【Word版导学案】学案77

1、A % H魅亶东方工咋愛樓2备棵纽剧冷学案77不等式选讲（二）证明不等式的基本方法导学目标：1了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法2会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式.东方工昨莖核2 备课纽制作1 .三个正数的算术一几何平均不等式：如果a , b ,c0 ,那么，当且仅当 a= b = c时等号成立.2. 基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数ai, a2,，an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即才* “ ai a2 - - n,当且仅当 时等号成立.3. 二维形式的柯西不等式及推论：若 a, b, c, d都是实数，则(a2

2、+ b2)(c2 + d2)(ac + bd)2，当且仅当ad= bc时等号成立；-a2 + b2 , c2 + d2 |ac+ bd|,当且仅当ad= bc时等号 成立；，a2 + b2，c2 + d2 |ac|+ |bd|,当且仅当 时等号成立.4. 证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其 基本思想是 与0比较大小或 与1比较大小.综合法：从已知条件出发，禾U用定义、 、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法.(3) 分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 条件，直

3、至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证 的命题成立为止，这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法.(4) 反证法 反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法. 反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾.(5) 放缩法 定义：证明不等式时，通过把不等式

4、中的某些部分的值 或,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法. 思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键.东方工昨莖核2备裸纽制件I H XCX1.已知M = a2+ b2, N= ab+ a + b 1,贝V M , N的大小关系为（ A.2.A.C.MNB . Mb 0,pw qB.pND. MwNp = . a , b, q = a b,那么（ p qq大小关系不定3 .若a、b、c、d、x、y均是正实数,I b d且 P = Vab Vcd, Q =ax+cy、j j+则（B . P Q4.已知 ab0, n N*,则使不等式B. 8C. 10C. P w

5、 Q4a2 n 成立的b2 abD . 16PQn的最大值为（）5. （2011南阳月考）已知a, b, c0,且 a+ bc,设 M =4h+4,N=拦,则与N的大小关系是东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶1东方工昨畫核2备课纽制作探究点一比较法证明不等式例ab已知a0, b0 ,求证:变式迁移1 (2011福建)设不等式|2x 1| 8x3.探究点三用分析法证明不等式东方工作愛樓心參裸纽剧冷3a b 2 a+ ba b 2（2011武汉模拟）已知 ab0,求证:变式迁移3 已知a0,求证:东方工咋愛樓2备棵纽剧冷A % H魅亶转化与化归思想的应用(10 分)已知 f(x) = x2 +

6、 px+ q.求证:1 东看工昨衰核备课纽制作A H XX(1)f(1) + f(3) - 2f(2) = 2;1|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 2.多 角 度 审 题已知 f(x),要证 f(1) + f(3) - 2f(2) = 2,只须化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明求证|f(1)|、f(2)|、|f(3)|中1至少有一个不小于2 包括：1 1 1|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于2,其余两个小于2；三个中有2个大于等于2另一1 1个小于2；三个都大于等于2如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反

7、证法证明.【答题模板】证明 (1)f(1) + f(3) - 2f(2) = (1 + p + q)+ (9 + 3p + q) - 2(4 + 2p + q) = 2.2 分1(2)假设 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)| 都小于 2,则 |f(1)| + 2|f(2)| + |f(3)| |f(1) + f(3) - 2f(2)|= 1(1 + p + q) + (9 + 3p+ q)-(8 + 4p + 2q)|= 2,与假设矛盾.9 分1 |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于210分【突破思维障碍】1根据正难则反的证明原则，|f(1)|、|f(2)|、|f(

8、3)|至少有一个不小于的反面为|f(1)|、|f(2)|、1|f(3)|都小于*所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立.【易错点剖析】在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误.1. 证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法.2应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从 而间接地证明了命题为真.3放缩法证明

9、不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较.缩小分母、 扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次 缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和.1 2 31 24.放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如a + 2 2+ 4 a + 2 2； (2)将分子或分1111 1 2 1 2k .k+；k-1，S+- k+ 1 (kC N且母放大(缩小)，女口書，1)等.Io东方工昨堂核2备课爼*-作

10、（满分：75分）一、选择题（每小题5分，共20分）1. （2011烟台月考）已知a、b、m R +且ab，则（）a a+ mA. b b+ ma a + mB. = b b + ma a+ mC. bb+mD. a与 a间的大小不能确定b b + m2. （2010黄冈期中）设a、b R，且b, a + b= 2，则必有（）a2 + b2A. 2-ab1_a2 + b2a2+ b2B . ab 21a2+ b2D . 1 a2 a + 12 m2 + 1m2D .（H+V22、? 逅C. ab10 , y0, lg 2x + lg 8x= Ig 2，则X +齐的最小值为 .设x = a2b2

11、+ 5 , y = 2ab a2 - 4a ,若xy ,则实数a , b应满足的条件为三、解答题（共 43分）& （10分）已知x, y, z均为正数，求证:东方工作愛樓Z备课纽制作东方工作皇.核Z 备裸 M制昨x + y+z1+】+1yz zx xy x y z9. （10分）（2011包头模拟）已知正数a、b、c满足a + b2c,求证: c c2 abac+ c2- ab.10. （10 分）若 a+ b = 1,求证：；a + 1 + : b+ ；|（x+ y+ z）.学案77不等式选讲（二）证明不等式的基本方法自主梳理a | b | c 31. 3.abc 2.a1 = a2= an

12、3.ad= bc且 abed0 4.(1)差 商 (2)公理理(3)充分(5)放大 缩小自我检测1. C N= a2 + b2 ab a b+ 1a2+ 2b2 2ab 2a 2b+ 2)=1(a2-2ab+ b2)+ (a2 2a+ 1) + (b2 2b + 1)1=2【(a b)2+ (a 1)2+ (b 1)2 0,当且仅当 a = b = 1 时成立.二 M N.2. Ap2 q2= a+ b 2 ,ab a + b3. C Q= . ax+ cy =2 b( b . a) w 0.p 0).b a b42a2+4 a2+1;62 :- a212= 8(a= 2, b= 1 时取“=

13、”).b a ba a2 4即a+爲b的最小值为8，Anmax= 8.5. MN解析 Ta, b, c0,且 a+ bc.M =亠+丄+=一4 + a 4 + b 4+ a+ b 4 + b+ a 4 + a+ bx设 f(x)=4+ x4+ x x 4(x0)，Tf(x)=k=7+7，即f（x）在（0，+ g）上为增函数,a + b c-f(a+b)f(c)，即 k；7；MN.课堂活动区东芳工昨宜核0备裸U制悖解题导引 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法.证明 主+ 士 (也 + Vb).a 3+ b 3+ ;b , abVabya+ve ya_ &2;

14、ab，又.a+ . b0, ab0, (.a .b)20, ab + ba-( a+ b)0故 ab +a + b.变式迁移1 解 由|2x 1|1得12x 11,解得0x1 ,所以 M = x|0x1.由(1)和 a, b M 可知 0a1,0b0,故 ab+ 1a+ b.解题导引本例不等式中的a、b、c具有利用基本不等式进行放缩，得到同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化, 要证明的结论.证明 Ta、b、c均为正数,当且仅当a = b时等号成立；1 1 1 1 1 同理：1甘云巫囂，当且仅当b = c时等号成立；1 1 1 、 1 、 1+ . -2 2c 2a 2 ,ca c

15、+ a，当且仅当a = c时等号成立.三个不等式相加即得1 1 1、 1 1 1+ + + _2a 2b 2c b + c c+ a a + b当且仅当a = b= c时等号成立.变式迁移2 证明 x是正实数，由基本不等式知,x+ 1 2 x, 1 + x22x, x解题导引 当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法. 分析法是步步寻求不等式成立的充分条件， 而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力， + 1 2 x3,故(x+ 1)(x2+ 1)(x3

16、+ 1)2 x2x2 x3= 8x3(当且仅当x= 1时等号成立).东方工作愛樓备裸纽制冷也是分析问题、解决问题时常用的思考方法.a b 2 a + ba b 2证明 欲证8厂T ab8，8aa b 2 逅一甘 a b 2 只需证b0,a b JaJb a b只需证一: 2 寸2a22p2b,a+ . b a +.b a+ b 即1.欲证1,2血2电只需证,a+ b2 .a,即b .a.该式显然成立.Va+/b欲证作石丁，只需证2.b . a+ . b，即，b ,a.该式显然成立.a + b ,a+ , b-1成立，且以上各步均可逆.2, a2,ba b 2 a + b a b 2、飞 aba

17、+ 1 2,2a211,a2+ /+ 2 a + a+ 丿 2,2 1 2、 a + 2+ 2 a只须证a +1 +，从而只要证21a+ a2 1 2 1 只要证 4 a2+ 2 a2 + 2 + 二, aa即a2+吉2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.a课后练习区a a + m ab+ am ab bm m a bb b+ m1. A 叭-不=bb+ m=，a a+ m.b b+ m2. C 当 a0，b0 时，2= a + b2 ab，.0ab1; 当 abw 0 时，ab1.又(a + b)2= a2+ b2+ 2ab2，1，又b.选 C.13. A 只有 a2+ 221，故选 A

18、.a车看工作畫核2备课纽制作2,48a 4 ,4. D 取 a b 1,显然有 84b 8 41 42ab.a b _ a a ba a b b当ab1 , 4884 , A 不成立;b b _ a a ba b ,a abib 1,B不一定成立；a3 a2+ a 1 （a 1）（a2+ 1）,当a1时，C不成立；（ 5+ .2）2 7+ 2 . 10,12_羽 2= （2 + 3）2= 7+ 2尿, 5 + 迄，又 m2m2+ 1,2寸3一m2 +15+ 2）m2y,得 a2b2 + 5 2ab+ a2 + 4a(ab 1)2+ (a + 2)20 ,所以有 ab工 1 或 az 2.&证明因为x, y, z均为正数，x y 1 x y 所以_ +丄=_ _ +yz zx z y xy z 2同理可得 同理可得zx+ xy x， 2z，z x 2八xy+yz y，（5 分）当且仅当x y z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以xvz111八得+亠 + 一一+一+一.（10 分）yzzxxyx