矩阵特征值问题的解法

1、1 2 给出给出 . .若有若有 使得：使得： nnij aa )( , xax 0 x 0)det( ia 则称则称 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值, , 为相应的特征向量。为相应的特征向量。 特征值特征值 为特征方程的根。为特征方程的根。 a x 3 与矩阵想干的一些重要结果: eigenvalueofmarix.doc 4 特征值的估计特征值的估计 ,|:|)( ij iijiii aazczadni, 2 , 1 称之为称之为gerschgoringerschgorin圆盘（盖尔圆）圆盘（盖尔圆）. . gerschgoringerschgorin 圆盘定理圆盘定理 为为n n阶实方阵

2、阶实方阵, ,则则 nnij aa )(设设 在的某个在的某个gerschgoringerschgorin圆盘之中圆盘之中. . a的任一特征值必落的任一特征值必落 5 第二圆盘定理第二圆盘定理 设设 为为 阶实方阵，如果阶实方阵，如果 的的 个个gerschgoringerschgorin 圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有圆盘与其他圆盘不相连，则恰好有 的的 个特征个特征 值落在该值落在该 个圆盘的并集之中，即：个圆盘的并集之中，即： a naka k k , 1 j i k j ds j i n kj dt 1 特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值特别地：孤立圆盘仅含有一个特征值. . 为为 的

3、一个重新排的一个重新排 列列, , 则则 中含有中含有 的的 个特征值个特征值. , 2 , 1n tssak , 11nkk iiii 6 试讨论a a的特征值的分布. 解解 由a a确定的3个圆盘分别为 所以 315 -222 -631 （或| 1 |0时 2 1 122 111 2 1 1 122 11 ()() | |()()| kk n nn k k k kk n nn b vbvbv z b vbvbv 1 1 1 | k k 1 1 1 1 | k bv z bv 1 1 1 1 | k bv z bv 当1 | 2| | n| 。则从任意非零向量。则从任意非零向量 (满足满足

4、) 出发出发, 迭代迭代 收敛到主特征向量收敛到主特征向量 ， 收收 敛到敛到 1。 )0( 0),( 1 ) 0 ( 1 xv )0()( kk a 1 x i k i k )/()( )()1( 每个不同的特征根每个不同的特征根 只对应一个只对应一个jordan 块块 注：注： 结论对结论对重根重根 1 = 2 = = r 成立。成立。 r i ii k r i n ri i k i iii k k xxx 1 1 111 1 )( 若有若有 1 = 2 ， ，则此法不收敛。 则此法不收敛。 任取初始向量时，因为不知道任取初始向量时，因为不知道 ，所以不能保证，所以不能保证 1 0，故所求

5、得之故所求得之 不一定是不一定是 ，而是使得，而是使得 的第一个的第一个 ，同时得到的特征根是，同时得到的特征根是 m 。 1 x )(k 1 x 0),( )0( m x m x 18 算法算法: : 乘幂法乘幂法 step 1 set k = 1; step 2 find index such that | v0 index | = | v0 | ; step 3 set v0 = v0 / v0 index ; /*规格化规格化 v0 */ step 4 while ( k nmax) do steps 5-11 step 5 v = a v0 ; /* 由由uk 1 计算计算 vk *

6、/ step 6 = v index ; step 7 find index such that | v index | = | v | ; step 8 if v index = 0 then output ( “a has the eigenvalue 0”; v0 ) ; stop. /* 矩阵是奇异的，用户尝试新的矩阵是奇异的，用户尝试新的 v0 */ step 9 err = | v0 v / v index | ; v0 = v / v index ; /* 计算计算 uk */ step 10 if (err 3 n ,这时,迭代式可写成 )()() 1( 11 3 312211

7、1 )( n k n k r kkk n aaaaxxxxv 则对充分大的k有 remark5remark5: :对于对于 1 1- - 2 2，或，或 1 1与与 2 2共轭等情形，也可共轭等情形，也可 类似进行计算。类似进行计算。 ) 1( 22111 )( xxvaa kkk v v(2i)12i(a1x x1+a2x x2) , v v(2i+1)12i+1(a1x x1-a2x x2) 26 于是有 nivv k i k i , 2 , 1,/ )()2( 1 x x1v v(k+1)+1v v(k) , x x2v v(k+1)-1v v(k) 对于规范化的幂法，由于 u u(k+

8、2)=v v(k+2)/k+2=au(k+1)/k+2 =av(k+1)/k+1k+2=a2u(k)/k+1k+2 于是有 ， 211 kk 12 x x1k+1u u(k+1)+1u u(k) , x x2k+1u u(k+1)-1u u(k) 27 的按模最大特征值和相应的特征向量。 例例4 用乘幂法求矩阵 1316 2216 114 a 解解 取初始向量u u(0)=v v(0)=(1,1,2)t ,计算可得 28 k ku(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 3.553628 4.679204 3.461124 4.635465 3.452655

9、 4.632116 3.454315 4.631929 3.454291 4.631920 3.454288 4.631924 (1,1,2)t (0.454545, 0.909091, 1)t (0.537222, 0.972116, 1)t (0.465201, 0.994041, 1)t (0.539392, 0.998269, 1)t (0.465721, 0.999627, 1)t (0.539487, 0.999892, 1)t (0.465890, 0.999975, 1)t (0.539495, 0.999993, 1)t (0.465893, 0.999999, 1)t (0

10、.539495, 1, 1)t (0.465893, 1, 1)t (0.539495, 1, 1)t (0.465893, 1, 1)t 29 加速技术加速技术 由于 )2 . 5()()max( 1 2 1 )( k k k ov 所以,乘幂法收敛速度取决于比值|2/1|,当|2/1|1时, 收敛是很慢的. 1 1.aitken aitken 加速方法加速方法 由(5.2)式可知 x x2=13u u(13)-1u u(12)=(0 , 0.631924 , 0.631924)t. 4, 4631924. 4454288. 3 213121 x x1=13u u(13)+1u u(12)=

11、(4.315961, 8.631924, 8.631924)t, 实际上, a, a的特征值为1=4,2=-4,3=1. 30 可见,序列k线性收敛于1 . 会达到加速收敛的目的. 0lim 1 2 1 11 k k k 构造aitken序列 kkk kk kk 12 2 1 2 )( 如把aitken加速方法用于例3,则有 31 ku(k) 10 7.2 6.5 6.003352 6.001675 6.000837 (1,1,1)t (1,0.8,0.1)t (1,0.75,-0.111)t (1,0.730769,-0.188034)t . (1,0.714405,-0.249579)t

12、(1,0.714346,-0.249790)t (1,0.714316,-0.249895)t k 0 1 2 3 10 11 12 6.266667 6.000017 6.000003 6.000000 k 2 2.原点位移法原点位移法 作矩阵b b=a a-pe e, 则b b的特征值为mi=i-p(i=1,2,n), 而且对应的特征向量相同. 32 则对b b应用乘幂法可达到加速收敛的目的。 解解 由于a a的特征值为1=6,2=3,3=2,故取p=2.5,则b b 的特征值为m1=3.5,m2=0.5,m3=-0.5,则 如果选取p,使m1仍然是b b的按模最大特征值，且满足 取初始向

13、量u u(0) (0)=v v(0)(0)=(1,1,1)t,由规范化计算公式: 1 2 1 2 1 2 p p m m 例例 用原点位移法求例3中矩阵a a的按模最大的特征值 和特征向量. 5 . 001 05 .105 0145 . 6 5 . 2 eab 201 0135 0144 a 33 计算可得 , 3 , 2 , 1, )()( k k kk vu )max( )(k k v )1()( kk buv kku(k) 0 1 2 3 4 5 6 7.5 3.766662 3.535396 3.505002 3.500718 3.500102 (1,1,1,)t (1,0.73333

14、3,-0.2)t (1,0.716814,-0.238938)t (1,0.714643,-0.249061)t (1,0.714337,-0.249777)t (1,0.714293,-0.249981)t (1,0.714287,-0.249995)t 34 这是因为|2/1|=1/2,而|m2/m1|=1/7,故对b b应用乘幂法远 比对a a应用乘幂法收敛的快. 取,16+2.5=6.000102,x x1u u(6)=(1,0.714287,0.249995)t 35 反幂法反幂法 inverse power method 若若 a 有有| 1 | | 2 | | n |，则，则 a

15、 1 有有 对应同样一组特征向量。对应同样一组特征向量。 1 1 1 11 nn a 1 的主特征根的主特征根 a的绝对值最小的特征根的绝对值最小的特征根 q: 在每一步我们怎样计算在每一步我们怎样计算 ? )(1)1(kk a a: 先对先对a进行三角分解，再解线性系统进行三角分解，再解线性系统 . )()1(kk a 若知道某一特征根若知道某一特征根 i 的大致位置的大致位置 p ，即对任意，即对任意 j i 有有| i p | j+1时，aij=0，称a为 上hessenberg矩阵.例如：一个5阶的 上hessenberg矩阵具有如下的形式： * * 0* 00* 000* a 下面介

16、绍qr方法时，都假设矩阵a是一个 上hessenberg矩阵. 45 hessenberghessenberg矩阵的矩阵的 方法方法 qr 先把先把 经相似变换约化为经相似变换约化为hessenberghessenberg矩阵，即：矩阵，即： a * * * 2112 ghahhh nn 且有很多零元且有很多零元. . ag 设设 为为hessenberghessenberg矩阵矩阵, ,作作 分解分解: : aqr 111 rqaa 46 112 qra ., 2 , 1, )( , 1 kqra rrqa kkk kkkk 具有非负对角元具有非负对角元要求要求 问题在于问题在于 是否仍为是

17、否仍为hessenberghessenberg矩阵？矩阵？ k a 可以证明：可以证明： 若若 为为hessenberghessenberg矩阵，矩阵， a, 111 rqaa 则：则： 仍为仍为hessenberghessenberg矩阵。矩阵。 112 qra 47 如果a是一个满秩的上hessenberg矩 阵，可以证明，经过一个qr迭代步得到的 a2qa1q仍然是上hessenberg矩阵. 因为上hessenberg矩阵次对角线以下的元 素全为0，因此，只要证明，当k时，由 迭 代格式产生的矩阵ak的次对角元趋向于 零就可以了. 48 qr算法的收敛性 定理设n阶矩阵a的n个特征值满

18、足| |n|0，其相应的n个线性无关特征向 量为x1，x2，xn. 记x(x1,x2,xn), y= x.如果y存在lu分 解，那么，由迭代式产生的矩阵ak基本收 敛于上三角矩阵r.这里，基本收敛的含义指 ak的元素中除对角线以下的元素趋于 零外，可以不收敛于r的元素. 49 qr算法的迭代过程 一个qr迭代步的计算 对l=1，2，n-1，构造n-1个平面旋转矩 阵pl,l+1,使a1的次对角元全部零化，实现a1 的qr分解的计算， 这里, ,1,1 ,1,11,1, ,1,2, l ll llllj l ll lllll csaa jlln scaa 1, ,1,1 2222 1,1, ,

19、ll ll l ll l llllllll aa cs aaaa 22 1,llll raa 50 用pl,l+1右乘(24)，所得结果也放回矩阵a相 应的元素中. ,1,1 ,1,1 ,1,1 (,)(,), 1,2,1 l ll l i li lili l l ll l cs aaaa sc il 51 qr算法的迭代控制算法的迭代控制 当迭代步数k充分大时，由迭代格式产生的 ak的次对角元趋于0.在 实 际计算中，控制 迭代次数常用的一种办法是，预先给定一 个小的正数，在一个迭代步的计 算结束后， 对l=n-1, n-2,，1，依次判别次对角元的绝 对值是否满足 或更严格的 准则是 或不

20、太严 格的准则是 如果上面三个不等式中有一个成立， 把 看做实际上为零. 1,ll aa 1,1,1 min, llllll aaa 1,1,1 llllll aaa 1,ll a 52 带原点位移的算法带原点位移的算法 由算法收敛性可以看出，算法的 收敛速度 依赖于矩阵相邻特征值的比 值.为 了加快算法的收敛速度，在迭代过程中， 对矩阵ak确定一个原点位移量sk，称ak-ski 为带原点位移量的矩阵，再对ak-ski应用 算法.这时，迭代格式改为 称为带原点位移的qr算法 1 , kkkkkkkk as iq rar qs i 53 计算特征值问题的qr方法，实际上总是分 成2个阶段： 一般

21、矩阵 上hessenberg矩阵 上三角矩阵 对称矩阵 三对角矩阵 对角矩阵 54 jacobi方法是求实对称矩阵全部特征值和特征向量的 一种矩阵变换方法。 4 jacobi 方法方法 实对称矩阵a a具有下列性质： （1）a a的特征值均为实数； （2）存在正交矩阵r r，使r rtarar=diag(1,2,n),而 55 r的第i个列向量恰为i的特征向量; 直接求正交矩阵r是困难的 . jacobi提出用一系列所谓 平面旋转矩阵逐次将a约化为对角矩阵. 平面解析几何中的平面坐标旋转变换 表示平面上坐标轴旋转角的变换. （3）若记a a1=r=rtarar,则a a1仍为对称矩阵. 平面旋

22、转矩阵平面旋转矩阵 1 1 2 2 cossin sincos y x y x 在三维空间直角坐标系 中,ox1y1平面绕着oz1轴旋转角的坐标变换为 1 1 1 2 2 2 100 0cossin 0sincos z y x z y x 56 rpq()具有下列性质: 一般地, 在n维向量空间rn中, 沿着xpyq平面旋转角的 变换矩阵为 行第 行第 q p pq 1 1 cossin 1 1 sincos 1 1 )( r 称rpq()为平面旋转矩阵平面旋转矩阵. 57 设实对称矩阵a a=(aij)nn ,记b b=r rpqt()ararpq()=(bij)nn 则它们元素之间有如下关

23、系: （1）r rpq()为正交矩阵,即r rpq-1()=r rpqt(); （2）如果a a为对称矩阵, 则r rpqt()ararpq()也为对称矩 阵, 且与a a有相同的特征值. （3）r rpqt()a a仅改变a a的第p行与第q行元素,ararpq()仅 改变a a的第p列与第q列元素. )4 . 5( ),( cossin sincos 2cos2sin)( 2sincossin 2sinsincos 2 1 22 22 qpjiab aabb aabb aaabb aaab aaab ijij jqjpqjjq jqjppjjp pqppqqqppq pqqqppqq pq

24、qqpppp 58 )5 . 5( 22 222222 pqqqpppqqqpp aaabbb 所以有 从而 2222 qipiqipi aabb ),( 2222 qpiaabb iqipiqip 22 ff ab)6 . 5(, 1 2 1 2 n ji ij n ji ij ab ， 即 有(5.5)、(5.6)式可得 2222 22 pq ji ijpq ji ij aabb 2 1 22 1 2 22 pq n i iipq n i ii aabb 如果apq0, 适当选取角, 使 02cos2sin)( 2 1 pqppqqqppq aaabb 59 只需角满足 从而 如果取|ap

25、q|= 若记 )7 . 5( 4 |, 2 2cot pq qqpp a aa ji ijpq ji ij ji ij aaab 2222 2 n i iipq n i ii n i ii aaab 1 22 1 2 1 2 2 |max ij ji a 于是 ji ijpq a nn a 22 1 1 ）（ ，则 ji ij ji ij a nn b 22 ) ) 1( 2 1 ( ,)( 2 ji ij aa 则上式可记为 )8 . 5()() ) 1( 2 1 ()(ab nn 60 由式(5.7),令t=tan,则t满足方程 t2+2t-1=0 经典jacobi算法是对a a(0)=a

26、 a施行一系列平面旋转变换: 为保证|/4,取绝对值较小的根,有 于是 )9 . 5( 0,1 0,)1|/(|)sgn( 2 t ,)1 (cos 2 1 2 t)10. 5(cossint jacobi 方法方法 a a(1)=r r1ta a(0)r r1 ,a a(2)=r r2ta a(1)r r2 , a a(k)=r rkta a(k-1)r rk , 每一步变换选择a a(k-1)=(aij(k-1)nn 的非对角线元素中绝对 值最大者apq(k-1)(称为主元素)作为歼灭对象, 构造平面旋 61 是给 定的精度要求,则a a的特征值可取为iaii(k),i=1,2,n. 转矩

27、阵r rk=r rpq(), 经变换得到a a(k)=(aij(k)nn ,且apq(k)=0, 这时由(5.8)式有 从而 由此递推得到 当k充分大时,或者(a a(k),或者 )() ) 1( 2 1 ()( )1()( kk nn aa )() ) 1( 2 1 ()( )( aa kk nn )( , 0k ),(lim 21 )( n k k diag da 另外,由于 a a(k)=r rkta a(k-1)r rk=r rktr rk-1tr r1tarar1r r2r rk=r rtarar ,|max )( k ij ji a 62 的全部特征值. 解解 记 a a(0)=a

28、,a,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有 因此,r=rr=r1r r2r rk 的列向量x xj (j=1,2,n)为a a的近似特征 向量. 例例7 用jacobi 方法计算对称矩阵 612 152 224 a 25. 0 2 )0( 12 )0( 22 )0( 11 a aa 780776. 0)1|/(|)sgn(, 2 t 788206. 0)1 (cos 2 1 2 t 615412. 0cossin,t 从而有 63 所以 再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,类似地可得 以下依次有 100 0788206. 0615412. 0

29、0615412. 0788206. 0 100 0cossin 0sincos )( 1 pq rr 6020190. 2961. 0 020190. 2561552. 60 961. 00438448. 2 1 )0( 1 )1( rara t 241166. 40724794. 0 0320386. 8631026. 0 724794. 0631026. 0438448. 2 )2( a 64 496424. 4209614. 00 209614. 0320386. 8595192. 0 0595192. 0183185. 2 )3( a 496424. 4208653. 0020048.

30、 0 208653. 0377576. 80 020048. 00125995. 2 )4( a 485239. 40020019. 0 0388761. 8001073. 0 020019. 0001073. 0125995. 2 )5( a 485401. 4000009. 0001072. 0 000009. 0388761. 80 0001072. 0125825. 2 )6( a 485401. 4000009. 00 000009. 0388761. 80 00125825. 2 )7( a 65 从而a a的特征值可取为 12.125825, 28.388761, 34.4854

31、01 为了减少搜索非对角线绝对值最大元素时间, 对经典 的jacobi方法可作进一步改进. 1.1.循环循环jacobijacobi方法方法: :按(1,2),(1,3),(1,n),(2,3), (2,4),(2,n),(n-1,n)的顺序, 对每个(p,q)的非零 元素apq作jacobi变换,使其零化,逐次重复扫描下去,直至 (a a)为止. 2.2.过关过关jacobijacobi方法方法: : 取单调下降收敛于零的正数序列 k,先以1为关卡值,依照1中顺序,将绝对值超过1的非 对角元素零化,待所有非对角元素绝对值均不超过1时,再 换下一个关卡值2 ,直到关卡值小于给定的精度 . 66

32、 jacobi方法具有方法简单紧凑,精度高,收敛较 快等优点, 是计算对称矩阵全部特征值和相应特征 向量的有效方法,但计算量较大,一般适用于阶数不 高的矩阵. 67 矩阵的约化矩阵的约化 目的：利用相似变换，将矩阵约化为目的：利用相似变换，将矩阵约化为“尽可能简单尽可能简单” 的形式的过程，称为矩阵的约化的形式的过程，称为矩阵的约化. . aass 1 a a 特征值特征值 x xs 1 特征向量特征向量 68 householder householder 矩阵矩阵 称称 为为householderhouseholder矩阵矩阵. . 1,2 2 wwwih t 性质：性质：1 1） （he

33、rmitehermite矩阵）矩阵） hh t (2) ttt hiwwh 2 2）正交性：）正交性： ihh t (2) (2) tttt h hiwwiww (44) ttt iwwww wwi 69 正交矩阵正交矩阵 作用于作用于 上，仍有：上，仍有：hx , 22 xhx 即不改变向量的长度即不改变向量的长度. . 22 22 (,)(, )( , ) t hxhx hxh hx xx xx 定理定理 设设 ，则总存在，则总存在householderhouseholder 22 ,yxryx n yhx 矩阵矩阵h h 使：使： 证明证明：若：若 ，则只需取，则只需取 即可即可. .

34、yx xw 若若 ，并确定，并确定w w使使yx ,)2(yxwwihx t 据此应有：据此应有：xywxwt )(2 70 即：即：w w应与向量应与向量 平行平行. . xy 因为因为 ，所以，所以 yx . 0 2 yx 又因为又因为 ，所以可取，所以可取 1 2 w . 2 xy xy w 这时这时 即为所求的即为所求的householderhouseholder矩阵矩阵. . t wwih2 可以设计可以设计 ，使得，使得 变为所需要的形状变为所需要的形状. . h x 求求 （找（找 ），使得：），使得：, n rx h w 12 | 0 0 * exhx 71 t n xxxx)

35、,( 21 0 0 1 11 e 121 |)(exxsign 这里：这里： 211 |)(xxsign t exex ex ih)( | 2 1111 2 11 还可构造还可构造 ，使得：，使得： h 72 yx mn m m mn m h 1 1 0 0 * * * * * * * 即要求即要求 ，且，且 的后面的后面 个元素为零个元素为零. . 22 yx y 1 mn 73 设：设： 作作 ,),( 11 t nmm xxxxx , )()(mnmn m rh 使得：使得： 个分量个分量1 0 0 1 1 mn x x h m n m m 111 2 (),(,) . t mmmn x

36、sign xxxx m m h i h 0 0 令令 74 则则 ,)0, 0 ,( 11 t mm xxhx 显然，这样构造的显然，这样构造的 仍然是仍然是householderhouseholder矩阵矩阵. . h 约化矩阵为约化矩阵为hessenberghessenberg形式形式 nnij t ggaqq )( 相似变换：相似变换： 其中其中 ，当，当 0 ij g. 1 ji 定理定理：对任何矩阵：对任何矩阵 ，可以构造正交矩阵，可以构造正交矩阵 nn ra 使得使得 为上为上hessenberghessenberg, 21 n hhqgaqqt 矩阵，其中矩阵，其中 为为hous

37、eholderhouseholder矩阵矩阵. . 21 , n hh 75 推论推论：当：当 为对称矩阵时，可以构造出正交矩阵为对称矩阵时，可以构造出正交矩阵 nn ra 使得使得 为对称三对角矩阵为对称三对角矩阵. . , 221 n hhhq aqqt 矩阵的矩阵的 分解分解 qr 分解：分解： ， ， 为正交矩阵，为正交矩阵， 为上三角阵为上三角阵. . qra iqqt qr 作法：用作法：用 表示表示 的列向量，令的列向量，令 )0()0( 2 )0( 1 , n aaa a )0()0( 2 )0( 1 )0( , n aaaaa 取取householderhouseholder

38、矩阵矩阵 使得使得 , 1 h,)0 , 0 ,( 1 )0( 11 t ah 其中，其中， 则：则： (0) 1111 2 (),asign a 76 )1()1( 2 )1( 2 )1( 22 )1( 1 )1( 121 )0( 1 0 0 nnn n n aa aa aa ah 1 )1()1( 2 )1( 1 ,aaaa n 然后然后, ,构造构造householderhouseholder矩阵矩阵 2 2 0 01 h h 其中其中 为为 阶阶householderhouseholder矩阵，使得：矩阵，使得： 2 h1 n t aah)0 , 0 ,( 2 )1( 12 )1( 2

39、2 77 则，则， 具有如下形式：具有如下形式： 212 aah )2()2( 3 )2( 3 )2( 33 )2( 2 )2( 232 )2( 1 )2( 13 )2( 12 )2( 11 2 00 00 0 nnn n n n aa aa aa aaaa a 构造出一串构造出一串householder householder 矩阵矩阵 ，使，使 11 , n hh . 121 rahhh nn 记记 ， 显然为正交矩阵显然为正交矩阵. . 121 n t hhhq q 78 设设 已知存在已知存在 ， ，使得：，使得： ., nnt raaa qiqqt nn n t aqqc 0 0 2

40、2 21 不妨设：不妨设： ), 3 , 2(0ni i 79 sturm sturm 序列序列 定义定义：多项式序列：多项式序列 , 1)(,)( 0 0 pp n k k , 0 0 )( 2 21 kk k k p 即为即为 的特征多项式的特征多项式. . 称为矩阵称为矩阵 的的 )( n p c )( k p c sturmsturm序列序列. . 80 ),()()()( ,)( 2 2 1 11 kkkkk ppp p nk, 3 , 2 有：有： 性质性质1 1 ，仅有实根，仅有实根. . nkpk, 2 , 1, 0)( 这是因为矩阵这是因为矩阵 的任意的任意k k阶主子矩阵都

41、是对称矩阵，阶主子矩阵都是对称矩阵， c 为它的特征多项式，所以它的为它的特征多项式，所以它的k k个零点都是个零点都是)( k p 实数实数. . 81 kk k k c 0 0 22 21 性质性质2 2 无根，相邻两多项式无根，相邻两多项式 ， 无无)( 0 p)( k p)( 1 k p 公共根公共根. . 性质性质3 3 若若 是是 的根，则的根，则 )1, 2 , 1(0)( nkpk 0)()( 11 kk pp 82 事实上事实上, , 因为因为 , ,而而0)( k p, 0)(, 0)( 11 kk pp 故有：故有： . 0)()()( 2 1 2 111 kkkk pp

42、p 性质性质4 4 多项式序列多项式序列 中相继两多项式中相继两多项式 和和 )( k p)( k p )( 1 k p的零点交错隔开的零点交错隔开. .即即 假设假设 nk k k kk , 2 , 1, )()( 2 )( 1 为为 的的k k个零点，则：个零点，则： )( k p . )1( 1 )()( 2 )1( 2 )( 1 )1( 1 k k k k kkkk 83 从而从而 每个的零点均为单重实零点每个的零点均为单重实零点. . )( k p 证明证明：（：（归纳法）归纳法） 由于由于 0)()(, 0)( )1( 10 2 2 )1( 12 )1( 11 ppp 又：又：,)

43、(,)( 22 pp 故：故： )2( 2 )1( 1 )2( 1 84 同理：同理： , 0)(, 0)( )2( 11 )2( 12 pp 故：故： , 0)()( )2( 11 2 3 )2( 13 pp 于是由于是由 , ,得出得出 )( 3 p . )2( 1 )3( 1 类似可得类似可得 , 0)( )2( 23 p 于是又由于是又由 便得便得 )( 3 p ., )3( 3 )2( 2 )2( 2 )3( 2 )2( 1 对于对于 ，均有：，均有： k .)1()(, 0)( k kk pp 85 性质性质5 5 在在 的邻域，所有多项式的邻域，所有多项式 都为正，都为正， )(

44、 k p 且当且当 自左向右变动经过自左向右变动经过 的零的零 ), 2 , 1)(nkpk 点点 时，时， 的下降或上升是与的下降或上升是与 或或 )( k p0)( 1 k p 一致的一致的. . 0)( 1 k p 多项式序列多项式序列 称为称为sturmsturm序列：序列： )( k p 1.1.相邻多项式无公共根相邻多项式无公共根 2.2.若若 . 0)()(, 0)( 11 kkk ppp 3.3.相邻两多项式的根彼此交错相邻两多项式的根彼此交错 86 以下记：以下记： 为数列为数列 中相邻两数中相邻两数)( s )(,),(),( 10 n ppp 符号一致的数目（同号数）符号

45、一致的数目（同号数）. . , 1 , 1, 2, 9 , 6, 4 , 1 2)( s , 9, 0 , 2, 0 , 7 , 4 , 1 5)( s 例如例如： 注注：若：若 ，则取它的符号与前一个，则取它的符号与前一个0)( k p0)( 1 k p 同号同号. . 1200 2120 0212 0021 c 例如：例如：矩阵矩阵 87 . 3 , 2 , 1),(4)()1()( ,1)(, 1)( 11 10 kppp pp kkk 此时此时 必先求出必先求出 的表达式的表达式. .)( k p 求多项式求多项式 的值时，可用上述递推公式，不的值时，可用上述递推公式，不 )( k p 表表6.46.4 88 -3-31 13 34 4.55 5 1 11 11 11 11 11 11 1 4 40 0-2-2-3-3-3.22-3.22-3.5-3.5-4-4 1212-4-40 05 56.3686.3688.258.251212 32320 08 8-3-3-7.626-7.626 -14.875-14.875-32-32 80801616-16-16 -11-11 -0.917-0.91719.06219.062