高中数学复习专题一函数图象问题

1、精品文档专题一函数图象问题数形结合是中学数学的重要的数学思想方法， 尤其是函数的图象更是历年高考的热点 .函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具 .一、知识方法1函数图象作图方法（ 1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、 y 轴的交点，端点，极值点等）、连线（注意关键线：如；对称轴，渐近线等）（ 2）利用基本函数图象变换。2图象变换（由一个图象得到另一个图象） ：平移变换、对称变换和伸缩变换等。（ 1）平移变换水平平移：函数 yf (xa)的图象可以把函数 y f ( x) 的图象沿 x

2、轴方向向左(a 0) 或向右 (a0)平移 | a |个单位即可得到；竖直平移：函数 yf (x)a 的图象可以把函数 y f ( x) 的图象沿 y 轴方向向上 (a0) 或向下 (a0) 平移 | a | 个单位即可得到（ 2）对称变换 函数 yf ( x) 的图象可以将函数 yf (x) 的图象关于 y 轴对称即可得到； 函数 yf ( x) 的图象可以将函数 yf (x) 的图象关于 x 轴对称即可得到； 函数 yf ( x) 的图象可以将函数y f ( x) 的图象关于原点对称即可得到；（ 3）翻折变换函数 y| f (x) |的图象可以将函数 yf (x) 的图象的 x 轴下方部分

3、沿 x 轴翻折到 x 轴上方，去掉原 x 轴下方部分，并保留 y f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到；函数 yf (| x |) 的图象可以将函数 yf (x) 的图象右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y f (x) 在 y 轴右边部分即可得到（ 4）伸缩变换函数 yaf ( x) (a0) 的图象可以将函数 y f ( x) 的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 ( a1)或压缩（ 0 a1）为原来的 a 倍得到；函数 yf (ax) (a0)的图象可以将函数 y f ( x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 ( 0a1 ) 或压缩 ( a1) 为原来

4、的 1 倍得到a3函数图象的对称性：对于函数y f ( x) ，若对定义域内的任意 x 都有 f (ax) f (a x)（或 f ( x)f (2ax) ，则 f ( x) 的图象关于直线 x a 对称；.精品文档 f (ax)f (ax)2b（或 f (x)f (2ax)2b) ，则 f (x) 的图象关于点P(a, b) 对称 .4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象5、作函数图象的一般步骤：（ 1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（ 3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、 线（如极值点、渐近线

5、、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利用描点法或图象变换作图6判断函数图象的方法判断函数图象是高考中经常出现的内容， 大多属于简单题， 值得重视。 常用方法有：（ 1）取点（描点）（ 2）考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面（ 3）利用平移（ 4）利用基本形状4应用：利用函数图象解决有关问题，即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。二、题型演练题型一、作函数的图像例 1、作出下列函数的图象 .（ 1） y= 1 (lgx+|lgx|);（2）y= 2x1 ;（3）y=(1 ) |x| .2x12解 （1）化简解析式得 y=0 (0x 1). 利用对数函数的图

6、像即得图（1）lg x (x1).（2）由 y= 2 x 1 , 得 y=1+2.x 1x1作出 y= 1 的图象，将 y= 1 的图象向右平移一个单位，再向上平移2 个单位得xxy= 1+2 的图象如图（ 2）.x1（ 3）作出 y=（ 1）x 的图象，保留 y=（ 1 ）x 图象中 x0 的部分，加上 y=（ 1 ）222x 的图象中 x0 的部分关于 y 轴的对称部分，即得 y=（ 1 ）|x|的图象 . 如图2（3）（1）（2）（3）.精品文档例 2、作出 y| log 2 (x1)| 2的图象.分析利用图象变换作图（如图）解：第一步：作出 ylog2 x 的图象（图） .第二步：将

7、ylog 2 x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位得 ylog x( x 1) 的图象（图） .第三步：将 ylog 2(x1) 的图象在 x 轴下方的图象，以 x 轴为对称轴对称到 x轴的上方得 y | log 2(x 1)|的图象）（图） .第四步：将y | log 2(x 1) | 的图象沿 y 轴方向向上平移2 个单位，得到y | log2(x 1) | 2 的图象（图） .评注运用描点法作图象应避免描点前的盲目性， 也应避免盲目地连点成线要把点取在关键处， 要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质、 方程、

8、不等式等理论和手段， 是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点题型二、已知两个函数解析式，指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换，求另一个解析式。例 3说明由函数 y2x 的图像经过怎样的图像变换得到函数y2 x 3 1的图像解：方法一：（ 1）将函数 y2x 的图像向右平移 3 个单位，得到函数 y 2x 3 的图像；（ 2）作出函数 y2x 3 的图像关于 y 轴对称的图像，得到函数y2 x 3 的图像；（ 3）把函数 y2x 3 的图像向上平移 1 个单位，得到函数 y2x 3 1的图像方法二：（ 1）作出函数 y2x 的图

9、像关于 y 轴的对称图像，得到 y 2 x 的图像；（ 2）把函数 y2x 的图像向左平移 3 个单位，得到 y 2 x 3的图像；.精品文档（ 3）把函数 y2 x 3 的图像向上平移1 个单位，得到函数y2 x 31的图像例 4、已知函数 f(x)log2(x 1)，将函数 y f(x)的图象向左平移一个单位，再将图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变 )，得到函数 y g(x)的图象求函数y g(x)的解析式解：由已知，将函数 f(x) log2(x 1)的图象向左平移一个单位， 得到 ylog2(x 1 1)的图象，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变

10、 )，得到函数 y g(x) 2log2(x2)的图象故 g(x)2log2 (x 2)题型三、选择正确的函数图象例 5如图所示， f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x), f 4 ( x) 是定义在 0,1 上的四个函数，其中满足性质：“ 对 0,1 中任意的 x1 和 x2 ，f ( x1 x2 )1 f ( x1 ) f ( x2 ) 恒成立”的只有（）22解： f ( x12x2 )的自变量为 x1 , x2 的中点， f ( x1x2 ) 对应的函数值即“中点的2纵坐标”，1(1)( 2)为自变量 12 对应的函数值所对应的点的中点， 即“纵f2xf xx , x坐标

11、的中点”。再结合 f ( x) 函数图象的凹凸性，可得到答案A，这是函数凹凸性的基本应用。故选 A。例 6、已知 a0 ，且 a1，函数 y ax 与 ylog a( x) 的图象只能是图中的（）分析可以从图象所在的位置及单调性来判别， 也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数 a 对图象的影响。解：解法一：首先，曲线yax 只可能在上半平面，ylog a ( x) 只可能在左.精品文档半平面上，从而排除 A、 C。其次，从单调性着眼， y ax 与 yloga ( x) 的增减性正好相反， 又可排除 D。解法二：若 0 a 1，则曲线yx，而曲线y log a( x) 上a下降且过点 (0,

12、1)升且过 ( 1,0) ，以上图象均不符合这些条件 . 若 a1 时，则曲线 yax 上升且过(0,1)，而曲线 y log a( x) 下降且过 (1,0)，只有 B 满足条件。解法三：如果注意到 y log a( x) 的图象关于 y 轴的对称图象为 y log a x ，又 y loga x 与 y ax 互为反函数（图象关于直线 yx 对称），则可直接选定 B。答案 B例 7 函数 yf (x) 与函数 yg( x) 的图象如右，则函数 yf (x) g( x) 的图象是（）解：由图象可知，f (x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且f (x) 与 g (x) 的公共定义域为x0，

13、排除C 、D 。令F (x)f ( x)g( x)，则F (x)f ( x) ? g ( x)f ( x) g( x) ，所以 F ( x)f ( x) ? g( x) 为奇函数，其图象关于原点对称，排除B。故选 A。题型四、函数图象的应用例 8、若直线 y 2a 与函数 y |ax1|(a 0 且 a1)的图象有两个公共点，求 a 的取值范围解：（1）当 0a 1 时， y |ax 1|的图象如图 (1)所示，1由已知得 0 2a1， 0a2.（2）当 a1 时， y|ax1|的图象如图 (2)所示，.精品文档1由已知可得 0 2a1， 0 a 2，但 a1，故 a.1综上可知， 0a2.y

14、例 9、已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求 b 的范围。o12x解：解法一：观察 f(x)的图象，可知函数 f(x)的图象过原点，即 f(0)=0,得 d=0，又 f(x)的图象过 (1，0)， f(1)=a+b+c=0又有 f(1) 0，即 a+b c 0 +得 b0，故 b 的范围是 (， 0)解法二：如图 f(x)=0 有三根 0，1，2， f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x1)(x2)=ax33ax2+2ax， b=3a，当 x2 时， f(x)0，从而有 a0， b 0。评注 通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。例 10（ 1）试作

15、出函数 yx1 的图像；x（ 2）对每一个实数 x ，三个数x, x,1x2 中最大者记为 y ，试判断 y 是否是 x 的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？解：（ 1）令 f ( x)x1 ， f ( x)( x1 )f ( x) f ( x) 为奇函数，从而可xx以先作出 x0 时 f ( x) 的图像，再利用f ( x) 的图像关于原点对称可得x0 时f ( x) 的图像。又 x0 时， f ( x)x12x 12xx x1时， f ( x) 的最小值为 2，图像最低点为 (1,2) ，又 f ( x) 在 (0,1) 上为减函数，

16、在 (1,) 上是增函数，1同时 f ( x)xx(x0) 即以 yx 为渐近线，x于是 x0 时，函数的图像应为下图，f ( x) 图象为图yyy.OxOxOx精品文档（ 2） y 是 x 的函数 , 作出 g1( x) x, g2 ( x) x, g3( x)1x2 的图像可知， f ( x) 的图像是图中实线部分 定义域为 R ；值域为 1, )；单调增区间为 1,0),1,) ；单调减区间为 ( , 1),0,1) ；当 x1 时，函数有最小值1；函数无最大值【评注】解决图像的应用问题，准确地做出图像是问题的关键。小结：函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函

17、数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法， 为此，既要从定形、 定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换等。注意：平移、伸缩变换的先后次序对变换的影响， 可结合具体问题阐述如何进行平移、伸缩变换。习题一1在下列图象中，二次函数y=ax2+bx 与指数函数 y=( b ) x 的图象只可能是ayyyy1111-1o 1x -1 o1x-1 o 1x-1o 1xABCD2函数 y=3x1的图象 （）x2A.关于点 ( 2,3)对称B.关于点 (2,3)对称C.关于直线 x=2 对称D.关于直线 y=3 对称。3

18、、设函数 f ( x)x 2bxc, x 0, 若 f (4)f (0), f (2)2 则关于 x 的方程2, x0.f ( x) x 的解的个数为（）（A）1（B）2（C）3（D）44、方程 2xx2 的实根的个数为（）A：0 B ：1C：2 D ：35为了得到函数 y 3(1)x 的图象，可以把函数 y(1)x 的图象（）33A向左平移 3 个单位长度B向右平移 3 个单位长度C向左平移 1 个单位长度D向右平移 1 个单位长度6 定义运算 aba(ab), 则函数 f(x)=12x 的图象是b( ab).精品文档7。要得到 ylg( 3x) 的图像，只需作ylg x 关于 _轴对称的图像，再向 _平移 3 个单位而得到。8。已