张裕 学生版 3

1、乐博思【学习目标】1 掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法2掌握角度的互换；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算【知识网络】【要点梳理】要点一、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质: 确定一条直线 (2)线段的性质:两点之间， 最短要点诠释：本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.连接两点间的线段的长度，叫做两点的 .3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,

2、再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线ac上截取ab=，如下图：4.线段的比较与运算（1）线段的比较： 比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有ab+bc=ac，或ac=a+b；ad=ab-bd。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点如下图，有：要点诠释：线段中点的等价表述：如上图，点m在线段ab上，且有，则点m为线段ab的中点.除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点m,n,p均为线段ab的四等分点.【典型例题】类型一、线段、射线、直线1.下列判断错误的有

3、( ) 延长射线oa；直线比射线长，射线比线段长；如果线段papb，则点p是线段ab的中点；连接两点间的线段，叫做两点间的距离 a0个 b2个 c3个 d4个举一反三：【变式】平面上有五条直线，则这五条直线最多有_交点，最少有_个交点【变式1】下列说法正确的有 ( )射线与其反向延长线成一条直线；直线a、b相交于点m；两直线相交于两个交点；直线a与直线b相交于点ma3个 b2个 c1个 d4个【变式2】下列说法中，正确的个数有( )已知线段a，b且a-bc，则c的值不是正的就是负的；已知平面内的任意三点a，b，c则ab+bcac；延长ab到c，使bcab，则ac2ab；直线上的顺次三点d、e、

4、f，则de+efdf a1个 b2个 c3个 d4个类型三、个（条）数或长度的计算3. 根据题意，完成下列填空如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有_个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有_个交点由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有_个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有_个交点(用含有n的代数式表示)举一反三：【变式1】平面上有个点，最多可以确定 条直线. 【变式2】一条直线有个点，最多可以确定 条线段， 条射线.【高清课堂：直线、射线、线段397363 拓展 1（4）】【变式3

5、】一个平面内有三条直线，会出现几个交点? 4. 已知线段ab14cm，在直线ab上有一点c，且bc4cm，m是线段ac的中点，求线段am的长举一反三：【变式】（2014秋温州期末）已知点b在直线ac上，线段ab=8cm，ac=18cm，p、q分别是线段ab、ac的中点，则线段pq= 类型四、路程最短问题5.（2015春嵊州市期末）某公司员工分别在a、b、c三个住宅区，a区有30人，b区有30人，c区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）aa区bb区cc区da、b两区之间举一反三：【变式

6、】如图，从a到b最短的路线是（）.aa-g-e-b ba-c-e-b ca-d-g-e-b da-f-e-b 要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的为1分，记作“1”，1的为1秒，记作“1”这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类

7、似，方法有两种方法1：度量比较法先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小方法2：叠合比较法把其中的一个角移到另一个角上作比较如比较aob和aob的大小： 如下图，由图（1）可得aobaob；由图(2)可得aobaob；由图(3)可得aobaob2.角的和、差运算如图所示，aob是1与2的和，记作：aob1+2；1是aob与2的差，记作：1aob-2要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、90外，根据角的和、差关系，还可以画出15，75，

8、105，120，135，150，165的角3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线如图所示，oc是aob的角平分线，aob2aoc2boc，aocboc =aob要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角例如，图中射线oa的方向是北偏东60；射线ob的方向是南偏西30这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60”一般不说成“东

9、偏北30” （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向（4）图中的点o是观测点，所有方向线(射线)都必须以o为端点要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6，时针每小时转30，时针1分钟转0.5，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180的角，试一一画出来【思路点拨】首先发现一副三角板上有30，45，60，90这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180的所有

10、角【答案与解析】解：除了可以画30，45，60，90外，还可画15，75，105，120，135，150，165的七个度数的角，画法如图所示【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30，45，60，90，15，75，105，120，135，150，165举一反三：【变式】（2015春成武县期末）下列说法中，正确的是（）a两条射线组成的图形叫做角b有公共端点的两条线段组成的图形叫做角c角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形d角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形类型二、角度制的换算2. 计算下列各题： (1)1524912+20.18； (2)82-3

11、64215；(3)3536479； (4)41373举一反三：【变式】计算： (1)234536+661424；(2)180-982430；类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板 (1)用叠合法比较1，2的大小； (2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“”或“”连接举一反三：【变式】如图，aob的平分线om,on为moa内的一条射线，og为aob外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是mon（bonaon），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来. 4.（2016春龙口市期中）如图，aob=90，aoc=30，且om

12、平分boc，on平分aoc，（1）求mon的度数；（2）若aob=其他条件不变，求mon的度数；（3）若aoc=（为锐角）其他条件不变，求mon的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？举一反三：【变式】如图，已知o是直线ac上一点，od平分aob，oe在boc内，且boeeoc，doe70，求eoc的度数.类型四、方位角5.（2015浦东新区三模）已知小岛a位于基地o的东南方向，货船b位于基地o的北偏东50方向，那么aob的度数等于 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为11

13、0，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110，试算出此人外出用了多长时间?要点三、多边形和圆的初步认识1.多边形及正多边形：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形如下图：要点诠释：（1）n边形有n个顶点、n条边，对角线的条数为（2）多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等2. 圆及扇形：（1）圆：如图，在一个平面内，线段oa绕它固定的一个端点o旋转一周，另一个端点a所形成的图形叫做圆，固定的端点o叫做圆心，线段oa叫做半径. 以点o为圆心的圆，记作“o”，读作“圆o”要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）扇形：由一条弧ab和经过这条弧的端点的两条半径oa，ob所组成的图形叫做扇形.如下图：要点诠释：扇形oab的面积公式：；扇形oab的弧长公式：.类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算1.方程的思想方法5. 如图所示，b、c是线段ad上的两点，且，ac35cm，bd44cm，求线段ad的长2.分类的思想方法 6. 同一直线上有a、b、c、d四点，已知addb，accb，且cd4cm，求ab的长【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小类型四、多边形和圆7.（1）操作与证明：如图所示，o是边长为a的正方形a