余弦定理与正弦定理的等价性

1、余弦定理与正弦定理的等价性甘肃省合水县第一中学薛树英余弦定理与正弦定理是解斜三角形的依据,二者是互通的，是等价的.由余弦定理推得正弦定理ABC 中，由 c2 a2 b2 2abcosC，得cosC2 , 2 2a b c2absin C= .1-cos2C2J)2(a+b+c)(a+b-c)(a七+c)(-a+b+c)2ab2js(s-a)(s-b)(s-c)，其中 a b2abcsinCabc2、s(s-a)(s-b)(s-c)同理，有bsi nBabc2、s(s-a)(s-b)(s-c)asinAabc2、s(s-a)(s-b)(s-c)b csinB si nCasi nA由正弦定理推得

2、余弦定理ABC 中,设其外接圆半径为R,有asinAbsi nBc 2R si nCa=2RsinA , b=2Rsi nB , c=2Rs inC2RsinA 2RsinB cosC2 2 2 2a +b -2abcosC=(2RsinA) +(2RsinB) -22 2 2=4R (sin A+ sin B- 2sinAsinBcosC)2 2 2=4R sin A+ sin B 2sinAsinBcos( A B)2 2 2 1 2 2=4R (sin A+ sin B+2sin2Asin2B-2sin Asin B)c2 = (2RsinC) = 4R 2sin2(A+ B) = 4R

3、 2(sinAcosB+ cosAsinB)22 2 2 2 2 14R (si n Acos B+ cos As in Bsin 2Asi n2B)4R2sin2A(1 sin2B) + (1 sin2A)sin 2B *sin2Asin2B)2 1 2 22 2=4R (sin A+ sinB+严Asin2B-2sin Asin B)2 2.2cab2abcosC例题在ABC 中，B45 , AC 10,cos C5由正弦定理知,BCAC sinAsi nB-103 1010_匕2II丨由正弦定理，得AB ACsi nC si nB.10、522I求BC边的长；II假设点D是AB勺中点，求

4、线段CD勺长度.（2006年全国高考数学II文科17题） 解法1： I由25 ,得 .5 .cosC二sinC二55(cosC sinC)si nA=si n180o-(45+C)=s in (45+C)=5、3 10)510也可以根据由余弦定理得，2 2 2AB2 BC2 AC2 2B C AC cosC1810 2 3 2 J0 4AB 2.BD=1 AB=1.2由余弦定理知，cd2 BD2 BC2 2BD BC cosB1 18 21 3.22132CD . 13 .2解法2:I由正弦定理知ABAC sinCsi nB由cosC壬得si55cosA=cos18CT(45o+C)=-cos

5、(45o+C)=-(cosCsinC)2 2.5(W.5,10)510BC2 AB2 AC22A B AC cos A410迈)1810H求AB时,应用余弦定理.BC2 AB2 AC2 2A B AC cos A18 AB2 10 2AB即 AB2 2A BAB 2,或 AB4(舍)BD=| AB=1然后,应用余弦定理求得,CD 、13.解法3:I同解法2.H求AB时,仍然应用余弦定理AC2 AB2 BC2 2A B BC cosB10 AB2 18 2 A B 即 AB2 6 AB 8 0AB 2,或 AB 4CD .13 .当AB 2时,BD=1 AB=1,根据余弦定理求得2,所以,BC,A