第三讲：几何不等式

1、几何不等式中国计量学院吴跃生几何问题中出现的不等式称为几何不等式证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法.记号约定：在ABC中，a,b,c表示三边长； A, B,C表示对应角；s表示半周长；ha,ta,讥分别表示a边上的高、内角平分线长、中线长；R和r分别表示ABC的外接圆半径和内接圆半径；S表示 ABC的面积.设P是 ABC内任意一点，记 PA R,PB R2,PC R3 ；点P到三边BC,CA, AB的距离分别记为匚上止；记BPC , CPA , ABC ； BPC, CPA, ABC的内角平分线长分别记为WZ|, w2 ,w3 、距离不等式与化直法仅仅涉及线段

2、长度的几何不等式称为距离不等式.1. 设 a, b, c 是的边长，求证:在2. 已知:内任意一点，求证:中，c是最小边，P是加强：在使得PA PB PC a b ABC中，c是最小边，PA PB PC（冷岗松）P是 ABC内任意一点，求证：存在p（0p1),(1 p)min(a,b) c.(鱼儿)3. 设a是；ABC的最大边,O是ABC内任意一点，设直线AO BO CO与ABC的三边分别交于点P、Q、R ,证明:OP OQ OR a.二、托勒密（Ptolemy）定理及其应用托勒密定理：在凸四边形 ABCD中，有AB CD AD BC AC BD ,当且仅当四边形 ABCD是圆内接四边形时等号

3、成立.下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述.21 4mbmc 2a bc （1993 年，陈计）2 2 2对偶式：4mbmc 2a 4b 4c 9bc . （1992 年，陈计）注：中线长公式 ma 12c2a2.a 22.推论bmcmacmb 2ama. （ 1996 年，吴跃生）bc2amb cab2mc ab c20 .2 amabmbcmir3.R1R2R3.（1995年，吴跃生）ab c4.RR2&3（1995年，吴跃生）r1ha2hb3hc2 二、关于二角形边长、面积的不等式1.魏森伯克（WeitzenbQck）不等式：设a,b,c是三角形的三边长，S是三角

4、形的面积，则有a2 b2 c243S .2.费因斯列尔哈德维格（Fin sler-Hadweiger ）不等式：设a, b, c是三角形的三边长，S是三角形的面积，则有a2 b2 c24、3S2 2 2a bb cc a .3.设a,b,c是香ABC的三边长，求证：b2 2 2c a cab a b c,22222, 22, 22bcacababc则有4. （ Catulan不等式）：设a,b,c是三角形的三边长,2 2 2a b(a b) b c(b c) c a(c a) 0 .(IMO24)推广 1apb(a b) bpc(b c) cpa(c a) 0 (p 2)；当p 0时，不等号反

5、向.推广2 设四边形ABCD有内切圆，且其边长分别为a,b,c,d，则有a2b(a b) b2c(b c) c2d(c d) d2a d a 0.四、关于费尔马(Fermat)点的不等式费尔马问题：给定平面上的三点 A,B,C，在点A, B,C所在平面上求一点 P，使得 PA PB PC最小.PA PB PC取最小值时的点P称为的费尔马点.结论1 当 ABC的各内角都小于120：时，费尔马点P在 ABC内部，且有BPC CPA APB 120 ；当 ABC的最大内角不小于 120：时，费尔马点 P与 ABC的钝角顶点重合.结论2费尔马极值公式：f PA PB PC . 1 a2 b2 c22.

6、 3 注 在本节例题和习题中， 为证明方便计，仅考虑香ABC的各内角都小于120：的情形， 但有许多结论对于 ABC的最大内角不小于120；时仍然成立.张角定理 在香ABC，设D是BC上任意一点，则有sin BAC sin BAD sin CAD ADACAB .1.设P是 ABC的费尔马点，过点 P的Ceva线长分别记为fa，fb，fc，则有(1) f24,3 ,(3) f上3 a b c，(1994 年，吴跃生)3(4) f . ab bc ca . (1994 年，吴跃生)(5) -11 沁.(1994年，吴跃生)fa fb fc s /2.设P是jABC的费尔马点，则有勺空卫 3 .

7、（1997年，刘健提出，吴跃生证明 ）a b c 2推广：设P是香ABC内任意一点，则有1 空1 cot cot cot .（1999 年，吴跃生）a b c 2222再推广：设P是凸n边形AA 川代内任意一点，记AA i 4, APAi “并记点P到 边AA i的距离分别为ri，其中i 1,2,|, n, An i A，则有n丄1 ncot丄.（1999年，吴跃生）i 1 ai2 i 12五、嵌入不等式三角形嵌入不等式（简称嵌入不等式）在几何不等式的研究中起者极其重要的作用，是产生新的几何不等式的一个源头，因此，人们也把它称为“母不等式” 定理（嵌入不等式）对于任意ABC和任意实数x,y,z，有2 2 2x y z 2yzcos A 2zx cosB 2xy cosC，等号成立当且仅当 x: y : z sinA:sin B :sinC .z 2 2简证左边一右边=x ycosC zcosBysinC zsin B 0三角形嵌入不等式的等价形式：31.tatatbtbtctcaa4bbcc .2.R12R22R321 2 a3b22 c .3.r1r2r33（刘健提出，吴跃生证明）R2R-R-R1RR24加强式：一w2w-.（吴跃生提出并证明）JR2R3R3R1JRR224.（关于三角形边长的嵌入不等式）设a,b,c是任意三角