椭圆和双曲线的离心率的求值与范围问题

1、椭圆和双曲线的离心率的求值及围求解问题1-【重点知识温馨提示】1 + a2(e1)2. 确立一个关于a, b, c的方程或不等式，再根据a, b, c的关系消掉b得到a, c的关系式，建立关于a, c的方程或不等式，进而得到关于 e的方程或不等式，3.【典例解析】E的左，右顶点，点 M在E上，F是椭圆C :例1.（2015 新课标全国H, 11）已知A, B为双曲线ABM为等腰三角形，且顶角为120,则E的离心率为（A. 5 B. 2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点,2 2X V2 1(a b 0)的左焦点，A,B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF

2、xa b轴.过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C 的离心率为(1(B)丄2例3(2015 )已知椭圆E: = 1(a b 0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M ,直线1:3x 4y= 0交椭圆E于A,B 两点.若 |AF|+ |BF|= 4，点4M到直线1的距离不小于4则椭圆E的离心率的取值围是(A. 0，于 B. 0, 3)C.于，1 D. 3, 1F1, F2,过F2作x轴的垂线与C相则椭圆C的离心率等于例4.(2014 )设椭圆C: X2+ = 1(ab0)的左，右焦点为a b交于A, B两点，FiB与y轴相交于点D，若AD丄FiB,【跟踪练习】

3、2 21. (2015 )椭圆X2+ y= 1(a b0)的右焦点F(c, 0)关于直线y= -x的对称点Q在椭圆上, a bc则椭圆的离心率是2 2 2 22. 已知椭圆x2+ y2= 1(ab0)与双曲线 七一V2= 1(m0, n0)有相同的焦点(一c,0)和(c,0),若 a bm nc是a、m的等比中项，n 24.过双曲线字岸=1(a0 , b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若FB = 2FA,则此双曲线的离心率为()是2m2与c2的等差中项, 则椭圆的离心率是(),3211A. 3 B.y C.4 D.1A. 2 B. .32= 1(a0,

4、b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于3. 已知椭圆x + = 1(ab0)的左、右焦点分别为F1( c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使6.（2015 ）将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长 位长度，得到离心率为e2的双曲线C2,A.对任意的a, b, eib 时,C.对任意的a, b, eie2D .当ab 时,7、（ 2016年高考）已知双曲线E:上，AB, CD的中点为E的两个焦点，且2 2x y8 （2015年咼考）过双曲线 C： 22a aa和虚半轴长 b（a丰b）同时增加 m（m0）个单eie2 ；当 ae2 ；当 a0, b0).矩形eie2ei0, b0）的

5、两条渐近线分别交于点A,设直线x 3y + m = 0(m0与双曲B.若点P(m, 0)满足|PA|=|PB|,则该(A)2(B)52(C)(D) 2 510、（东营市、潍坊市2016届咼三咼三三模） 已知Fi、2xF2为椭圆一2a2厶 1 a b 0的b2左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y轴右侧的两个交点为B，若 ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（11、2016B.,3 1D.高三上学期期末）已知抛物线y24. 2x的焦点到双曲线2x2ab20,b0的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为5A.2,23,10B.3C. 、10 D.2.3903

6、912、（莱芜市2016届高三上学期期末）已知双曲线2x2a0,b0的左焦点是F c,0，离心率为e,过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆x2y2c2在y轴右侧交于点P,若P在抛物线y2 2cx上，则eA. 、5 B. 1 C. .5 1D. . 22213,（市2016届高三上学期期末）设点F是抛物线：x 2py p 0的焦点，Fl是双曲2X 线 C : -2ab20,b0的右焦点，若线段FFi的中点P恰为抛物线与双曲线C的渐近线在第一象限的交点，则双曲线C的离心率e的值为A.3.22C.D.2 21 a 0,b0的左，右rx y1,4、（市2016咼三3月模拟）已知点F2为双曲线C

7、: 22a b焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足 PF2| Iff , RF2P 120o，则双曲线的离心率为.2 215、（日照市2016高三3月模拟）已知抛物线 y2 8x的准线与双曲线 仔 L 1相交于 a216A,B两点，点F为抛物线的焦点，ABF为直角三角形，则双曲线的离心率为A.3B.2C. .6D. .316. （2015 ）如图，椭圆=1（a b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,过F2的直线交椭圆于P, Q两点，且PQ丄PF1.3 4若|PQ|=入PFi|,且4三X 3，试确定椭圆离心率 e的取值围.4 3答案部分：2 2x y例1【解析】如图，设双曲线 E的方程为g含=1

8、(a0, b0)，则|AB = 2a,由双曲线的对称性，可设点 Mxi, yi)在第一象限，过 M作MNLx轴于点Nxi, 0) , ABM为等腰三角形，且/ ABM= 120,=|AB = 2a, / MBN= 60, a yi=|MN = | Bhsin / MBN2=2，选 D.x =2asin 60 /3a, xl |0B + I BN = a+ 2acos 60 = 2a 将点 Me yd 的坐标代入 孑例2【答案】A例3如图，设左焦点为Fo,连接FoA, FoB，则四边形AFBFo为平行四边形.|AF|+ |AFo| = 4,a = 2.设M(0 , b)，则警5离心率e= f0，

9、故选A.例4直线AB : x= c,代入a2+胃=1,b2得y=晉A(c,)，B(c,kBFi=一cb2b20 2a _b2_c = 2c = 2ac.直线BFi：b2y 0 = 2ac(x+ c)-令x= 0，则y=- 2a，-ba), kADb2 b2石+亦c3b22ac.由于AD丄BFi,b2 3b22ac 2ac3b4 = 4a2c2, _ 3b2= 2ac,即，3(a2- c2) = 2ac,3e2+ 2e 、3= 0,-2 ：4 乜2 4=2 ；3= 2 3 .-2+ 42 田/e0,e=十.2羽 2羽 3【跟踪练习】1,答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为 Fi( c,0)，如图，

10、连接QFi, QF，设QF与直线by= bx交于点M.由题意知M为线段QF的中点，且0M丄FQ.c又0为线段FiF的中点，FiQ /0M ,FiQ 丄 QF , |FiQ|= 2|0M|.亠亠 /b在 RtMOF 中，tanZMOF = qm|= c， |0F| = c,c2bc可解得 |0M|=, |MF| =aa故 |QF|= 2|MF| =2bcQFi|= 2|OM|=手.由椭圆的定义得|QF|+ |QFi|=2bc 2c2+a a整理得 b = c,：a = b2+ c2= , 2c,故 e= ：=方法设Q（xo,yo）,则FQ的中点坐标Xo+ c2 ，罗，kFQ，依题意X0 cyo

11、b X0+ c2 = c 2，c 2c2 a2xo=a，解得又因为(xo, yo)在椭圆上,2bc2yo=，所以空二纶1，令e=三则4e6+ e2= 1,aaa离心率2解析在双曲线中m2 + n2= c2,又 2n2= 2m2+ c2,解得cm=-，又c2= am,故椭圆的离心率e=12.3依题意及正弦定理，得（注意到P不与Fi, F2共线）,即=a,2a |PF2| c4 1 = cPF2|a,2aPF2|2a即 e+ 1-, (e+ 1)22.又 0e1,因此. 2 1e1. 1 + e4解析 （1）如图,FB = 2FA,A为线段BF的中点, Z2 =Z3.又Z1 = Z2,aZ2 =

12、60 = tan 60 = 3, a答案 C2 2e = 1 + q) = 4,.e= 2.x2 y25把x= 2a代入孑2= 1得 y= 3b.不妨取P(2a,3b).又双曲线右焦点F2的坐标为(c,0), kF2P =总.由题意，得C3a=- (2 +寸3)a = c. 双曲线C的离心率为e= ；= 2 + 3.6.* 门+a2,/ b + mb b+ me=1 +.不妨令 e1e2，化简得；0)，得 bmam，得 ba时，有b，即e1e2；当ba时，有，即&=-41 + 1 = 0,解之得匕“ + JL -=2-V3 (舍去，因为离心率-1)，枚取曲竝朗窖心率为 a aaaa2 + 3.

13、考点：1双曲线的几何性质；2直线方程.9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y= bx,易求得渐近线与直线x 3y + m= 0的交点为bma 3b设AB的中点为 D.由 |PA|= |PB|知AB与DP垂直，则aA 皿 b 3a+ 3b a + 3b a 3b,kDP = 3, a2m 3b2mD (a+ 3b) ( a 3b) (a + 3b)( a 3b)解得a2= 4b2，故该双曲线的离心率是10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A 16解(1)由椭圆的定义，2a = |PF11+ |PF2|= (2 +2) + (2-2) = 4,故 a= 2.设椭圆的半焦距为 c,由

14、已知PF1丄PF2,因此 2c= |F1F2|= ” jPF1|2+ |PF2|2 = 1 2 + 2 2+ 2- , 2 2 = 2 , 3,即 c= ,3,从而 b=- a2- c2= 1.故所求椭圆的标准方程为X + y2= 1. (2)如图，连接 F1Q，由PF1丄PQ ,|PQ|=开PF1|,得QF1|=“ . |PF1|2+ |PQ|21+ *|PF1|.由椭圆的定义，|PF11 + |PF2|= 2a, |QF1|+ |QF2|= 2a, 进而 |PF1 + |PQ|+ |QF1|= 4a,于是 (1 + + , 1+ *)|PF1|= 4a,解得|PFi|=4a1+H ；1+*故|PF2|= 2a- |PF1|=2a 入+ 1+ f-11 + 入+： 1+ f2由勾股定理得|PF+ |PF2|2= |F1F2|2= (2c)2= 4c2,从而4a1 + + ； 1+ 於1+入+=4c2.2a +两边除以4a2，得1+ 仁1 川-12= e2