所给的关系式，只需通过合适的关系变换就容易解决。如数列求通项例5：已知数列满足，求数列通项解析：题目中只给出了，的关系，没有其他条件，解题的难点就在于如何转化关系式。表面上看既不符合等差关系也不符合等比关系，但是如果将关系式构造成关系式。就能直观的看出通项是等比数列，只需求出即可。完整过程如下：例5：已知数列满足，求数列通项解: 构造如下关系式： ； 可得 ： 即： 结论

21、：当题目中出现如关系式 ， 。上述数列的函数表达式是，通过构造等比数列形式能够容易解出来。但是遇到形式时，又该如何做呢？如：例6：已知数列满足求。解析：这里与上一题明显的区别是后面的常数转换成了关于的一次函数。用上述的构造方法做是行不通的。如何使这种形式向这方面来转换，我们发现与的系数为2倍关系，能否将上述转换成形式。例6：已知数列满足求解： 即： 现令： 可得： 同上所得： 结论：当诸如遇到以上数列形式时，即：。类比，通过下述方法进行构造：，再令，从而实现形式的转换。构造法在数列解题中的应用非常广泛，不论在求通项方面还是在求和方面都有涉及。构造法在解题过程中充当着中介的作用，使一些看似复杂，

22、不符合常规方式的数列经过中介作用变成简单的等差或者等比数列。还有许许多多的构造方法在此就不在一一论述，如：构造图形法解数列题：等差数列数列，其中，问在哪项时最大。（提示，等差数列的图像相当于一次函数的图像）；构造倒数式：数列中，是前n项和，且，已知，求与 。（提示：构造等式，与提干中的条件联立起来，可得：，两边同除，即可得出是以2为公差的等差数列）等。2.4.用构造三角函数法巧解数学问题。三角函数是中学数学的重要内容之一，其考察方式主要与代数，几何知识进行联系，它是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考察双基的重要内容。应用三角函数方法解题技巧灵活，方式多样，同学不容易掌握。尤其是以下几种情

23、况：常值代换，特别是“1”的代换，如：特殊替代，尤其是含有“”的情况，如，需要用代替题目中的。万能代换，利用所学的万能公式。在做三角函数题时，需要学生熟练掌握和，差，倍，半角的三角公式，利用锐角三角函数的定义，勾股定理，正弦定理，余弦定理等常用解题工具，能够认真分析和归纳题目要求，把握其中的方法和技巧，能通过恰当的变换，构造出相对简单和熟悉的三角结构出来，从而解决问题。下面通过几个用构造三角函数法解数学问题的案例来进一步学习三角函数的应用。一：常值构造法。例7：已知求的值。解：由条件 可得： ， 展开可得： 因为： ， 代换得： 同理： ， 分子分母同除以： ，可得： ，因为：，所以最终可得：

24、例8：求函数的最大值和最小值。解：构造模型： 两边同平方： =常值构造： 则：可得： =由二次函数的图像可得 ；以上两个例题都是常值变换中的常见用法，即题目中直接替代或者通过平方后替代。在做这一类题目时，要注重观察分析，看是否能够替换，并不一定对所有的1都可以替换成，以免画蛇添足，利用构造法解题在于其中介作用，以繁化简，以难化易。二：模型构造法（替代法）。例9：已知：，求证：。分析：由，。知，结论要求证明，容易联想到，因此，我们构造，所以=，可得，所以。模型构造方法在解三角函数习题中最为常见，主要特点就是根据已知条件，通过符号等价转换，从而形成一个新的数学模型。这就要求学生在做题时要克服思维障

25、碍，以分析问题，创新思维，顺其自然地构造常规解题模式，使问题得到容易解决。2.5.用构造法巧解生活中常见问题日常生活中，我们会遇到各式奇奇怪怪的问题，如：青蛙跳井问题，抽屉问题，摸小球次数问题，韩信点兵问题等。上述问题通过常规思维去做是十分复杂，甚至是难以解决的，需要通过发散性思维来思考，通过丰富想象，逻辑构造可以进行有效解决。下面通过几个例题进行简要分析。例10：某学院内组织一次考试，其中女生参加的人数要比男生多，其次，考试结果显示不及格人数比几个人数多，问：不及格女生人数与及格男生人数之间的大小关系？解析：提取题目所给条件进行，构造数学模型：女生人数男生人数不及格人数及格人数直观上不容易看

26、出结论中谁大谁小。下面对模型继续进行构造如下：不及格女生+及格女生不及格男生+及格男生；不及格女生+不及格男生及格女生+及格男生；数学化为： ，其中,问两者的大小关系，显然有结论：，即：不及格女生人数多于及格男生人数。本题根据题目所给要求完全不能看出谁大谁小，但是经过关系的转换，可以很容易构造出相对简单的数学模型，进而就能直观的看出题目的结论。在解这一类题目时，需要学生理清题目中的关系，能够构造出相对简单的数学模型。例11：一个袋子中有三种色彩的小球，其中黑色球有8个，白色球有12个，红色球有17个。问：最小取几次能够保证取到4种相同颜色的小球。解析：在遇到这种问题时，学生思维容易混乱，很容易

27、被题目中的数据所困扰，同时小球的色彩种类较多，不易找出题目所含问题的突破口。为了达到解题的目的，不妨将问题简化为如下情况：第一步：构造模型：假设有三个标有编号的小盒子，每取一种颜色的球，就放到相应的盒子中去。第二步：动手操作：向盒子中放小球，为了保证取到4种相同的球，那么就取其极端情况，即：每种颜色的球都取到了三次第三步：得出结论：因为每个盒子中都有三个小球，现在只需再取一个小球，就能满足三个盒子中必有一个是四个球，即：某种色彩的小球取到了四次，所以答案是10次。变题12：一个袋子中有三种色彩的小球，其中黑色球有8个，白色球有12个，红色球有17个。问：最小取几次能够保证取到10个相同颜色的球

28、？解析：和上题题干信息相同，但是问题是取10个相同颜色的球。而我们知道黑色球只有8个，看似不符合上述方法，但其实质是相同的，即这10个相同颜色的球必须是白色或者红色球当中的一种。我们只需首先将黑色球全部取出，再通过刚刚方法求出另外两种颜色的取法。最终结果为: (次)。上述例11和其变题所涉及的方法叫做抽屉法，抽屉法的定义是：如果每个抽屉代表一个集合，每一个物体可以代表一个元素，假如有或者多于个元素放到个集合中取，其中必定至少有一个集合里有两个元素。抽屉原理又称鸽巣原理。它是组合数学中一个重要的原理。例13: 64人订a,b,c三种杂志，订a中杂志的有28人，订b中杂志的有41人，订c中杂志的有

29、20人，订a，b两种杂志的有10人，订b,c两种杂志的有12人，订a,c两种杂志的有12人，问三种杂志均订的有多少人？解析：通过题干所给信息可以得出下面结论： 1. , 2. ,3. , 4 . 图6构造相应的交集图像模型：可得图6：将三者相加，其中多加了阴影部分的面积，又因为三个阴影部分有交集（深色部分），所以多减了这部分的面积，可设深色部分的面积为。其结果为：28+41+20-10-12-12+=64，=9（人）。3. 关于中学生对构造法思想掌握情况的调查报告。根据新课标要求，强调要加强学生对数学方法的掌握，注重培养学生的创新能力和实践能力，学会运用数学思维方式去观察，分析数学问题，增强应

30、用数学的意识。构造法作为中学数学中最重要的数学方法，正好起着考察学生发散，创新思维能力的作用。3.1调查的设计、方法和过程本次调查采用分层调查的模式，随机选择同一学校的高中二年级和三年级的学生，样本总数为94人。在掌握基本数学知识的基础上，在课堂教学中应用构造思想的渗透教学，进行课堂交流，能培养学生的优良思维品质，有助于激发学生的非智力因素，提高学习效率，培养学生的创新思维能力。采用问卷调查的方式，问卷设置主要以选择题为主，加以简单的解答题，主要考察不同学习阶段和不同学习情况的学生对构造法的认识程度，以及是否能熟练利用构造法解题的能力。3.2调查结果及分析3.2.1 实验结果 下面通过列表法对

31、数据进行分析，因为调查人数相对有限，所以数据都采用了近似值。通过几个数据表进行横向与纵向对比，对数据结果进行分析，并且根据所得结论提出建议。（1）调查数据（数据为近似值）：高二学生调查数据 表一：（选择）选项 题目1234a bc高二学生调查数据 表二：（简答）方法 题目12构造法非构造法 高三学生调查数据 表三：（选择）选项 题目1234abc 高三学生调查数据 表四：（简答）方法 题目12构造法非构造法（2）数据分析： .高二和高三学生结果对比在选择题部分的共同点表现在：在数学兴趣方面和教师讲课方式的趋向性方面基本一致，说明不同阶段的学生对数学学习的兴趣比例差别不大；而差异性表现在：数学构

32、造法的掌握，高二的结果只有，高三学生的结果为，说明高三的学生相对高二的学生更加注重对数学方法的掌握。第三题中高二学生对方法的重视程度明显比高三学生低，这与第一题的结果是相似的，说明高年级的学生更倾向于对知识的构建，全面的掌握，这与高三处于复习阶段是有一定的关系的。第五题主要侧重于对学生掌握构造法程度的检测，其结果对比更加明显，高二学生能采用构造法的有，而高三的达到了，差距达到了倍。归因分析从上述数据来看，高三学生对构造法的掌握要明显强于高二学生，这与目前学校广泛采用传统授课方式有关，在学习知识过程中，学生往往处于被动的地位，不能很好的参与到知识的构建当中去，不利于以后的知识网络的形成。对于构造

33、性方法的学习，更加注重学生创新思维能力的培养，需要学生灵活，开放的思维，但是现在的教育背景正好与之相反，导致构造法在中学部分成为一个重难点。高三部分之所以能相较高二取得较好的成绩，主要是高三年级教师在知识的复习和巩固当中对知识点的把握和基础知识的学习投入大量的精力，学生在二次复习当中对自己薄弱的环节进行了加强，从而有效的构建了知识网络，这就是为什么高三学生能取得较好成绩的原因。思考与建议。构造性方法在中学中占有重要地位，对构造性思想方法的学习能够加深学生对知识的理解与运用，有利于学生对知识的构建，拓宽学生的思维，培养学生的创新能力。但是目前大部分学生对构造法认知还很浅显，学生的创新能力，发散思维能力还很不够。改变这个现状，关键要很好的实行新课改教学，教师在教学过程中要更加强调学生的主体作用，以及做好教师的引导作用，让学生参与到知识的构建，完善学生的认知结构。结语 在开始论文写作之前，我发现构造法在中学数学解题中的应用非常广泛，也是高考考察的重点和难点，所以我选择以此为研究方向，。为了更好的进行论文的写作，我阅读了很多的相关文献，其中文献主要分为两类，一类为如何进行构造性方法教学的理论知识，一类为构造性方法的运用解题。