北师大高中数学课件：《对数》

1、3.4.1 对数与对数运算对数与对数运算 第一课时第一课时 对数对数 思考思考:上面的实际问题归结为一个上面的实际问题归结为一个 什么数学问题？什么数学问题？ 问题提出问题提出 假设假设20002000年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a a亿元，亿元， 如果每年的平均增长率为如果每年的平均增长率为8.2% 8.2% ，那么经，那么经 过多少年我国的国民生产总值是过多少年我国的国民生产总值是20002000年年 的的2 2倍？倍？ (1(18.28.2) )x x2 2，求，求x=?x=? 已知底数和幂的值，求指数已知底数和幂的值，求指数. . 知识探究（一）：知识探究（一）：对数的概念

2、对数的概念 思考思考1:1:若若2 2x x1616，则，则x x？ 若若2 2x x , ,则则x x？ 若若2 2x x3 3， 则则x x？ 4 1 思考思考2:2:满足满足2 2x x3 3的的x x的值，我们用的值，我们用loglog2 23 3 表示，即表示，即x xloglog2 23 3，并叫做，并叫做“以以2 2为底为底3 3的的 对数对数”. .那么满足那么满足2 2x x1616，2 2x x ，4 4x x8 8 的的x x的值可分别怎样表示？的值可分别怎样表示？ 4 1 思考思考3:3:一般地，如果一般地，如果a ax xn n（a0a0，且，且 a1a1），那么数）

3、，那么数x x叫做什么？怎样表示？叫做什么？怎样表示？ x xlogloga an n 思考思考5: 5: 满足满足 , , ， （其中（其中e=2.7182818459045e=2.7182818459045）的）的x x的值的值 可分别怎样可分别怎样? ? 10 x n x en 思考思考4:满足前面问题 的x的值可怎样表示的值可怎样表示? 2 082. 1 一、对数的定义一、对数的定义: 一般地一般地,如果如果 的的b次幂等于次幂等于n, 即即 (叫指数式叫指数式)， 那么数那么数 b叫做叫做 a为底为底n的对数的对数 记作记作 (叫对数式叫对数式)， 1, 0aaa na b bn a

4、 log a叫做对数的底数，叫做对数的底数， n叫做真数叫做真数 思考：思考：为什么在定义 中要规定：a0且 a1，而且 n0? 思考思考1:1:当当a a0 0，且，且a1a1时，若时，若a ax xn n，则，则x x logloga an n，反之成立吗？，反之成立吗？ 知识探究（二）：知识探究（二）：对数与指数的关系对数与指数的关系 ? 底数 ? 对数 ? 真数 ? 幂 ? 指数 ? 底数 ? ? ? ? ? ? ? log ? a ? nb ? a ? b ? =n 思考思考2:2:在指数式在指数式a ax xn n和对数式和对数式x xlogloga an n 中，中，a a，x

5、x，n n各自的地位有什么不同？各自的地位有什么不同？ a a n n x x 指数式指数式a ax xn n 指数的底数指数的底数 幂幂 幂指数幂指数 对数式对数式x x logloga an n 对数的底数对数的底数 真数真数 对数对数 思考思考3:3:当当a a0 0，且，且a1a1时，时，logloga a（-2-2），）， logloga a0 0存在吗？为什么？由此能得到什么存在吗？为什么？由此能得到什么 结论？结论？ 思考思考4:4:根据对数定义，根据对数定义，logloga al l和和logloga aa a （a0a0，a1a1）的值分别是多少？）的值分别是多少？ 思考思考

6、5:5:若若a ax xn n，则，则x xlogloga an n ，二者组，二者组 合可得什么等式？合可得什么等式？ 几个常用结论：几个常用结论： （1）负数与零没有对数 （2）01log a （3）1loga a （4）对数恒等式： na n a log （1）常用对数：常用对数：通常将以10为底的对数 叫做常用对数(common logarithm)。 n的常用对数简记作lgn 4 4常用的两种对数：常用的两种对数： （2）自然对数自然对数:以无理数e=2.71828 为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)， 为了简便，n的自然对数简记作lnn。 理论迁移理论迁移 6

7、4 1 例例1.1.将下列指数式化为对数式，对数式将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式：化为指数式： (1) 51) 54 4625625 ; (2) 2; (2) 2 6 6 ; ; (3) (3) ( )( )m m5.735.73 ; (4) ; (4) ; ; (5) lg0.01= (5) lg0.01=; (6) ln10; (6) ln102.303.2.303. 3 1 16log 2 1 例2 求下列各式的值 （1）25log5 （4）5 . 2log 5 . 2 （2） 32log 2 1 (3) ln1 3 10 3 log (5) 例例3.3.求下列各式中的值：求下列各式中的值： (1)log1)log64 64x x ; (2) log; (2) logx x8 82 ; 2 ; (3)lg100=x; (4) (3)lg100=x; (4)lnelne2 2 . . 2 3 例例4、求 x 的值： (1) 1123log 2 12 2 xx x 练习（书上练习（书上p64第第1、2、3、4题）：题）： (2) 0logloglog 432 x 小结小结 ： 1 1对数定义：对数定义： 2.2.指数式与对数式互换指数式与对数式互换 3.3.理解理解: