教你巧解鸡兔同笼问题

1、教你巧解鸡兔同笼问题教育家贝克浩斯（Backhousl ）在研究“问题解决”时首先提到的是中国古 算题，其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等。解这些问题需 要想象，解者在其情景中有明确的且力所能及的目的，但缺少现成的方法达到此目的，因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种试智比知式考问的备办学问， 一代一代传下来，还传到世界各地，鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题。明代作家张 岱曾说：“天下学问，惟夜航船中最难对付”。又到纳凉的季节，老公公们要用 这些问题来试试儿孙辈的学问怎样？有位小朋友听了老公公提出的问题，觉得难度不大，便满怀信心地对老公公说：慢点，让我打开灯，拿纸和笔。老公公讲不

2、 用笔就不可以算吗？这一下，许多小朋友都被难住了。显然老公公解这些难题的 技巧肯定不同凡响，那么老公公是怎样解这些问题的呢？我们先举个例子说说。一、鸡兔同笼问题例1笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？ 解法1假设法假设一个未知数是已知的，比如假定 50个头全是兔，则共有脚（4X 50=） 200 （只），这与题中已知140只不符，多出（200-140=） 60 （只），多的原因 是鸡当兔后每只鸡多算了 2只脚，所以鸡的只数是（60十2=） 30 （只），则兔的 只数为（50-30 = ） 20 （只）。这种解法，思路清晰，但较复杂，不便操作。能不能形象地画个图呢

3、？让我 们试试。解法2图形法CI* 脚-1 D比实际多出GHEF勺面从图中看ACDF勺面积二4X 50 = 200 （只脚），积=200-140 = 60 （只脚）,AB=GH=602=3O （只鸡）,BC=AC-AB=50-30=20 （只兔）解法2比解法1高级，算理是一样的。这里答案是图上算出的，显然这两种解法 都要用纸和笔。不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式，这是老公公的传家宝。解法3公式法老公公讲：只要用哨子一吹，并喊一声口令：“全体肃立”。这时每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140十2=） 70（只）， 其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因

4、此兔的头数为（70-50=） 20 （个），即兔有20只，则鸡有（50-20=） 30 （只）。这个故事实际 上老公公用了如下的公式。脚数和十2-头数和二兔子数。小孙子们听了兴趣为之大增，纷纷叫老公公再出几道题。老公公又出了（1）30个头，80只脚。（兔10,鸡20）。（2）100只脚，40个头。（兔10,鸡30）。（3）80个头，200只脚。（兔20,鸡60）小孙子们个个都愉快地答出来了。这个公式简洁好用，它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢？我们中华文 化博大精深，这两种可能性都是有的。这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢？ 这是十分重要的。数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现

5、的， 证明只是补行的手续而已。”现在我们就来补行这个手续。由已知50个头厭；帥只，|2鸡头二鸡脚。4兔头二兔脚。得：兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头=2 （鸡头+2兔头）即.兔脚鸡凰.（兔头+鸡头二兔头亠这就证明了老公公归纳的公式。说到鸡兔同笼问题，常常大家精神就紧张起来，以为是难题来了。现 在掌握了规律其实不难，所以凡事都应去摸索规律，照规律办事。鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的，有没有实际价值呢？我们再来看 下面的问题。二、邮票问题例2买3角与5角的邮票共24张，总值4.6元，问两种邮票各买了几张？解这道题当然可以用假设法和图形法，但用什么样的公式呢？美国数 学教育家C?波利亚说：“不论初等数学、

6、高等数学中的发现特 别是不能没有类比。”用类比很容易发现这个公式是：邮 票张数之和，减总价，只是乘以这个分数肯定不是Ijo设3角邮票为A1张，价值A角；5角邮票为B1张，价值B2角 由已知：24张说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致 又 3A1=A2，5B1=B2。得：Ae+ B2= 3A1+5B1，5-35-3这就与例1的公式相类似，很容易将这个公式翻译成语言陈述， 大家试试h这里德邮票的张数为（24 -12 （张）,确邮累的张数为rr(24 12=) 12 (张)如果你认为这个公式不太好记，就不妨用图来解FE（24X 5 96）十 2=12 （张、3 角）24-12 = 12所以解题方法的选用

7、常常是根据具体情况而定的。再试试（1）6角与8角的邮票共18张，总价12.4元，问两种邮票各几张？（10, 8）（2）3角与8角的邮票共100张，总价50元，问两种邮票各几张？（60， 40）三、植树问题例3 一次植树活动，规定大树每人种 2棵，小树每人种4棵，全班50人种树140棵，问种这两种树的各有多少人？这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人，种小树的有20 人。四、运输（工作）问题 例4有小卡车50辆，大卡车每辆运4吨，小卡车每辆运2吨，共运140 吨化肥，问大小卡车各几辆？难道不是题目看完答案就出来了吗？五、农药问题例5甲种农药每千克兑水20千克，乙种农药每千克兑水 40千克，

8、现为 了提高药效，根据农科所意见，甲乙两种农药混合使用，已知两种农药共 50千克，要配药水140千克，问甲、乙两种农药各需多少千克？用公式解很简单（30，20），如果将这个公式交给农民，那么他们配 起农药来就既方便又正确，你能想出这个公式是什么吗？还会遇到许多许多的问题，它们的数量关系（应用题的本质）与鸡兔 同笼问题相一致，都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解， 这些问题我们 将它们统称为鸡兔同笼问题。相传大禹治水到黄河，发现一只神龟，背上驮了一张图叫河图（洛书） （左图），用阿拉伯数字表示就是右图，图中三条竖线、三条横线、二条 对角线共八条线上三个数的和都是15,这样的图是怎样造出来的呢？其 法一时失传了，于是有人用它来占卜、相