（课标通用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 1 第一节 导数的概念及运算课件 理

1、第一节第一节导数的概念及运算导数的概念及运算 1.导数的概念 2.基本初等函数的导数公式 3.导数的运算法则 4.复合函数的导数 教教 材材 研研 读读 考点一 导数的计算 考点二 导数的几何意义 考考 点点 突突 破破 1.导数的概念导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率= 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y,即f(x0)= . 0 lim x 00 ()()f xxf x x 0 lim x y x 0 |x x 0 lim x y x 0 lim x 00 ()()f xxf x x 教材研读 (2)导数

2、的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处 的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). (3)函数f(x)的导函数 称函数f(x)=为f(x)的导函数. 点拨点拨 f (x)与f(x0)的区别与联系: f (x)是一个函数, f(x0)是函数 f (x)在x0处的函数值(常数),所以f(x0)=0. 0 lim x ()( )f xxf x x 2.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 原函数导数 f(x)=C(C为常数)f(x)=0 f(x)=x(Q*)f(x)=x-1 f(x)=sinxf(x)=c

3、osx f(x)=cosxf(x)=-sinx f(x)=ax(a0,且a1)f(x)=axlna f(x)=exf(x)= ex f(x)=logax(a0,且a1)f(x)= f(x)=lnxf(x)= 1 lnxa 1 x 3.导数的运算法则导数的运算法则 (1)f(x)g(x)=f(x)g(x); (2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x); (3)=(g(x)0). ( ) ( ) f x g x 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) fx g xf x g x g x 4.复合函数的导数复合函数的导数 复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)

4、的导数间的关系为yx= yuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积. 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( ) (2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同.( ) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (4)函数f(x)=sin(-x)的导数是f(x)=cosx.( ) 2.已知f(x)=xlnx,若f(x0)=2,则x0等于(B) A.e2B.eC.D.ln2 ln2 2 答案答案Bf(x)的定义域为(0,+),f(x)=lnx+1,由f(x0)=2,得lnx0+1=2, 解得x0

5、=e. 3.函数f(x)=exlnx在点(1,f(1)处的切线方程是(C) A.y=2e(x-1)B.y=ex-1 C.y=e(x-1)D.y=x-e 答案答案Cf(1)=0,f(x)=ex,f(1)=e,所求切线方程是y=e(x- 1).故选C. 1 ln x x 4.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 答案答案y=2x 解析解析本题主要考查导数的几何意义. 因为y=,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x. 2 1x 5.设f(x)为函数f(x)的导数,f(x)=x2-2x+f(1),则f

6、(-1)=. 答案答案3 解析解析由条件知f(x)=2x-2,则f(1)=0f(x)=x2-2x,故f(-1)=1+2=3. 典例典例1求下列函数的导数. (1)y=lnx+; (2)y=; (3)y=x-sincos; (4)y=ln. 1 x cos e x x 2 x 2 x 2 1x 导数的计算导数的计算 考点突破 解析解析(1)y=(lnx)+=-. (2)y=-. (3)y=x-sincos=x-sinx,y=1-cosx. (4)y=ln=ln(1+x2), y=(1+x2)=2x=. 1 ln x x 1 x 1 x 2 1 x cos e x x 2 (cos )ecos (

7、e ) (e ) xx x xxsincos e x xx 2 x 2 x1 2 1 2 2 1x 1 2 1 2 2 1 1x 1 2 2 1 1x 2 1 x x 方法技巧方法技巧 1.求函数导数的一般原则:(1)遇到连乘的形式,先化为多项式形式,再求 导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂分式,先 将分式化简,再求导. 2.求复合函数的导数的一般步骤:(1)分清复合关系,适当选定中间变量, 正确分解关系;(2)分层求导,弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求 导数. 1-1求下列函数的导数: (1)y=xnex;(2)y=;(3)y=exlnx; (4)y=xsin

8、cos. cos sin x x 2 2 x 2 2 x 解析解析(1)y=nxn-1ex+xnex=xn-1ex(n+x). (2)y=-. (3)y=exlnx+ex=ex. (4)y=xsincos =xsin(4x+)=-xsin4x, y=-sin4x-x4cos4x 22 2 sincos sin xx x 2 1 sin x 1 x 1 ln x x 2 2 x 2 2 x 1 2 1 2 1 2 1 2 =-sin4x-2xcos4x. 1 2 典例典例2(2018课标全国,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函 数,则曲线y=f(x)在点(0,

9、0)处的切线方程为(D) A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x 命题方向一求曲线的切线方程命题方向一求曲线的切线方程 导数的几何意义导数的几何意义 解析解析本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义. f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x, f(x)=3x2+1,f(0)=1, 故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D. 易错警示易错警示 求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲 线y=f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 求过某点的切线

10、方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. 典例典例3(2018河南六市第一次联考,14)已知曲线f(x)=x+b(x0)在点 (1,f(1)处的切线方程为y=2x+5,则a-b=. a x 命题方向二求参数的值命题方向二求参数的值(取值范围取值范围) 答案答案-8 解析解析f(x)=1-,f(1)=1-a,又f(1)=1+a+b, 曲线在(1,f(1)处的切线方程为y-(1+a+b)=(1-a)(x-1),即y=(1-a)x+2a+b, 根据题意有解得 2 a x 12, 25, a ab 1, 7, a b a-b=-1-7=-8. 方法技巧方法技巧 根据导数的几何意义求参数值(取

11、值范围)的思路 根据导数的几何意义求参数值(取值范围)的问题,一般是利用切点 P(x0,y0)既在曲线上又在切线上构造方程组或函数求解. 典例典例4(2018山东烟台模拟)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为. 1 x 命题方向三求切点坐标命题方向三求切点坐标 答案答案(1,1) 解析解析函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00),函数y=的导函数为y=-, 曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-. 易知k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00, x0

12、=1.又点P在曲线y=(x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1). 1 x 2 1 x 1 x 2 0 1 x 2 0 1 x 2 0 x 1 x 方法技巧方法技巧 求切点坐标的方法 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导 数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式 求出切点的纵坐标. 2-1(2018湖北咸宁模拟)函数f(x)=x+的图象在x=1处的切线与两坐 标轴围成的三角形的面积为(B) A.B.C.D. lnx x 1 2 1 4 3 2 5 4 答案答案B因为f(x)=x+,f(x)=1+,所以f(1)=1,f(1)=2,故切线方 程为y-1=2(x-1).令x=0,可得y=-1;令y=0,可得x=.故切线与两坐标轴围成 的三角形的面积为1=,故选B. lnx x 2 1 ln x x 1 2 1 2 1 2 1 4 2-2(2018安徽芜湖模拟)设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0) 处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为(D) A.(0,0)B.(1,-1) C.(-