【Word版导学案】学案53

1、东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶学案53 抛物线导学目标：1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质2理解数形结合的思想.东方工 咋衰核备课纽 制 作* 宾xx1.抛物线的概念平面内与一个定点 F和一条定直线l(F?l)距离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 2.抛物线的标准方程与几何性质标 准 方 程y2= 2px(P0)y2= 2px (P0)x2= 2py (P0)x2= 2py (p0)p的几何意义：焦点 F到准线1的距离图 形顶占八、0(0,0)对 称 轴y= 0x= 0隹J 、 占 八、f(2, o)F( P, 0)F(0，勺_

2、pF(0, 2)离 心e= 1血东方工作堂核2备裸U制作率准 线 方 程px- 2x - px - 2y=-1y -P范 围x 0, y Rxw 0, y Ry 0, x Ry0）的焦点为 F，点 Pi（xi, yi）, P2（X2, y2）, P3（X3, y3）在抛物 线上，且2X2 = xi + X3,则有（）A . |FPi|+ |FP2|= |FP3|B. |FPi|2+ |FP2|2= |FP3|2C. 2|FP2|= |FPi|+ |FP3|D . |FP2|2= |FPi| |FP3|5. （20ii佛山模拟）已知抛物线方程为 y2 = 2px （p0），过该抛物线焦点 F且不

3、与x轴垂 直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线， 分别交准线于 M、N两点，那么/ MFN必是（）A .锐角B .直角C.钝角D .以上皆有可能探究点一 抛物线的定义及应用东方工咋窒核2备课纽制作1已知抛物线y2= 2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|+ |PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.变式迁移1已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q(2, 1)的距离与点P到抛 物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()1 1A. 4，- 1B. 4，1C. (1,2)D . (1 , 2)探究点二求抛物

4、线的标准方程东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶2(2011芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 M(m, 3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和 准线方程.变式迁移2根据下列条件求抛物线的标准方程：抛物线的焦点F是双曲线16x2 9y2= 144的左顶点;(2)过点 P(2, 4).探究点三抛物线的几何性质3线相交于A, B两点，如图所示.过抛物线y2= 2px的焦点F的直线和抛物东方工咋金核2备课纽制件若A, B的纵坐标分别为yi, y2,求证：yiy2= p2；若直线AO与抛物线的准线相交于点 C,求证：BC / x轴.变式迁移3已知AB是抛物线y2= 2

5、px (p0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(xi, yi),B(X2, y2).求证：p2(1) X1X2= 4 ；1 1(2) +为定值.()|AF| |BF|分类讨论思想的应用东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶(12分)过抛物线y2 = 2px (p0)焦点F的直线交抛物线于 A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为 D，设0为坐标原点，问：是否 存在实数入使AO = OD ?这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到 D点坐标，再设出直线 AB的方程，利用方程组和向量条件求出入【答题模板】东厉工作璽核2备课纽制作解 假设存在实数 人使A0= QD. 抛物线方

6、程为 2px (p0), 则 F 2, 0，准线 l: x= ,(i)当直线AB的斜率不存在，即Ap2 ?交点A、B坐标不妨设为:AB丄x轴时，p , B 2， p .pBD _L l, D 2, p ,AO = 2, p , OD =(2)当直线AB的斜率存在时，p，二存在匸1使AO =DD.4 分设直线AB的方程为尸k x p(心 0),p设 A(xi, yi), B(x2, y2),贝V D ?, y2 ,y2y2X1 = 2p，X2= 2p，y= k x 2由得 ky2 2py kp2= 0 ,y2= 2pxyiy2= p2,.y2=p2, 8 分yity2AO= ( Xi, yi)=

7、 2p, yi ,OD =p, y2p 丘2， yi假设存在实数 入使AO = W,则y22p-yi=-yi 入，解得x= p2,存在实数A pp2,AO = QD.综上所述，存在实数 人使AO = QD.12分【突破思维障碍】由直线方程和抛物由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论, 线方程组成方程组，研究 A、D两点坐标关系，求出 AO和OD的坐标，判断 入是否存在. % xx剖析】解答本题易漏掉讨论直线 AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式 方程认识不足.1. 关于抛物线的定义要注意点F不在定直线I上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线.2关于抛物线的标

8、准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于：(1) p的几何意义：参数 p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数.(2) 方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物 线的开口方向.3. 关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质， 只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握， 但由于抛物线的离心 率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛.例如：已知过抛物线y2= 2px(p0)的焦点的直线交抛物线于 A、B两点，设A(xi, yi), B(x2,2p小y2)，则有下列性质：|AB|= xi + X2+ p 或|AB| =旷(a为 A

9、B 的倾斜角)，yiy2= p2, xix2sin a=p4 等.lELr东看工作窒核z备裸爼制作A X-CX（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2011大纲全国）已知抛物线C: y（2011湖北）将两个顶点在抛物线 三角形个数记为n则（）A . n= 0B . n= 1= 4x的焦点为F，直线y= 2x 4与C交于A, B 两点，贝U cos/ AFB等于（）b.54a4C.y2= 2px（p0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正C. n = 2D . n 33已知抛物线y2= 2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是（）A .相离 B .相交C.相切D .

10、不确定4. （2011泉州月考）已知点A（ 2,1）, y2= 4x的焦点是F, P是y2= 4x上的点，为 使|PA|+|PF|取得最小值，贝UP点的坐标是（）A. 4, 1B . ( 2,2 ,2)C. 1， 1D . ( 2, 2 2)5.设O为坐标原点, 则点A的坐标为（）A . （2, .2）C. （1,2）F为抛物线y2= 4x的焦点,B. (1, 2)D . (2, .2)A为抛物线上一点，若OA AF = 4,、填空题（每小题4分，共12分）6. （2011重庆）设圆C位于抛物线/= 2x与直线x= 3所围成的封闭区域（包含边界）内, 则圆C的半径能取到的最大值为 .7. （2

11、011济宁期末）已知A、B是抛物线 /= 4y上的两点，线段 AB的中点为M（2,2）, 则 |AB|=.& （2010浙江）设抛物线 /= 2px（p0）的焦点为F，点A（0, 2）.若线段FA的中点B在 抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 .、解答题（共 38分）9. （12分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线 y= 2x+ 1所得的弦长为15,求抛物线方程.10. （12分）（2011韶关模拟）已知抛物线C：x2= 8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F（0,2）, 分别以A、B为切点作轨迹 C的切线，设两切线交点为Q,证明：AQ丄BQ.11. （14分）（2011济南模拟）

12、已知定点F（0,1）和直线11： y=- 1,过定点F与直线11相切 的动圆圆心为点 C.（1）求动点C的轨迹方程；过点F的直线12交轨迹C于两点p、Q,交直线11于点R,求RP RQ的最小值.学案53抛物线自主梳理1.相等焦点准线自我检测1. C2. B 因为抛物线的准线方程为 x=- 2,所以p = 2,所以p= 4,所以抛物线的方程是A %工馬亶y2= 8x.所以选B.3. B 4.C5.B课堂活动区卜课纽制桦解题导引灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化,重视定义在解题中的应用，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 解京巧工矗畫核2备课纽糾件将x=3代入抛物线方程y

13、2= 2x,得 y= 土 6. ,62 , .A在抛物线内部.设抛物线上点P到准线I:1x=- 2的距离为d,由定义知|FA|+ |PF|= |PA|+ d,72，得 x= 2,当FAX I时，|PA|+ d最小，最小值为即|PA|+ |PF|的最小值为7,此时F点纵坐标为2，代入y2= 2x, 点F坐标为（2,2）.变式迁移1 A 点F到抛物线焦点的距离等于点F到抛物线准线的距离，如图，|PF|+ |PQ|= |PS|+ |PQ|,1pjl京方工咋囊樓此备裸纽制柞A H1故最小值在S, P, Q三点共线时取得，此时P, Q的纵坐标都是1，点P的坐标为 4 1 .冏东芳工* X-CZ昨堂核z备

14、课纽作2m = 6p,寸m2+ 3 + 2 2= 5,p = 4, 解得m=如6.抛物线方程为x2= 8y, m= 6, 准线方程为y= 2.方法二如图所示，设抛物线方程为x2 = 2py (p0),则焦点F 0, 2 ,准线I: y= 2，作MN丄I，垂足为N.则|MN|=|MF|= 5，而 |MN|= 3 + p,3 + 2= 5,.p = 4.抛物线方程为 x2= 8y,准线方程为 y= 2.由 m2= ( 8) X ( 3)，得 m=6.变式迁移2解(1)双曲线方程化为X- = i ,左顶点为(一 3,0)，由题意设抛物线方程为y2= 2px (p0)且一 p = 3 ,.p= 6.方

15、程为y2= 12x.(2)由于P(2, 4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2= mx (m0)或x2= ny(n p ,2?综合两种情况，总有 y1y2= p2.方法二由抛物线方程可得焦点F号,0 ,设直线AB的方程为x= ky+ !，并设A(X1,2y1), B(x2, y2).,P X= ky+ 2, 则A、B坐标满足y2= 2px，消去x,可得y2= 2p ky+p ,整理，得 y2 2pky p2 = 0,.y1y2= p2.y1y= x,X1 (2)直线AC的方程为2pyi pF1 yC= 2X1= 2pxi .py12x1，点A(x1 , y1)在抛物线上， y2= 2p

16、x1.y1 y2 y1亠，y1y2= p2,.yc= 箱 =y2,.BCx 轴.证明(1) Ty2 = 2px (p0)的焦点F !, 0，设直线方程为y = k x号点c坐标为!,又由(1)知,变式迁移y= k x 由y2= 2px(心 0),，消去 x,得 ky2 2py kp2= 0.2wy2 2 p!-y1y2= p , X1x2= 4p2 = 4,当k不存在时，直线方程为 X= p，这时X1X2=p2、因此，X1X2= 恒成立.41 1 _ 1 1 |AF|+|BF|=p + pX1 + 2 X2+ 2X1+ X2 + p= ppf.X1X2 + 2 X1 + X2 + 4p2 1

17、1 2 又 TX1X2= 4，代入上式得 |AF|+ |B|F|= p =常数,1 1所以AF广|BF|为疋值.课后练习区东厉工昨窒榻2 备课纽制作1. D 方法y= 2x 4,x= 1,x= 4,由2得或y = 4x,y= 2y= 4.令 B(1, 2), A(4,4)，又 F(1,0),由两点间距离公式得|BF|= 2, |AF|= 5, |AB|= 3 , 5.cos/AFB =4 + 25 - 452X 2X 5|BF|2+ |AF |2 - |AB|22|BF| |AF|45.方法二由方法一得 A(4,4), B(1 , - 2), F(1,0),FA= (3,4), FB = (0

18、, 2), |fA|= 32+ 42= 5, |FB|= 2.FA fB 3X 0+ 4X 2cos/AFB =|FA| |FB |5X 242. C 如图所示，A, B两点关于x轴对称，F点坐标为(p 0),设A(m, 2pm)(m0),则由抛物线定义，|AF|=|AA1|,p即 m+ 2 =AF|.又|AF|= |AB|= 2 2pm,pp2m + 2 = 2 ,2pm，整理，得 m2 7pm += 0，= ( 7p)2 4X = 48p20,方程有两相异实根，记为 m1, m2,且m1 + m2= 7p0 , m1 m2= 0,510, m20, n= 2.3. C4. A 过P作PK丄

19、I (I为抛物线的准线)于K，则|PF|= |PK|,|FA|+ |PF|= |PA|+ |PK|.当F点的纵坐标与 A点的纵坐标相同时，|PA|+ |FK|最小，此时F点的纵坐标为 1把 2 1 1y= 1代入y2= 4x,得x=-4，即当F点的坐标为 一4，1时，|PA|+ |FF|最小.5. B6. ,6 1解析 如图所示，若圆 C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x=3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a0)，贝Uy= 2x 十 1东方工昨窒核2备课纽制件4x2 （2p 4）x+ 1 = 0,（4分）p 2 1 X1 + X2=2, X1 X2 = 4,2X1 + X2 4X1X2

20、|AB= 1 + k2X1 X2|=.5 =.5 竽2 4 X 4=陌（7分）则p= ：3, p2 4p 12 = 0,解得 p = 6（p = 2 舍去）, 抛物线方程为y2= 12x.（9分）当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2= 2px （p0），仿（1）不难求出p = 2,此时抛物线方程为 y2= 4x.（11分）综上可得，所求的抛物线方程为 y2= 4x或y2= 12x.（12分）10. 证明因为直线 AB与x轴不垂直，设直线 AB 的方程为 y= kx+ 2, A（X1, y”, B（X2, y2）.y= kx+ 2, 由 y=Jx2，可得 x2 8kx 16= 0, X1 +

21、X2= 8k, X1X2= 16.（4 分）11抛物线方程为y= ：x2,求导得y = ；x.（7分）84所以过抛物线上A、 B两点的切线斜率分别是1 1 11k1= X1, k2= X2, k1k2 = X1 X24 4 44丄八=X1 X2= 1.（10 分） 所以AQ丄BQ.（12分）11. 解（1）由题设点C到点F的距离等于它到11的距离,东看工作窒核心备裸爼!件所以点C的轨迹是以F为焦点，11为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x2= 4y.(5分)(2)由题意直线12的方程为y= kx+ 1,与抛物线方程联立消去y得x2 4kx 4 = 0.记 P(xi, yi), Q(x2, y2),贝U xi + X2= 4k, xix2 = 4.(8 分)2因为直线PQ的斜率k丰0,易得点R的坐标为 一,1 .(9分)t t22RPRQ= xi + k，yi+ 1 X2+ 匚,y2 + 12 2=X1+ 匚 x2 + k + (kx1 + 2)(kx2+ 2)224=(1 + k )x1x2