2014年几何难题专题训练四边形16页

1、2014年几何难题专题训练四边形一选择题（共7小题）1如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上且BE平分DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于HBD，AH交于M，连接OH，下列四个结论：BEGD；OH=1/2BG；AHD=45；GD=2AM，其中正确的结论个数有（）A1个B2个C3个D4个2如图，E是ABCD内一点，已知DEAD，CBE=CDE，BCE=45，CE的延长线交AD于F，连接BF，下列结论：BEAB；BE=CD；四边形BCDF为等腰梯形；AF=2CE，其中正确的是（）A只有B只有C只有D3如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，且AE=FC，过F作FHBE，交

2、AB于G，过H作HMAB于M，若AB=6，AE=2，则下列结论中：BGF=CFB；2DH=EH+FH；HM/BC=1/4，其中结论正确的是（）A只有B只有C只有D4如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别相交于点M，N有下列结论四边形EDCN是菱形四边形MNCD是等腰梯形AEM与CBN相似AEN与EDM全等其中正确的有（）个A1个B2个C3个D4个5如图，点F为正方形ABCD的边CD的中点，E为BC上一点，M为EF上一点，且D、M关于AF对称，B、M关于AE对称，CFE的平分线交AE的延长线于G，交BC于N，连CG，下列结论：AFG为等腰直角三角形；CG=22CN；SCEF=S

3、ABE，其中正确的有（）A只有B只有CD6如图，如图正方形ABCD内一点E，满足CDE为正三角形，直线AE交BC于F点，过E点的直线GHAF，交AB于点G，交CD于点H以下结论：AFC=105；GH=2EF；2CEEF+EH；AE/EH=2/3其中正确的有（）ABCD7如图，四边形ABDM中，AB=BD，ABBD，AMD=60，以AB为边作等边ABC，BE平分ABD交CD于E，连ME；下列结论：BEC=60；MA+MD=2ME；若BD=6，则EC=31其中正确的结论（）A只有B只有C只有D二填空题（共4小题）8如图，RtABC中，C=90，BC=3cm，AB=5cm点P从点A出发沿AC以1.5

4、cm/s的速度向点C匀速运动，到达点C后立刻以原来的速度沿CA返回；点Q从点B出发沿BA以1cm/s的速度向点A匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线PC-CB-BQ于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点A时停止运动，点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0），则当t=_秒时，四边形BQDE为直角梯形9如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在X轴，y轴的正半轴上OABC，D是BC上一点，BD=1/4,OA=2，AB=3，OAB=45，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持DEF=45，如果AEF是等腰三角形时将AEF沿EF

5、对折得AEF与五边形OEFBC重叠部分的面积为_10如图，在梯形ABCD中，BCAD，A+D=90，tanA=2，过点B作BHAD于H，BC=BH=2，动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作EFAD交折线DCB于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1，设运动时间是x秒（x0）（1）当点E和点C重合时，运动时间x的值为_秒；（2）当BCD1是等腰三角形时，此刻x为_秒11如图，四边形ABCD为一梯形纸片，ABCD，AD=BC，翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为点O，AC、EF的

6、交点为点G如果CEAB，AB=7，CD=3下列结论中，正确的序号是_EFAC；BDEF；连接FO，则FOAB；S四边形AECF=ACEF；EF=(252/7)三解答题（共19小题）12在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并

7、说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由13某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q（1）求证：DP=DQ；（2）如图2，小明在图1的基础上作PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作PDQ的平分线DE交BC

8、延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出DEP的面积14如图1，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图

9、4，且AC=4，BC=3，CD=4/3，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值15已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相

10、交于点O，连接OC求OC的长度16定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD

11、所在直线翻折，得到ACD，若ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的1/4，请直接写出ABC的面积17在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的P和以QC长为半径的Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值18问题探究：（1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图，M是正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条

12、直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由问题解决：（3）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由19在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EFAC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB设AE/BC=k（1）证明：BGF是等腰三角形；（2）当k为何值时，BGF是等边三角形？（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等事实上，在一个三角形中，较大的

13、边所对的角也较大；反之也成立利用上述结论，探究：当BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围20小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=SABF（S表示面积）问题迁移：如图2：在已知锐角AOB内有一个定点P过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门

14、计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON若测得AOB=66，POB=30，OP=4km，试求MON的面积（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin660.91，tan662.25，31.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（4.5，4.5）、（4、2），过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值21如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐

15、角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AMEF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将RtABC沿斜边AC翻折得到RtADC，E，F分别是BC，CD边上的点，EAF=1/2BAD，连接EF，过点A作AMEF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系并证明你的猜想22如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1（1）求证：APE=CFP；（2）

16、设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，yS1/S2求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值23阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形MNPQ的面积小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新

17、正方形的边长为a；（2）求正方形MNPQ的面积（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ若SRPQ=3/3，则AD的长为2/324我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”其中B=C（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中B=CE为边BC上一点

18、，若ABDE，AEDC，求证：AE/DC=BE/EC；（3）在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，BAD与ADC的平分线交于点E若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）25【观察发现】如图1，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA上两个动点（不与C、D、A重合），满足DF=AE直线BE、AF相交于点G，猜想线段BE与AF的数量关系，以及直线BE与直线AF的位置关系（只要求写出结论，不必说出理由）【类比探究】如图2，F，E分别是正方

19、形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点（不与D、A重合），其他条件与【观察发现】中的条件相同，【观察发现】中的结论是否还成立？请根据图2加以说明【深入探究】若在上述的图1与图2中正方形ABCD的边长为4，随着动点F、E的移动，线段DG的长也随之变化在变化过程中，线段DG的长是否存在最大值或最小值，若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由（要求：分别就图1、图2直接写出结论，再选择其中一个图形说明理由）26如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CFADCF成立（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：ADCF（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=2时，求线段CG的长27在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MNPQ交射线BC于N点（1）若点N在BC边上时，如图1求证：PN=QN；请问PM/PN是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；（2）当PBN与NCQ的面积相等时，求AP的值28已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点M、N分别