数列中的最大项或最小项问题的求解策略

1、数列中的最大项或最小项问题的求解策略在数列、函数、导数以及不等式等知识的交汇处命题，可以很好地考查学生综合运用所学知识解决问题的能力， 已成为高考数列命题的热点，而不等式知识与单调性、 最值密切相关，因而考查数列的单调性与最值成了高考一大亮点，本文试对求数列中的最值问题加以探f(n 1) f (n) 0,则 an 1 an，则 a1a2讨给出数列an的通项公式anf(n)的最大项或最小项，有以下解题策略:策略一利用差值比较法即数列an是单调递增数列,所以数列an的最小项为a1f (1)；若有 an 1anf (n1) f(n)0 ,则 an 1 an，则 a1a2anan 1即数列an是单调递

2、减数列,所以数列an的最大项为a1f(1).右有an 1 an策略二利用商值比较法若有anf (n) 0对于一切n N*成立，且 旦口 丄0 9 1，则an 1 an，则anf(n)ai a2an 务1 即数列a.是单调递增数列，所以数列a.的最小项为a1f (1)；若有anf (n)0对于一切n N*成立，且也丄3耳an f(n)则an 1 an，则a1a2an即数列an是单调递减数列，所以数列an的最小项为a1f(1).策略三利用放缩法若进行适当放缩,有 an 1 f (n1) f(n) an，则a1a2anan即数列an是单调递增数列，所以数列an的最小项为f (1);若进行适当放缩，有

3、an 1 f (n1) f(n) an,则a1a2anan即数列an是单调递减数列，所以数列an的最大项为a1f(1).策略四利用导数法为求出an f(n)的最大值或最小值，可以转化为求出辅助函数f(x)(x1)的导数，进而求出该函数的单调区间，从而可知数列an的单调性，最后求出数列an的最大项或最小项.策略五先猜后证通过分析，推测数列an的某项ak(k N*)最大(或最小)，再证明an ak(或an aj 对于一切n N*都成立即可.这样就将求最值问题转化为不等式的证明问题题多解，殊途同归，培养学生思维广阔性已知函数f(x)3x2 6x , Sn是数列an的前n项和，点(n, Sn) (n

4、N*)在曲线yf (x)上.1求数列an的通项公式；(n)若bn (丄)2a ? b,Cn 2,且Tn是数列Cn6的前n项和试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出 由Tn的最大值；若不存在，请说明理解(I)因为点(n ,Sn)在曲线yf (x)上，又 f (x)3x226x，所以 Sn 3n 6n.当 n=1 时，a1 S13当 n1 时，anSn Sn 1(3n2 6n)9 6n?3(n 1)26(n1)所以an9 6n .(n)因为 bn (-1)n1)(2)2 (1)321 所以Tn丄2 1T (1)2 2Tn(2)一得整理得Tn1?C31)(3)(y2也)2(2n1D(2)nganbn

5、(91n61 (3 2%)n?(3 2n2)(3 21 (J)n 1丄212)(32nn?n 11(312n )(2)Tn 1Tn(2n3)(；)n121(2n1)( )n2?(2n13)(；)21 n(2n1)(；)2?n-(2n2111)(1)n (1221 吋？因为n11，所以n20.又(2)n0，所以Tn 1Tn0所以Tri 1Tn ，所以T1T2T3TnTn 1.所以Tn存在最大值T1-?2策略二利用商值比较法策略一利用差值比较法由式得Tn 1(2n1，所以1由式得 Tn1 (2n 1)(/n 0.1 n 1因为 Tu_J(如 3)(2)2n 3(2n 1)2?Tn 1(2n 1)(

6、1)n2(2n 1)2(2n 1) ”1 2丄(1)22n 122151所以Tm 1 Tn 1，即TmTn.所以T1T2T3TnTn 11所以Tn存在最大值Tj.2策略三利用放缩法由式得Cn 13 2(n 1)(1)n 1(12n)(1)n1 0，又因为Tn是数列唧的前n项和，所以 Tn 1 TnCn 1 Tn .所以 T1TnTn 11所以Tn存在最大值T1.2策略四利用导数江考查函数g(x)(2x1)的单调性.1 x1 x 1g (x) 2(：)x (2x 1)(;)x?ln；22 211?2()x2 (2x 1)l n?22i因为 x 1，所以 2x 1 3，而 ln- 0，所以(2x

7、1)1 n1 31 n1?2 2 21)111 11 又3lnIn()3 In In 牙228e21所以(2x 1)ln2，所以21 1 又(3)x 0,所以(訐2 (2x即 g (x)0,所以 g(x)在 1?2,1(2x 1)l n0.11)l n 0,2上是单调递减函数，所以当x=1时,因为Tn1|.只需要证明3?2n 4n 2.即只要证明3?2n4n 20由二1项式定理得n2且nN*时，(11)n C0 C1C1n(n n23?2n 4n 23?2 n n22?3n25n2?(n21)(3n2)?1)4n 20?22n所以所以 3?2n 4n 20成立所以TnT1(n 2)成立.1 1

8、g(x)max g(1)(21)?21-.因为 g(x) (2x 1)(2)x 1(x1)，所以 Tn g(n) (2n1)()n 1,1所以Tn存在最大值T1.策略五先猜后证1通过分析，推测数列Tn的第一项T1 最在.2下面证明：Tn (n 2且n N*) 方法1分析法1即只要证明(2n1)()n1所以Tn存在最大值T1鼻方法2利用数学归纳法不等式成立.n1，所以T2(i)当n=2时，因为Tn(2n(41)(1)2(ii)假设n k(k 2)时不等式成立,TkT1则当n k 1时，Tk 1Tkck 11由式得 Ck 13 2(k1)(-)k 1这就是说，当n=k+1时，不等式也成立(1k 1

9、ck 1 ?0?所以TkTi.由(i) (ii )得，对于一切n 2且nN *，总有TnTi成立.1所以Tn存在最大值T1-.2评注 本题(n)的解答给出了求 Tn 问题的常规方法最大值的多种方法，灵活多变，也是求数列最值二、尝试探究，选定方案，培养学生思维的深刻性例2在数列an 中，a1 2, an 1a.n 1(2)2n( n N)，其中(I)求数列an的通项公式;(n)求数列an的前n项和Sn ；(川)证明存在N，使得加an对任意akn N均成立.由 a n 1 ann 1 (2)2n ( n N* ),an 1n 1(即ann(-)n 1，所以ann2()n为等差数列，其公差为1,首项

10、为0,故所以数列an的通项公式为an (n 1)2n.Tn得(1解：设Tn1时，式减去式,)Tn(n4 L (nn /2) (nn 1(n 1)2)(n1)(n1)(n 1)(12 n 1n 1T(n 1)(1)21这时数列an的前n项和Sn2-2n 1 2 n 2(n 1)(11时，Tn这时数列 an 的前n项和Sn叮2n1 2 (出)证明：通过分析，推测数列a2的第一项J最大，下面证明:ana1an 1ana2ai由an(n1) n 2n ,an 0 ,使式成立，只要2am ( 24)an(n 2)因为（24)an (4)(n1)2n1)24 (n 1) n2n4(n1)2n2an i,所

11、以式成立.因此，存在k使得旦口anak 1aka2-对任意na1均成立.评注 本题（川）设计非常精彩.为证明存在k N* ,使得也ana k 1对任意akn N*均成立”，可以转化为思考“存在ak N*，使得一是数列 akanak 1的最大项”问题本小题若用差值比较法转化为探究an 2an 1u差值与0的大小、用商值比较法转化为探究an商值与1的大小、用单调性法把通项公式为 bnan 1 anan 1ann n 1 n2n ：的数列(n 1) n2nx x1 2x 1bn的单调性问题转化为探究函数f（X）帚厂的导数问题以及放缩法解决问题，都颇有难度虽然说上述方法都是解决数列最值问题的通性通法，

12、碰壁后若不能及时调因为 25 k 36，所以 5. k 6 .当n2 时，a2 a11k(11-)?a3a21k -1 ? ?T T 223,1 1an an 11 kn 1 n以上n-1个式子相加得ana1n 1k(1丄),即ana1n 1k(1 -nn又a11 k ,所以an1 kn 1k(1丄),即ann(n2?3?)nn当n=1时，上式也成立整解题策略，就会泥牛入海，不能自拨而使用策略五，先敏锐、大胆、果断猜出an 12 4(n2)，再用分析法以及重要不等式证出这个结论,方法非常奏效命题高明之处就在于不是直接抛出了2an 1 a4(n2)这个结论，让考生去证明;anai而是让考生先自己

13、探究出结论再论证，富有挑战性 学生学会先猜后证，能够很好地考查学生思维的深刻性这也是现在咼考命题的一大亮点，要求三、辨析模式，分类讨论，培养学生思维严谨性例3在数列an中，a1 1 k?in 1且 25 k 36.an1( nNn n，其中k是常数,(I)求数列an的通项公式;(n)求数列an的最小项.(I)因为an 1an 1N )，所以an 1ankn(n 1)，即k所以数列an的通项公式为an n (n 1?2?3?).nk(n)为考查数列an的单调性，注意到a. n (n 1?2?322 )，可设函数nx2kkf(x) x )(x1)，则 f (X)12，即 f (x)XX)时，f (

14、x)0.可知 x 1? k 时，f (x)0 ； x . k 时，f (x)0 ； x ( . k?2kf所以函数f(x) x 在1, A 上是减函数；在 k? 上是增函数aia236a3a4a5a6?a 6a7.所以数列an的最小项为a66i2.(3)当a5=a6,k即5-6k即k=30 时，56aia2a3a4a5?a 5a6a7.所以数列an的最小项为30asa66ii.6(4)当a5a6且 k5时,5k56k且 k 25，则 25 k 30,6aia2a3a4a5?a 5a6a7所以数列an的最小项为a55(5)当a5a6 且k6时，5k6k且 k36，则 30 k 36 ,56aia

15、2a3a4a5a6 ?3 6a7所以数列an的最小项为a6k6 综上所述:当k=25时，数列an的最小项为a5=10；当25 kk小项为a6 6 ；当k=36时，数列an的最小项为a6=12.6k评注 由（I）可知，an n （n 1?2?3），则（n）中求数列an的最小项问题,nk 1 kf易由均值不等式，得 an n2： n? 2、k，从而误认为2 k就是最小的项.实际n b nkf(1)当,k 5，即 k=25 时，aia2a3a4a5?a 5a6a725a5510.5(2)当6，即k=36 时，所以数列an的最小项为30时，数列an的最小项为a5k；当k=30时，数列an的最小项为5a

16、5=a6=11 ；当 30ki的自然数，不等式an 1 an 2a2n1)解：(I)因为an 1(1所以旦口an.所以anan ? an 1a21 an 2a1an2 ?a1n 1 n 2 n 1-?a21a1na1=1，所以1annbnbn(n)设 bn an 1an 21由(【)知an，所以n1 1 1n 2 n 3bn2n 2n, 1 1 1n 2n 1 2n 1 n 1a2n (n N*),1 1n 1 n 21 1，所以1 2n 212n所以(2n1)(2 n 2)0.成立，试求实数a的取值范围1)? an(n N*) , a=1，所以 an0.n 1所以数列bn是单调递增数列.所以当n 2时,bn的最小值为b2然数，不等式a1 an 2a2n1 12 12 2112 loga(a712 1)-恒成立，则需且只需3所以要使对于一切n1的自7112 12loga(a 1)彳，则 loga(a 1)1.所以0a 1丄，解之得1 a a2故所求实数a的取值范围为 al a .2评注 本题（n）中的恒成立问题的解决关键，是灵活化归为求数列bn自第2项起的各项中最小项问题.体会 求数列中的最大项或最小项，有些题目有多种途径能够解决（如例1），一题多解可以开阔思路；有些题目，不是几种方案都能奏效，要有一个尝试判