哈工大数学建模2013考查题

1、1、某银行经理计划用一笔资金进行证券投资业务，可供购进的证券及其相应信息如下表所示，且有如下规定和限制：（1）市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需要按50%的税率纳税；（2）政府及代办机构的证券总共至少购进400万元；（3）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级越小，信用程度越高）；（4）所购证券的平均到期年限不超过5年；证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益率(%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5请回答下列问题：（1） 若该经理有1000万资金，应如何投资？（2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元，该经理应该

2、如何操作？（3） 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？注：为简化问题起见，题中的税前收益率和利率都与年限无关，即都为固定值。问题分析 这个问题主要是为了实现收益最大化，通过合理投资证券实现，受到信用等级、到期年限、到期税前收益率以及每种证劵的纳税税率的约束。决策变量：设每种证劵分别投资x1、x2、x3、x4、x5（万元），平均信用等级为u，平均到期年限为v。目标函数：设投资总金额为Q，投资的利润为y（万元），则有y=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5约束条件：平均信

3、用等级 u=(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/ Q1.4平均到期年限v=(9x1+15x2+4x3+3x4+2x5)/Q5 非负约束 xi=0,j=1,2,3,4,5附加约束 x1+x2+x3400模型分析与假设 xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关 xi取值连续变量xi符合比例性、可加性、连续性。模型求解 目标函数y=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5约束条件x1+x2+x3+x4+x5=1000=Q x2+x3+x4

4、400 2x1+2x2+x3+x4+5x51.4Q=14009x1+15x2+4x3+3x4+2x55Q=5000 0x11000 0x21000 0x31000 0x41000 0x51000 模型求解 用LINGO软件求解，程序如下max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x1+x2+x3+x4+x5=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;运行结果 Global optimal solution found. Objective value

5、: 29.83636 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0. X2 0. 0.E-01 X3 736.3636 0. X4 0. 0.E-03 X5 45.45455 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.83636 1. 2 0. 0.E-01 3 336.3636 0. 4 0. 0.E-02 5 0. 0.E-02从程序运行的结果中可以得到最优解为：x1=218.1818，x2=0，x3=736.3636，x4=0，x5=45.45455,y=29

6、.83636。即对A中证劵投资218.1818万元，对C中证劵投资736.3636万元，对E中证劵投资45.45455万元，对B和D中证劵不进行投资，此种投资方案可使投资利润最大为29.83636万元。（2）从问题一程序运行的结果中可以看到，程序的第二条所对应的影子价格为2.，大于2.75，所以应该借足100万元进行投资。用LINGO软件求解，程序如下max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x1+x2+x3+x4+x5=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4

7、-3*x5=0;运行结果：Global optimal solution found. Objective value: 32.82000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 240.0000 0. X2 0. 0.E-01 X3 810.0000 0. X4 0. 0.E-03 X5 50.00000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 32.82000 1. 2 0. 0.E-01 3 410.0000 0. 4 0. 0.E-02 5 0. 0.E-02从程序运行的结果中

8、可以得到最优解为：x1=240，x2=0，x3=810，x4=0，x5=50,y=32.82。也就是对A中证劵投资240万元，对C中证劵投资810万元，对E中证劵投资50万元，对B和D中证劵不进行投资，此种投资方案可使投利润最大为32.82万元。（3） 若证券A的税前收益增加为4.5%时，程序如下：max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x1+x2+x3+x4+x5=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;运行结果如下：Global optim

9、al solution found. Objective value: 30.27273 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 218.1818 0. X2 0. 0.E-01 X3 736.3636 0. X4 0. 0.E-03 X5 45.45455 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.27273 1. 2 0. 0.E-01 3 336.3636 0. 4 0. 0.E-02 5 0. 0.E-02投资结果不改变。若证券C的税前收益减少为4.8%，则程序如下：max

10、=0.045*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5;x1+x2+x3+x4+x5=400;0.6*x1+0.6*x2-0.4*x3-0.4*x4+3.6*x5=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5=0;运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 30.09600 Total solver iterations: 5 Variable Value Reduced Cost X1 336.0000 0. X2 0. 0.E-01 X3 0. 0.E-03 X4 648.0000

11、 0. X5 16.00000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 30.09600 1. 2 0. 0.E-01 3 248.0000 0. 4 0. 0.E-02 5 0. 0.E-02投资应改变。3、某公司有三个加工厂，某月公司接到4份分别来自于A，B，C，D客户的订单依次为15,17,22,12件，三个加工厂开工费用（固定值，与生产量无关）和生产量及各加工厂的至各个客户的每件运输费用如下面两个表格所示，请制定生产和运输费用，使得总费用最小。客户A客户B客户C客户D第一加工厂6267第二加工厂4953第三家工厂8815 单件运输费用（元）开工费用（元

12、）生产量第一加工厂9139第二加工厂7035第三家工厂2431问题分析：这个问题是为了实现生产与运输费用总和最少，决策需考虑每个加工厂的开工费用、每个工厂生产量、每个工厂到每个客户单件运输费用和每个客户的订单量这四个因素。基本模型决策变量：设A、B、C、D四个客户分别给三个工厂的分配变量分别为x11、x12、x13；x21、x22、x23；x31、x32、x33；x41、x42、x43。目标函数：设开工费用为y1（元），运输费为y2（元），生产与运输总费用为设生产与运输总费用为y（元），y=y1+y2。约束条件：1.工厂生产量：x11+x21+x311+x4139，x12+x22+x32+x4

13、235，x13+x23+x33+x4331。2.总订货量为15+17+22+12=66件，又由生产量可知至少有两家工厂开工。3.总费用y2=6x11+4x12+8x13+2x21+9x22+8x23+6x31+5x32+x33+7x41+3x42+5x43 。4.订单量 x11+x12+x13=15，x21+x22+x23=17，x31+x32+x33=22，x41+x42+x43=12。5.结果为正整数。模型求解方案：一只开两个工厂1、只开工厂一、工厂二则有：x13=x23=x33=x43=0x11+x12=15 x21+x22=17 x31+x32=22 x41+x42=12 x11+x2

14、1+x31+x4139 x12+x22+x32+x4235 y1=91+70=161 y2=6x11+4x12+2x21+9x22+6x31+5x32+7x41+3x42 将上述的y2变为如下式子y2=6x11+4(15-x11+2x21+9(17-x21)+6x31+5(22-x31)+7x41+3(12-x41) =2x11-7x21+x31+4x41+359 即变为如下条件y=y1+y2=2x11-7x21+x31+4x41+520 x11+x21+x31+ x4139 x11+x21+x31+ x4131 0x1115 0x2117 0x3122 0x4112 模型求解：程序如下：mi

15、n=2*x11-7*x21+x31+4*x41+520; x11+x21+x31+ x41=31; x11=15 ; x21=17 ;x31=22 ;x41=12;运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 415.0000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost X11 0. 1. X21 17.00000 0. X31 14.00000 0. X41 0. 3. Row Slack or Surplus Dual Price 1 415.0000 -1.

16、 2 8. 0. 3 0. -1. 4 15.00000 0. 5 0. 8. 6 8. 0. 7 12.00000 0.X11=0，x21=17，x31=14，x41=0，x12=15，x22=0，x32=8，x42=12，x13=x23=x33=x43=0，y=4152、 只开工厂一、工厂三x12=x22=x32=x42=0，x11+x13=15 x21+x23=17 x31+x33=22 x41+x43=12 x11+x21+x31+x4139 x13+x23+x33+x4331 y1=91+24=115 y2=6x11+8x13+2x21+8x23+6x31+x33+7x41+5x43

17、 将上述的y2变为如下式子y2=6x11+8（15-x11）+2x21+8(17-x21)+6x31+22-x31+7x41+5(12-x41) =-2x11-6x21+5x31+2x41+338 即为y=y1+y2=-2x11-6x21+5x31+2x41+453 x11+x21+x31+ x4139 x11+x21+x31+ x4135 0x1115 0x2117 0x3122 0x4112 程序如下：min=-2*x11-6*x21+5*x31+2*x41+453; x11+x21+x31+ x41=35; x11=15 ; x21=17 ;x31=22 ;x41=12;运行结果如下 ：

18、 Global optimal solution found. Objective value: 327.0000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X11 15.00000 0. X21 17.00000 0. X31 0. 3. X41 3. 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 327.0000 -1. 2 0. 0. 3 0. -2. 4 0. 4. 5 0. 8. 6 22.00000 0. 7 9. 0.X11=15，x21=17，x31=0，x41=3，x13=0，x2

19、3=0，x33=22，x43=9，x12=x22=x32=x42=0，y=3273、 只开工厂二、工厂三x11=x21=x31=x41=0，x12+x13=15x22+x23=17x32+x33=22x42+x43=12x12+x22+x32+x4235x13+x23+x33+x4331y1=70+24=94y2=4x12+8x13+9x22+8x23+5x32+x33+3x42+5x43将上述的y2变为如下式子y2=4x12+8（15-x12）+9x22+8(17-x22)+5x32+22-x32+3x42+5(12-x42)=-4x12+x22+4x32-2x42+338即为y=y1+y2

20、=-4x12+x22+4x32-2x42+432x12+x22+x32+x42=350x12150x22170x32220x4212程序如下：min=-4*x12+x22+4*x32-2*x42+432; x12+x22+x32+ x42=35; x12=15 ; x22=17 ;x32=22 ;x42=12;运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 356.0000 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost X12 15.00000 0. X22 8. 0.

21、 X32 0. 3. X42 12.00000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 356.0000 -1. 2 0. -1. 3 0. 5. 4 9. 0. 5 22.00000 0. 6 0. 3.X12=15，x22=8，x32=0，x42=12，x13=0，x23=9，x33=22，x43=0，x11=x21=x31=x41=0，y=356四、三个工厂一起加工x11+x12+x13=15x21+x22+x23=17x31+x32+x33=22x41+x42+x43=121x11+x21+x31+x41391x12+x22+x32+x42351x13

22、+x23+x33+x4331y1=91+70+24=185y2=6x11+4x12+8x13+2x21+9x22+8x23+6x31+5x32+x33+7x41+3x42+5x43将上述的y2变为如下式子y2=6x11+4x12+8（15-x11-x12）+2x21+9x22+8(17-x21-x22)+6x31+5x32+22-x31-x32+7x41+3x42+5(12-x41-x42) =-2x11-4x12-6x21+x22+5x31+4x32+2x41-2x42+338即为y=y1+y2=-2x11-4x12-6x21+x22+5x31+4x32+2x41-2x42+5231x11+x21+x31+x41391x12+x22+x32+x423531x11+x21+x31+x41+x12+x22+x32+x42650x11+x12150x2