2019年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷(理科)

1、2019 年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.已知集合 A= x|log2x 1 ，B= x|x 1，则 AB=（）A. （ 1，2B. （ 1， +）C. （1，2）D. 1， +）2.复数 z 满足，则复数 z 等于（）A. 1-i anB.1+iC. 2D. -23.等差数列154n前6 项和6 为（） 中， a +a =10， a =7，则数列 a SA. 18B. 24C. 36D. 724.已知菱形 ABCD 的边长为 2， ABC=60 ，则=（）A. -6B. -3C. 3D. 65.已知双曲线

2、C：的焦距为2c，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C. y=xD. y=2x6.定义在 R 上的函数f（ x）满足 f（ x） =，则 f（2019 ） =（）A. -1B.0C. 1D. 27. 三国时代吴国数学家赵爽所注 周髀算经 中给出了勾股定理的绝妙证明， 下面是赵爽的弦图及注文， 弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形， 其面积称为弦实， 图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2勾 22股 +（股 -勾） =4朱实 +黄实 =弦实，化简，得勾+股2=弦 2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷

3、1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B.500C. 300D.1348.函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数f（ x）在上的最大值为（）A.B.C.D.9.过抛物线y2=4 x的焦点F且倾斜角为60A BAF，的直线交抛物线于， 两点，以线段BF 为直径的圆分别与y 轴相切于 M， N 两点，则 |MN |=（）A.B.C.D.210.已知函数f x）=，则y=fx）（ ）的图象大致为（第1页，共 17页A.B.C.D.11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A.B. 2C. 4D. 1

4、212.a b，则 a，b 不可能满足的关系是（）已知2=3=6A. a+b=abB. a+b 4C. （ a-1） 2+（ b-1） 2 2D. a2+b2 8二、填空题（本大题共4 小题，共 20.0 分）13.二项式的展开式中，常数项的值为_ 14.若满足，则目标函数z=y-2x 的最大值为 _ 15. 学校艺术节对 A，B，C，D 四件参赛作品只评一件一等奖， 在评奖揭晓前， 甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下： 甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”；乙说：“ B 作品获得一等奖”；丙说：“ A， D 两件作品未获得一等奖”；丁说：“是 C 作品获得一等奖” 评奖揭晓后

5、，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_16.数列的前 n 项和为 Sn，若 S1，Sm，Sn 成等比数列（ m1），则正整数n值为 _三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）第2页，共 17页17.如图：在 ABC 中， c=4，（ 1）求角 A；（ 2）设 D 为 AB 的中点，求中线CD 的长18. 如图，在直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中， D、 E、 F、 G分别是 BC 、B1C1、AA1、CC1 中点且，BC=AA1=4（ 1）求证： BC平面 ADE ；（ 2）求二面角 G-EF-B1 的余弦值19. 诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了

6、“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%第3页，共 17页（ 1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（ 2）分别从表中每个周期的4 个数据中随机抽取1 个数据，设随机变量X 表示取出的 3 个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数， 求随机变量X 的分布列和期望；（ 3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次

7、“以诚信为本”的主题教育活动， 根据已有数据， 说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由20.已知椭圆C：离心率为，直线 x=1 被椭圆截得的弦长为（ 1）求椭圆方程；（ 2）设直线 y=kx+m 交椭圆 C 于 A， B 两点，且线段 AB 的中点 M 在直线 x=1 上，求证：线段 AB 的中垂线恒过定点21. 已知函数 f（ x） =ax-ln x+1（ aR）， g（ x） =xe1-x（ 1）求函数 g（ x）在区间（ 0， e 上的值域；（ 2）是否存在实数 a，对任意给定的 x0（ 0，e ，在区间 1， e上都存在两个不同的 xi（ i=1， 2），使得 f（ x

8、i） =g（ x0 ）成立若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由22.在直角坐标系中，圆C 的参数方程为：（ 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同（ 1）求圆 C 的极坐标方程；（ 2）若直线l ：（t 为参数）被圆C 截得的弦长为，求直线l 的倾斜角第4页，共 17页23. 已知 f （ x） =a-|x-b|（ a 0），且 f（ x） 0的解集为 x|-3x7（ 1）求实数 a， b 的值；（ 2）若 f（ x）的图象与直线x=0 及 y=m（ m 3）围成的四边形的面积不小于14，求实数 m 取值范围第5页，共 17页答案和解析1.【

9、答案】 D【解析】解：A=x|x 2 ；A B=1 ，+）故选：D可求出集合 A ，然后进行并集的运算即可考查描述法、区间表示集合的概念，以及并集的运算2.【答案】 B【解析】解：=2，z=故选：B把已知等式 变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基 础题3.【答案】 C【解析】解：设等差数列 a n 的公差为 d，a1+a5=10，a4=7，2a1+4d=10，a1+3d=7，联立解得 a1=1，d=2，则数列 a n 前 6 项和 S6=6+2=36故选：C利用等差数列的通 项公式与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通 项公式与求和公式，考 查了推理

10、能力与 计算能力，属于中档 题4.【答案】 D【解析】解：菱形 ABCD 的边长为 2，ABC=60 ，BCD=120，BDC=30，由余弦定理可得第6页，共 17页BD 2=BC2+CD2-2?BD?CDcos120 =4+4-2 22（-）=12，BD=2，=|?|=22=6，故选：D求出 BD 及两向量 夹角，代入向量的数量 积公式计算本题考查了平面向量的数量 积运算，属于基础题5.【答案】 A【解析】题线渐近线的距离为b=，解：由 意，双曲焦点到又 b2=c2-a2，代入得 3a2=b2，解得，所以双曲 线的渐近线方程：y=故选：A由题线焦点到渐近线的距离为 b=，又b22 2，代入得

11、 ，即可意，双曲=c -a求得双曲 线 C 的渐近线方程本题考查双曲线的简单性质查线中几何量之间的关系，考查数形结，考 双曲合的能力，属于基础题6.【答案】 C【解析】解：定义在 R 上的函数 f（x）满足 f （x）=，f（2019）=f （403 5+4）=f（4）=f（-1）=log 22=1故选：C推导出 f（2019）=f（4056+4）=f（4）=f （-1），由此能求出f（2019）本题考查 函数值 的求法，是基础题 ，解题时 要认真审题 ，注意函数性质 的合理运用7.【答案】 D【解析】第7页，共 17页图解：如 ，设勾为则股为，弦为2a，a，则图中大四边形的面积为 4a2，小

12、四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色 图形内的概率 为落在黄色 图形内的图钉数大约为 1000 134故选：D设勾为 a，则股为，弦为 2a，求出大的正方形的面 积及小的正方形面 积，再求出图钉落在黄色 图形内的概率，乘以 1000 得答案本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应础的计算题用，是基8.【答案】 B【解析】解：把函数的图象向右平移个单位后，可得 y=sin（2x-+）的图象，再根据所得 图象关于原点 对称，可得-+=0，= ，f（x）=sin（2x+）在上，2x+ -则时，f（x）=sin（2x+）取得最大， ， 当 2x+ =值为，故选：B利用函数

13、y=Asin （x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求出函数 f （x）在上的最大值本题主要考查函数 y=Asin （x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题9.【答案】 C【解析】第8页，共 17页设A （x，y则，解：），B（x ，y ）， OM= |y112 21| ON=|y2|直线 AB 的方程为：，联立，可得 3y2-4y-12=0，MN=|y1-y2|=故选：C设 A （x1，y1），B（x2，y2），则 OM=|y1|，ON=|y2|MN=|y1-y2|，联立韦，利用 达定理即

14、可求解本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质别问题，特 是焦点弦解题时要善于运用抛物 线的定义解决问题10.【答案】 A【解析】解：令g（x）=x-lnx-1 ，则，由 g（x）0，得x 1，即函数 g（x）在（1，+）上单调递增，由 g（x）0 得 0 x 1，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减，所以当 x=1 时，函数 g（x）有最小值，g（x）=g（0）=0，min于是对任意的 x（0，1）（1，+），有g（x）0，故排除 B、D，因函数 g（x）在（0，1）上单调递减，则函数 f（x）在（0，1）上递增，故排除 C，故选：A利用函数的定 义域与函数的 值域排除 B，D，通

15、过函数的单调性排除 C，推出结果即可本题考查函数的单调性与函数的 导数的关系，函数的定 义域以及函数的 图形的判断，考查分析问题解决问题的能力11.【答案】 D【解析】第9页，共 17页解：根据几何体的三视图，把几何体 转换为：所以：该几何体的球心 为 O，R=，故选：D首先把三 视图转换为 几何体，进一步利用几何体的表面 积公式的应用求出结果本题考查的知识要点：三视图和几何体的 转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和 转化能力，属于基础题型12.【答案】 C【解析】解：2a=3b=6，a b bb a a（2 ）=6，（3 ）=6 ，2ab=6b，3ba=6a，2ab?3ba

16、=6b?6a，aba+b（6） =6，ab=a+b，则有 ab=a+b2，ab，ab 2，a+b=ab4，2222（a-1）+（b-1）=a +b -2（a+b）+2 2ab-2（a+b）+2 2，第10 页，共 17页a2+b22ab 8，故C 错误故选：C由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断本题考查了指数幂的运算性 质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题13.【答案】 240【解析】解：由二项式的展开式的通 项为 Tr+1=（2x6-r（-rr 6-r）=（-1）2x6-3r，令 6-3r=0，解得：r=2，即常数项的值为（-124=240，）2故答案为：240由

17、二项式定理及展开式通项项的值为2 4，得解公式得：常数（-1）2=240本题考查了二项式定理及展开式通 项公式，属中档题14.【答案】 -1【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如 图：（阴影部分）由 z=y-2x 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直 线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大由，解得 A （1，1），代入目标函数得 z=1-2=-1，即 z=y-2x 的最大值是 -1故答案为：-1作出不等式 组对应的平面区域，利用目 标函数的几何意 义，求最大值第11 页，共 17页本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意

18、义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法15.【答案】 B【解析】【分析】本题考查了合情推理的 问题，属于基础题假设 A ，B，C，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断【解答】解：若A 为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若 D 为一等奖，则只有甲的 说法正确，故不满足题意，故若这四位同学中只有两位 说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B.故答案为 B.16.【答案】 8【解析】解：=-前 n 项和为 Sn=1-+-+

19、 +-=1-=S1，Sm，Sn 成等比数列（m 1），=解得：n=，令 2m+1-m20，m1，解得 1 m1+ m=2，n=8故答案为：8=-可得前 n 项和为 Sn=1-=由S1，Sm，Sn 成等比数列（m 1），可得=解得：n=，令2m+1-m2 0，m 1，解得 m 范围即可得出第12 页，共 17页本题考查了等比数列的通 项公式、裂项求和方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题17.，则【答案】解：（ 1）根据题意， ABC 中，由正弦定理，即得，又由，则 C 为钝角， A 为锐角，故（ 2）根据题意，B=-（ A+C），则 sinB=sin（ A+C） =s

20、inAcosC+cosAsinC=由正弦定理得，即得在 ACD 中由余弦定理得：CD 2=AD2 +AC 2-2AD ?AC?cosA=，故【解析】（1）根据题意，由同角三角函数的基本关系式求出sinC 的值，进而由正弦定理计算可得 sinA 的值，分析 A 的范围即可得答案；（2）根据题意，由三角函数的和差公式可得sinB 的值，结合正弦定理 计算可得b 的值，又由余弦定理分析可得答案本题考查三角形中的几何 计算，涉及三角函数的恒等 变形，属于基础题18【.答案】（ 1）证明：，BC=4 ，ABACD 是 BC 的中点， AD BC，1 中点，ABC-A111为直三棱柱， D， E 为 BC

21、， B1B CCDE 平面 ABC， DEBC， BC平面 ADE （ 2）解：由（ 1）知建系如图，且F（ 0， 0，2），设平面 B1EF 的法向量为，由，得第13 页，共 17页取，同理得平面EFG 的法向量，而二面角G-EF -B1 为钝二面角，二面角 G-EF -B1 的余弦值为【解析】（1）证明 AB AC AD BC，推出 DE平面 ABC ，然后证明 BC平面 ADE （2）建立空间直角坐标系，求出平面 B1EF 的法向量，平面 EFG 的法向量，利用空间向量的数量 积求解二面角 G-EF-B1 的余弦值本题考查二面角的平面角的求法，空 间向量数量 积的应用，直线与平面垂直的判

22、断定理的 应用19.【答案】 解：（ 1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=91% （ 2）随机变量X 的可能取值为0， 1， 2， 3，P（X=0）=，P（X=1）=，P（ X=2） =，P（ X=3） =，X 的分布列为：X0123PEX =2（ 3）两次活动效果均好理由：活动举办后，“水站诚信度”由 88%94% 和 80%到 85% 看出，后继一周都有提升【解析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周 “水站诚信度 ”的平均数（2）随机变量 X 的可能取 值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度 ”由

23、88%94% 和 80%到 85%第14 页，共 17页看出，后继一周都有提升本题考查平均数的求法，考查离散型随机 变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考 题型之一1x=1被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，20【.答案】解：（ ）由直线又，得 a2=4b2，22所以 a =4，b =1，即椭圆方程为（ 2）证明：由得（ 1+4k2） x2+8kmx+4m2-4=0 ，由 =64k2m2-4（ 1+4k2）（ 4m2-4） =-16m2+64k2+16 0，得 m21+4k2由，设 AB 的中点 M 为（ x0， y0），得，即 1+4k2=-4km，

24、AB 的中垂线方程为即，故 AB 的中垂线恒过点【解析】线x=1 被椭圆截得的弦长为椭圆过点，推出方程结合（1）由直，得离心率求解 a，b 得到椭圆方程（2）由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，利用韦达定理，结合中点坐标，转化求解直 线系方程，说明结果本题考查直线与椭圆的位置关系的 应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力21.【答案】 解：（ 1） g（ x） =e1- x-xe1- x=e1-x（ 1-x），g（ x）在区间（ 0， 1上单调递增，在区间1， e）上单调递减，且 g（ 0）=0， g（ 1） =1 g（e） =e2- e，g（ x）的值域为（0，1（ 2

25、）设 m=g（x），则由（ 1）可得 m（ 0， 1，第15 页，共 17页原问题等价于：对任意的 m（ 0， 1， f（ x） =m 在 1， e 上总有两个不同的实根，故 f（ x）在 1， e不可能是单调函数，f（ x） =a- ，（ 1xe），其中，当 a1时， f（ x） 0， f（ x）在区间 1， e上单调递增，不合题意当 a时， f（ x） 0， f（ x）在区间 1， e上单调递减，不合题意当 1e，即时， f（ x）在区间 1， 上单调递减； f（x）在区间 ， e上单递增，由上可得 a（ ， 1），此时必有 f（ x）的最小值小于等于 0，且 f（ x）的最大值大于等于 1，而由 f（ x） min=f（ ） =2+ln a0，可得 a，则 a?综上，满足条件的a 不存在【解析】（1）由g（