向量组线性相关性判定(20210402134348)

1、师学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作 者院（系）数学与统计学院专 业数学与应用数学年 级2011级学 号指导教师郭亚梅论文成绩日 期 2015年 月曰学生诚信承诺书本人重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料. 所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意.作者签名：导师签名：院长签名：日期：日期：日期：论文使用授权说明本人完全了解师学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校

2、有权保留送交论文 的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法（师学院数学与统计学院 455002）摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他 理论知识.本文将向量组向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式 的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相 关性的若干方法.关键词：向量组线性相关线性无关判定方法1引言线性相关

3、性的容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们 来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.2.1 ”维向量的定义（一维、二维、三维向量，推广到维向量）定义：II个有次序的数a?,a”所组成的数组（a ,a2,）或（a ,a2,-zi）r分别称为n 维行向量或列向量.这”个数称为向量的”个分量，第i个数称为第i个分量显然，行向量 即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母久0等表示.分量全为实数 的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.2.2向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.特别地，向量的加法，向量的数乘，

4、称为 向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为“维向量空间（或线性 空间）.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元”次多项式的集合；实数 域上可导函数的集合等，皆为向量空间.3. 向量组线性相关性的定义3. 1向量组有限个或无限个同维数列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称为一个向量组.例如一个“7 X H矩阵对应一个加维列向量组，也对应一个川维行向量组(ail Cl22 厶g) in( ( (a21 Cl22 S)2P22 “22%刚。川2%)Clniam2 amnJI旳丿宀2丿3.2向量组的线性相关性的定义3

5、.2.1线性组合与线性表示设A : a1,a2,-,af是一向量组，表达式爲绚+ k2a2 + + kma,n称为向量组A的一个线性组 合，其中,匕,.,心是一组实数，称为这个线性组合的系数.如果向量”是向量组A的线性组合b = 2“+人+- +九4”则称向量“能由向量组A 线性表示.例如，任一维向量，都可以由维基向量线性表示.例.设向量组 =(l,O,-l)7 ,b2 =(1,1,1/ ,b3 =(3,1,-1/ 4 =(5,3,1),试判断乞是否可由Z?j,b2,b3线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解 设一组数,k2,kv使 =&% +k2b2 +心仇，即有T (丁(5,3,1

6、) = &+込+3他,12+饥，一人+他一心).由向量相等的定义可得线性方程组+k2 + 3上 3 = 5,2)线性相关o在向量组A中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示.定义2给定向量组4吗,幻,，加个数也,k,“,构造鸟“+心勺+ +“= ，(*) 如果存在不全为零的数上2,k使(9式成立，称向量组A是线性相关的， 否则称它 线性无关.这两个定义是等价的.证明如下：如果向量组A中有某个向量(不妨设)能由其余加-1个向量线性表示，即有 人，码，,A-l，使 ttm =人5 + 也 + ， 于是也 + A2ci2 + 几”一4_ + (T)% = 0.因为人，人，,心一1不全为0,所以向量组

7、4线性相关.反过来，如果向量组A线性相关,则有也+也+ 仏=0, 其中也,k”不全为0,不妨设工0,于是q =-(丿介也勺+ +“”)， 即能由2,线性表示.例2判断向量组q=(2,一 1,3,l)q= (4,-2,5,4)心N2,-1,4,一1)是否线性相关.解：可取ZrZ2，Z3为未知数，建立下列方程式Zll + Xl + 力3冬=，看它是否有Z1，Z2，Z3的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为下 列方程组跖+4/+2%=0,-Zi-2/2-Z3=0,3上+5/+4/= ，.乙+恢-広前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方 程

8、组.它有无线多解，当然有非零解，故apa2,tz3线性相关.特别的一组解，可取为 (力，龙2，才3)=(3，-1，-1)，即 3a-a2-a3 = 0 或再=3a,- a2.定理2向量组apa2,.,a,线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A = (apa2,的秩 小于向量个数加；向量组线性无关的充分必要条件是7?(A) = m这是因为，向量组 A:apa2,-,a;n 线性相关 o+ x2a2 + + xmani = 0 即 Ax=Q 有非零解7?(A) m.向量组apa2,-,am 线性无关 7?(apa2,-,am) = m.例 3 证明维单位坐标向量组=(l,0,-.,0)r,e2

9、=(0,l,.,0)r,.,e;r =(0,0,-.J)7 线性无关.证明我们直接利用定义证明.如果存在一组数上2,k”,使得也+g+ + / =0,根据向量线性运算的定义可以得到(也,匕) (0,0,从而=&= =人=0.所以竹,e”是线性无关的.另证我们利用定理，设向量组弘勺,e”构成的矩阵为/=(,e2,.,en),/是阶单位矩阵. 显然有/?(I)= n,即/?等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组/是线性无关的. 例4已知向量a】 =(l,l,l)a2 = (0,2,5),巧=(2,4,7)，讨论向量组Pa2,a3及向量组哲孔的 线性相关性.解对矩阵(apa2,a3) jfe行

10、初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵(a,a2,a3)及 (a,a2)的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知/?(apa2,a3) = 23,向量组apa2,a3线性相关；/?(apa2) = 2,向量组apa2线性无关.4. 向量组线性相关性的性质(1) 含零向量的向量组必线性相关.线性无关的向量组中一定不含零向量.(2) 一个向量Q线性相关oa = 0.个向量a线性无关O aHO.(3) 两个非零向量q,a?线性相关!= ka2.两个向量勺线性无关O它们不成比例.(4) 向量组有一部分线性相关，则全体线性相关.向量组全体线性无关，则每一部分线性无关.若向量组A,a?,a,”线

11、性相关，则向量组B:apa2,.,aw,anf+1也线性相关.反乙 若向量 组B线性无关，则向量组A也线性无关.结论可叙述为：一个向量组若有线性相关的部分组，则该向量组线性相关.一个向量组若 线性无关，则它的任何部分组都线性无关.性质(4)说明：这是因为，记 A = (a1,a2,-,am),B = (a1,a2,-sam,am+1),有 R(B) S R(A) +1.若向量组A线性相关,则有R(A)v2,从而/?(B)R(A) + lm + l.因此向量组B线性相关.(5) 个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.加个”维向量组成的向量组，当维数“小于向量个数加时一定线性相关.

12、特别地, 幵+ 1个维向量一定线性相关.这是因为，m个维向量ara2,-,am构成矩阵A, =宀,有R(A)n.若八 加则R(A) n m,故加个向量apa2,线性相关.设向量组A:apa2,.,a/n线性无关，而向量组B : a】,a”,b线性相关，则向量必能 由向量组A线性表示，且表示式是唯一的.这是因为,iA = (apa2,-,am) ,B = (apa2,-,am,b),有 m = /?(A) R(B) m+1,即有 /?(B) = R(A) = m.因此方程组有唯一解(a,a2,.,ajn)x = Z?即向量方能由向量组A线性表示，且表示式唯一.5. 向量组线性相关性的判定方法5.

13、 1定义法给定向量组A: q,eq，卫恥如果存在不全为零的数,&,&”，使得 kxax + k2a2 + + kmam = 0成立，则称向量组A是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的 数禹，妬，,人，使得kiai+k2a2+ + kmam =0成立，也就是说,只有当,込,妬,，匕全部 为0时，kxax + k2a2 + + kmam = 0才成立，则称向量组A是线性无关的.例5设向量组ava2,a3线性无关，判断向量组/?, =+ a2,b2 =a2 + arby = a3 + 的线性相关性.解设一组数热禹，為,使如k2b2 + k3b3 = 0,则有+a2) + k2(a2 +a5) +k

14、3(a3 + a) =0,即伙+ 心)q + 伙+ k2 )a2 +(k2 +k3)a3 = 0.因为向量组5,皿3线性无关，所以 + 他=0、 k + 他=0,k2+k. = 0.该方程组的系数行列式D = 20,故方程组只有零解k严k严匕=0、所以向量组线性无关.例 6 判断向量组bx =(1,0,-1)7 ,b2 =(l,l,l)r,b3 =(3,1,-1/ ,b4 =(5,3,if 的线性相关性.解 设一组数冶北4,使 +k2b2+k3b3+k4b4 =0,比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组k+k2 + 3k、+ 54 = 0, k2+k3+ 3k4 = 0,k、+ 他k、

15、+ kq 0.该方程组的一个非零解为&=2%=3%=0%=-,故向量组1佔*线性相关.5.2利用向量组向量之间的线性关系判定定理3向量组勺，,，知线性相关的充要条件是向量组A中至少有一个向量可以由 其余加-1个向量线性表示.定理4向量组，线性无关，而线性相关=0可由勺“，线性 表示且表达方式唯一.定理5若向量组5,“2,，如有一部分向量组线性相关=向量组，线性相关.与 此等价的一个说法为：向量组p2,线性无关=向量组勺,的任一部分向量组 线性无关.例7已知4，勺心3线性无关，冬心3，勺线性相关，问：（1）勺能否由4心2，3线性表示？（2）a】能否由a2.a3,a4线性表示？解 （1）由ara2

16、,a3线性无关a2,a3线性无关，又由冬心线性相关=勺能由 勺，勺线性表示且表达方式唯一，所以存在数k*使得 4 = k2a2 + O 勺=+ k2a2 + k3a3，故勺能由同心，3线性表示.（2 ）反证法.假设能由表示，则存在数人厶,人，使得 =Z,a2+A2a3+23tz4,又由（1）勺能由勺，&3线性表示，所以冬能由冬3线性表示，所 以线性相关，与已知矛盾，故冬不能由2,a3,a4线性表示.5.3利用向量组的秩进行判定向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数.设向量组为 引,&2,，其秩记为,由极大无关组的定义和秩的定义可得：若向量组的 秩等于向量的个数，则该向量组是线性无

17、关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量 组是线性相关的.例8判断向量组冬=（2,2,-1,1,4）7严-1,2,0,3八冬=（T22,-4,2f的线性相关性.解构造3x5矩阵并作初等行变换可见rankA = 3 ,故冬心心线性无关.5.4利用反证法进行判定在有些題目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一 些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成 立.例9设向量组，勺，中任一向量4不是它前面个向量的线性组合，且匕工。，证 明向量组4，勺，,线性无关.证明(反证法)假设向量组少,冬，,匕”线性相关，则存在不全为零的数乩心,匕使得:

18、 人口+血勺+心久严。，(1)由此可知匕H0,由上式可得% =-丿彳,”伙只+込勺+心一0心)即可以由它前面7-1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此匕=0,于是(1)式转化为 +心冬+”/心=o.类似于上面的证明可得心-=心_2 = = =，式转化为=0.但少工0,所以=0 这与，山不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10设A为“阶矩阵，a为”维列向量，若AaHO,但A2a = 0.证明：向量组zAa线性无关.证明：用反证法.假设向量组线性相关，由于AaHO,从而aHO,则Aa可由a线性表出，设为 Aa = ka(k =#= 0)否则 a = 0, Tft A2a = A(Aa) =

19、A(ka) = kAa = kaQ ,这与已知 A2a = 0 矛 盾，因此向量组a,Aa线性无关.例11设，冬，*”是一组”维向量，已知单位坐标向量却弓，,可被它们线性表出，证 明：，冬,勺线性无关.证明：法1 (反证法)若匕,冬，,线性相关，则至少有一乙可由其他勺线性表示(不 妨设Q”可由心心“线性表示)由题设，斫点，”可由qs，g线性表示，从 而可由冬,勺,a”线性表示，而任一维向量均可由即弓,线性表示，因而也可由 ，勺线性表示.由此得全体“维向量构成的向量集合疋的秩小于”，这与R”的秩 等于”矛盾，故线性无关.法2设es，,勺的秩为r,贝J rny而刍吗,的秩为由题设，斫吗，名可由 心

20、,，勺线性表出，因此nr,故r = n.5.5利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线 性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.对于各分量都给岀的向量组卬。2,a”，若以a = ，$,%为系数矩阵的齐次线 性方程组AX=O只有零解向量，则此向量组人：少,勺，,是线性相关的.例 12 证明向量组= (2,1,0,5/,= (7,-5,4,-l)r,? = (3,-7,4,-11/ 线性相关. 证明:以a,a2,a3为系数向量的齐次线性方程组是X0i + x2a2 + x3a3 = 0,即+ 7x2 + 3x

21、3 = 0xx - 5x2 + lx3 = 04x2 + 4x3 = 05x, 一 “2 _ 11*3 = 0利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知， /?(A) = 23,即齐次线性方程组有非零解，所以向量组少,勺3线性相关.例13 e =(心“2,，”.证明：如果闯H0,那么Q,&2,，勺线性无关. 证明：设口 + k2a2 + + knan =0,得到线性方程组4崗+6血+ + %代=由于系数行列式的转置行列式耐卜0,故齐次线性方程组只有零解，从而e，冬，,a”线性 无关.5.6利用矩阵的秩进行判定设向量组人：少心2,是由加个“维列向量所组成的向量组

22、，则向量组A的线性相关 性可由向量组A所构成的矩阵人=(冬,勺，,)的秩的大小来进行判定即(1) 当R(A) = m时，则向量组Aqs，是线性无关的.(2) 当R(A)0 1 2T0 1 21 3 t0 2 r-10 0 /一5可见，当/=5时,向量组久勺心线性相关,并且有A= 0（）1 2 ,所以 ay = -a, + 2a2.0 0利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都 是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的 秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.例15断向量组q=(2,1,3,-1),冬=(3,-1,2,0)心=

23、(1，3,4,-2 )的线性相关性.解：以.,6/2,3为行向量构成矩阵A,并进行初等行变换化为行阶梯形13-1、34-2、3-1200-10-1060-10-106u34一2丿、213T丿0-5-53,000丿则R(A) = 23向量的个数，故向量组线性相关.例16向量组少,勺，乙，勺线性无关，则下列线性无关的向量组是()(A)a+a2ia2 +a3,a3 + a4ta4 +ax(5)+a2,a2 + II时，则向量组A ： 口心,是线性相关的.(2) 当m = 时，转化为上述来进行判定，即选取加个向量组成的川维向量组，若此加维 向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的.

24、例17已知a, = (1,1,1),=(0,2,5), a3 = (2,4,7)试讨论冷勺心的线性相关性.证明：令A = (alta2,a3)1 0 2则|A|= 1 2 4=0,所以esS线性相关.1 5 7行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组 是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的 向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.例18已知向量组A :ara2.a3是线性无关的，且有=a + a2,b2 =a2 + arb3 = ay + ax，证明向量组勺上2，仇线性无关.证明：设有

25、xpx2,x3,使得 xpx 4-x2b2 + x3b3 = 0 即+a2） + x2（a2 + a5） + x3（a3 + q） = 0整理为（%! + xax + （州 + x2 ）a2 + （x2 + x3）a3 = 0X, +x3 = 0因ara2,a3是线性无关的,所以 旺+七=0x2 + x3 = 01 0 1由于此方程组的系数行列式11 0=2工00 1 1故方程组只有零解x,=x2=x3=0,所以向量组久九，仇线性无关.例19 已知向量组冬=（1,0,2,3）,冬=（1,1,3,5）,勺=（1，一1+ 2,1）,勺=（1，2,4+ 9）线性相关， 试求f的值.分析对于具体给出的

26、向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：（1）先由定义写出召冬+厂冬+ +兀久=0,再根据向量组相当写出齐次线性方程 组；若该齐次线性方程组有非零解（即无穷多解），则向量组线性相关；若该 齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.Z 、（2）排成矩阵A =（卬,?2,4）（列向量时）或A= / （行向量时），求A的秩；若rankA s时，向量组线性相关；若rankA = s时，向量组线性无关.（3）对于个维向量，可同上将其排成矩阵A,用国=0是否成立来判断，冬，是 否线性相关.（4）利用线性相关的有关结论，如部分相关，则整体相关”等来判定.解 t = 1 或2.13-1 f + 2/

27、%、仃023、1023、1023、法1 A =113501120112=1-1r + 210-1t-200t + 024+ 9丿022/ + 6丿000+ 2丿f = 一1 或 t = -2 时，rankA = 3 4,a2,线性相关.= (f + l)(/ + 2) u_l 或u_2 时行列式为 0.124r+96.结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解实际上, 向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性 无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的 定义.定理的基础上，灵活地应用上述几种方法

28、，证明向量组线性相关与线性无关的难点 即可获得突破.参考文献1 王鄂芳，石生明.高等代数W.高等教育，2003.2 徐仲，陆全.高等代数M.西北工业大学,2009.3 蓝以中.高等代数简明教程M.大学，2002.4 肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法J.伊犁师学院学报(自然科学版)，3(2008) :58-595 罗秀芹，董福安，铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨J.高等代数研究，9(2005) : 18-196 燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定J.农业大学学报(自然科学版)，3 (2005)7 黄娟霞关于向量组线性相关性的初步探讨J.石油化工学院学报，2 (2012) :68-698 董秀明.判断向量组的线性相关性与无关性J.考试周刊，33 (2013) ：57-589 牛少彰，吉佑，线性代数M.：邮电大学，2004.10 钱，高等代数题解精粹M.:中央