【配套Word版文档】第五章5.4(2)

1、A % H魅亶东方工作愛核备棵纽5.4平面向量的应用2014 高 考 会1.考查向量与平面几何知识、三角函数的综合应用；2.考查向量的物理应用，利用向量解决一些实际问题.东方工咋愛樓2备棵纽剧冷复 习 备考要 这样做1掌握向量平行、垂直的条件和数量积的意义，会求一些角、距离； 2体会数形结合思想，重视向量的工具性作用.东方工咋愛按心备棵纽制作I X-CZ1.向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1) 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a/ b? a = b(b0)?

2、沁亠2ym(2) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质a 丄 b? a b= 0? xix2 + yiy2 = 0.(3) 求夹角问题，利用夹角公式a bX1X2+ yiy2(B为a与b的夹角).rLELr京方工作愛樓心备课姐制作宾工花亶由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相一似，可以用向量的知识来解决.（2）物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积.即 W= F s= |F|s|cos 0（ B为F与s的夹角）.3. 平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识 结合，当平面向量给出的形式中

3、含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到 关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的 综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平 行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.难点正本疑点清源1 .向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.2 要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题.1.一质点受到平面上的三个力Fl, F2, F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态

4、.已知F1 ,F2成120 角，且Fi, F2的大小分别为答案 90解析如图，F3= （F1+ F2）.在？OACB 中，|0A|= 1, AC|= 2,1和2,贝U F1与F3所成的角为A % H魅亶/ OAC = 60, |0C|= 12 + 22- 2X 1X 2X cos 60 =.3,/ AOC = 90 即 0A 丄 0C, Fi 丄 F3.2 .平面上有三个点 A(- 2,y) ,B 0, 2 ,C(x,y),若AB丄BC，则动点C的轨迹方程为 答案 y2= 8x (xm 0)解析由题意得Ab = 2, - y , EBC= x, 2 ,又Ab 丄bc, Ab bc = 0,即

5、2, 2 x, 2 = 0,化简得 y2= 8x (xm 0).10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静3河水的流速为2 m/s, 一艘小船想以垂直于河岸方向水速度大小为.答案 2 26 m/s解析如图所示小船在静水中的速度为,102+ 22= 2.26 m/s.4. 已知A、B是以C为圆心，半径为，5的圆上的两点，且|AB|= .5,则AC CB等于(B*5D.5.32答案 A解析/ |AB|= 5= r,ACB = 60 ,|CB| cos/ ACB AC CB = CA CB = |CA|=V5 V5cos 60 = 2*5. a, b为非零向量，a丄b 是 函数f(x) = (xa+ b

6、) (xb a)为一次函数 的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 因为 f(x)= (xa + b) (xb a) = (a b)x2+ (|b|2 a|2)x a b.当 f(x)为一次函数时，必须东方工咋愛樓2备棵纽剧冷a b = 0,a丄b,满足即故f(x)为一次函数时一定有a丄b.当a丄b且|a|=|b|b|2 |a|2工 0,|b|z |a|,时，f(x)为常函数，所以“a丄b”不是“f(x)为一次函数”的充分条件，故选 B.题型一 应用平面向量的几何意义解题东看工作裳核业备裸纽制件1平面上的两个向量 OA ,觅满足O

7、a=a, OB= b，且 OA 丄 OB, a2 + b2= 4.向量 OP= xOA + yOB (x, y R),且 a2 x 2 2 +1b2 y12= 1. 如果点M为线段AB的中点，求证： MP = x 2 OA + y 2 OB ；(2)求OP的最大值，并求此时四边形OAPB面积的最大值.思维启迪：对第(1)问，可先求OM，再由条件即可得到结论；对第 (2)问，先设点M为线 段AB的中点，进而利用第(1)问的结论，并由条件确定P, O, A, B四点共圆，结论即可得到.(1) 证明 因为点M为线段AB的中点，所以 OM = OA + 2OB.所以 MP = OP OM = (xOA

8、 + yOB) ?OA + 2OB=x 2 OA+ y 2 OB.(2) 解 设点M为线段AB的中点，t tttt1 t则由 OA丄 OB，知 |MA|= |MB|= |MO|= 2AB= 1.东方工昨堂核心备课M制件|MP|2= |0P 0M|2= x 1 20A2+ y 1 2OB2i iX 2 2a2+ y 12b2 = 1.所以 |MP|= |M0|= |MA|= |MB|= 1.故P, O, A, B四点都在以M为圆心、1为半径的圆上，所以当且仅当 OP为圆M的直径时,|Op|max= 2.这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB =|OA| |OB= ab害=2,当且仅当2时，

9、四边形OAPB的面积最大，最大值为 2.探究提高本题是一道典型的考查向量几何意义的应用问题.求解第（2）问的难点就是如何利用第（1）问的结论来解决新的问题，突破这一难点的关键主要是从设点M为线段AB的中点入手，借助条件及第（1）问的结论，去探究|OP|的最大值问题.在厶ABC所在平面上有一点 P,满足FA + PB + PC= 忑，则厶PAB与厶ABC的面积之比是（ ）1123A. 3B.2C.3D.4答案 A解析 由已知可得PC = 2AP, P是线段AC的三等分点（靠近点A）,易知Sapab = TSabc,3即 Sa FAB : Sa ABC= 1 : 3.东看工咋窒核2备课纽制作题型二

10、 平面向量在物理计算题中的应用A f： X-CX东方工作堂核2备课纽制桦|F2|2 2|Fi|F2|cos 60 =12,则 |OFi|2+ |F7F2|2= |O)F2|2,即/ OF1F2为直角，|F3|= 2、F1 + |F；F2|2= 2_7iG如图所示，已 知力F与水平方向的夹角为30斜向上)，F的大小为50 N，F拉着一个重80 N的木块在摩擦因数 卩 =0.02的水平平面上运动了 20 m，问F、摩擦力f所做的功分别 为多少？解设木块的位移为s,贝U F s= |F| |s|cos 30 = 50 X 20 X 2= 5003 (J),F在竖直方向上的分力大小为o 1|F|sin

11、 30 =0X 3 = 25(N),所以摩擦力f的大小为|f|= (80 25) X 0.02 = 1.1(N),所以 f s= |f| |s|cos 180 = 10 X 20X ( 1) = 22(J). F , f所做的功分别为500 ；3 J, 22 J.题型三平面向量与三角函数的交汇东方工咋窒核2备课纽-桦3 已知在锐角 ABC中，两向量 p= (22sin A, cos A+ sin A), q = (sin A cos A,1 + sin A)，且 p 与 q 是共线向量.求A的大小；C 3B求函数y= 2sin2B + cos 取最大值时，B的大小.解 p II q,/ (2

12、2sin A)(1 + sin A) (cos A + sin A)(si n A cos A)= 0,二 sin2A=4，sin A =2，/ ABC为锐角三角形， A= 60(2)y= 2sin 2B+ cosC 3B冀工C亶东方工咋愛核心备裸纽制冷2 180 B A 3B=2sin B+ cos -=2sin2b+ cos(2B - 60 =1 cos 2B+ cos(2B 60 )=1 cos 2B+ cos 2Bcos 60 + sin 2Bsi n 60=1 *cos 2B+ 23sin 2B=1 + sin(2B 30 ),当2B 30 = 90。，即B= 60时，函数取最大值

13、2.探究提高 向量与三角函数的结合往往是简单的组合如本题中的条件通过向量给出, 根据向量的平行得到一个等式向量与其他知识的结合往往也是这种简单组合，因此这 种题目较为简单. ABC的三个内角A, B, C所对的边长分别是 a, b, c,设向量 m= (a + b, sin C), n = ( 3a + c, sin B sin A),若 m/ n,则角B的大小为.答案解析m / n，心 + bXsin B - sin A) sin C(,3a+ c)= 0,又益人-sin Bsin C则化简得 a2 + c2 b2= .3ac,/ cos B =a2 + c2 b2ac0B 1 - 1 -=

14、8, P为该平面上一动点，作 PQ丄I，垂足为 Q,且PC + -PQ PC-?PQ = 0.(1) 求动点P的轨迹方程；若EF为圆N : x2 + (y- 1)2= 1的任一条直径，求PE PF的最小值.解(1)设 P(x, y),则 Q(8, y).f 1 f f 1 f由 pc+ 2pq pc2pq = o,得 |PC|2 4|pQ|2= 0，即(x 2)2+ y2 1(x 8)2= 0,x2 y2化简得16+12= 1.京方工作窠核2 备课纽件所以点p在椭圆上，其方程为1x6+12=1.(2) 因 PE PF = (NE NP) (NF NP)=(NF NP) (NF NP)=(NP)

15、2 NF2= NP2 1 ,x2 y2P是椭圆16+ 12= 1上的任意一点，设 P(xo, yo),x0 y224y0则有屁+ 12= 1，即 x0= 16 亍,又 N(0,1)，所以 NP2= x2 + (yo 1)2=y2 2yo+ 17= *(yo+ 3)2 + 20.因 yo 2 .3, 2,3,所以当yo= 2 .3时，NP2取得最小值(2 .3 1)2= 13 4.3,(此时xo= 0),故PE PF的最小 值为 12 4.3.探究提高本题是平面向量与解析几何的综合性问题，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和曲线等问题，该题的难点是向量条件的转化与应用，破解此问

16、题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法一一坐标法在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算.已知圆 C : (x 3)2 + (y 3)2= 4 及点A(1,1), M是圆C上的任意一点，点 N在线段MA的延长线上，且MA = 2晶，求点N的东方工作愛樓心备裸纽剧件A 宾 X1EX轨迹方程.解设 M(xo, yo)、N(X, y).由 MA = 2AN得(1 xo,1 yo)= 2(x 1, y 1),xo = 3 2x,二T点M(xo, yo)在圆C上,yo= 3 2y. (xo 3)2+ (yo 3)2= 4,即(3 2x 3)2+ (3 2y 3)2 =

17、 4. x2 + y2= 1.所求点N的轨迹方程是x2 + y2= 1.利用平面向量解三角形典例：(12分)已知角 A, B, C是厶ABC的内角，a, b , c分别是其对边长，向量m =厂 A 小A o,2 .3sin ，cos2，, n = cos ?, 2 , mn.(1) 求角A的大小；(2) 若 a = 2, cos B33，求 b 的长.审题视角先根据m丄n,利用两个向量的数量积将已知条件转化成三角形中边、角的条件，然后利用正弦定理或余弦定理解题.规范解答解已知m丄n,所以 m = 2届 n A, cos2? cos A, 2= 3sin A (cos A+ 1) = 0, 2

18、分n 1t即.3sin A cos A = 1,即卩 sin A 6 = ?, 4 分n n 5 n因为0A n所以一6a 6 - 2|AB| |AC|AB| |AC|A .等边三角形B 直角三角形C 等腰非等边三角形D 三边均不相等的三角形答案解析t tAB AC t因为非零向量AB与AC满足 =+ = BC = 0,所以/ BAC的平分线垂直于|AB| |AC|BC,所以AB= AC.AB AC 1n又 cos/ BAC = r T = 2，所以 / BAC = 3.|AB| |AC|所以 ABC为等边三角形.2 .已知|a|= 2|b|, |b|z 0且关于x的方程x2 + |aX a

19、b = 0有两相等实根，则向量a与b的夹角是7t答案 D解析由已知可得= |a|2+ 4a b= 0,即 4|b|2+ 4 2|b| |b|cos = 0, cos 0= 2，又 0n / 0= 3 .已知P是厶ABC所在平面内一点，若 CB = PA + PB，其中入 R，则点P 一定在()A . ABC的内部B . AC边所在直线上C . AB边所在直线上D . BC边所在直线上答案 B解析由题意知： CB PB = PA,即 CB + BP= PA, CP= PA，即 CP与 PA共线,点P在AC边所在直线上.4 .已知点A( 2,0)、B(3,0)，动点P(x, y)满足PA PB=

20、x2,则点P的轨迹是()A.圆B .椭圆答案 DC .双曲线D .抛物线东方工昨窒核2备课纽制解析PA= ( 2-x, y), PB = (3 x, y), PA PB = ( 2 x)(3 x) + y sin / BAC =BAC = 150 三、解答题洪22分) = x8. (10分)已知 ABC中，/ C是直角，CA = CB, D是CB的中点，E是AB上一点，且 AE =2EB，求证：AD 丄 CE. , / y2 = x + 6.二、填空题(每小题5分，共15分)5 .在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c,若AB AC= BA BC= 1 ,那么c=答案,2解析 由

21、题意知AB AC + BA BC= 2,即 AB AC AB BC= AB (AC + CB)=Ab2= 2? c = |AB|= 2.6 .已知在平面直角坐标系中， 0(0,0) ,M(1,1) ,N(0,1) ,Q(2,3)，动点P(x,y)满足不等式 OW OP OM w 1,0 w OP ON w 1,贝U z= Oq OP 的最大值为.答案 3解析 OP= (x, y), Om = (1,1), ON= (0,1), Op om = x+ y, Op On=y,0 w x + y w 1,即在条件下，求z= 2x + 3y的最大值，由线性规划知识，当x= 0, y= 10w yw 1

22、时，Zmax= 3.7. 已知在 ABC 中，AB= a, AC = b, a b0, Sabc = 证明建立如图所示的直角坐标系，, |a|= 3, |b|= 5,则/ BAC =.4答案 150解析 / Ab ac -a 2OE = CE = 3, 3a ,fa 2 a AD CE = a x 3+ 3a x-护+ 3a2 = ， Ad 丄CE，即 ad 丄ce.9. (12 分)已知向量 a= (cos x, sin x), b = ( cos x, cos x), c= (1,0).n(1)若x= 6，求向量a与c的夹角;n 9 n当x r,时，求函数f(x)= 2a b+ 1的最大值

23、，并求此时 x的值.2 8解设a与c的夹角为0,当nx= 6时,/31a ca ，-, cos 0 22|a|c|2 x - 1 + |x 申2+ 22x12+25 n6.2 f(x) = 2( cos x+ sin xcos x) + 1=sin 2x cos 2x= 2sin 2x；.东方工咋堂核2备裸爼制作A f： X-CXn 9 兀3 n又 x 2，8，2x4C 7，2 n.当 2x- n= ，即 x= n时,f(x)的最大值为2 X 2 = i.B组专项能力提升（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）1.平面上O, A, B三点不共线，设OA = a, OB=

24、 b，则 OAB的面积等于A. ,|a|2|b|2- a b 2B. ,|a|2|b|2+ a b 2C.2 -|a|2|b|2- a b2D.1. |a|2|b|2+ a b 2解析设/AOB =e,那么 cos e=带,则sinei-品=餅-ab2|a| |b|答案那么 OAB的面积S= |a|b| sin 0=2|a|b| M- a b2|a| ( )5B.22.如图， ABC的外接圆的圆心为 O,AB= 2, AC = 3, BC = 一 7,则AO BC等于A.；C. 2答案 BLELT厉工咋愛核z备裸纽制作* x-cz解析 AO bc=ao (acAB)=Ao AC Ao Ab,因

25、为OA= OB,所以AO在AB上的投影为1 t2AB|,t t 1 t t所以 AO AB= lABI |AB|= 2,同理 Ao AC= |Ac| |AC|= 2,故 ao bc = 2 2= |.3 .已知向量m , n的夹角为n,且|m|=/3,|n|= 2，在 ABC 中，AB= m+ n, AC = m 3n,D为BC边的中点，贝U |AD|等于答案 A解析由题意知：|AD|=iAb + AC|2|2m- 2n|= |m- n|= , |m- n |2= 1.二、填空题（每小题5分，共15分）4给定两个长度为1的平面向量OA和OB ,它们的夹角为120如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 AB上变动.若OC = xOA + yOB，其中x, y R，贝U x+ y的最大值是答案 2解析 依题意，得|OC|=1,则|OC|2= 1,又OC = xOA + yOB, |OA|= |OB|= 1, OA, OB= 120 ； 二 x2 OA2 + y2 OB2+ 2xyOA OB= 1 , 因此 x2+ y2+ 2xycos 120 = xy= x2+ y2- 1. 3xy= (