15.4因式分解(全)

1、第第 1 课时课时 第第2 3 课时课时 第第 4 课时课时 复习回顾复习回顾 _1 xx _11xx _732xx xx 2 1 2 x xx146 2 问题：问题：630可以被哪些整数整除？可以被哪些整数整除？ 630 = 23257 新课引入新课引入 试试看试试看 (将下列多项式写成几个整式的乘积将下列多项式写成几个整式的乘积) _ 2 xx _1 2 x 1xx 11xx 回忆前面整式的乘法回忆前面整式的乘法 111 2 xxx 上面我们把一个上面我们把一个多项式多项式化成了几个化成了几个整整 式式的的积积的形式，像这样的式子变形叫做把的形式，像这样的式子变形叫做把 这个多项这个多项式

2、式 ，也叫做把这个多项，也叫做把这个多项 式式 。分解因式分解因式 因式分解因式分解 1 2 x11xx 因式分解因式分解 整式乘法整式乘法 因式分解与整式乘法是因式分解与整式乘法是逆变形逆变形 依依照定义，判断下列变形是不是照定义，判断下列变形是不是 因式分解因式分解（把（把多项式多项式化成几个化成几个整式整式的的积积） 422 2 xxx 2334 326xyyxyx 224 2 2 3 2 3 4 9 x x x x x x yxyxyx 222 235 创设情景创设情景 abc m abc m 方法一：方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：方法二：S = ma + m

3、b + mc mm 方法一：方法一：S = m ( a + b + c ) 方法二：方法二：S = ma + mb + mc m ( a + b + c ) = ma + mb + mc 下面两个式子中哪个是因式分解？下面两个式子中哪个是因式分解？ 在式在式子子ma + mb + mc中，中，m是这个多项是这个多项 式中每一个项都含有的因式，叫式中每一个项都含有的因式，叫做做 。公因式公因式 ma + mb + mc = m ( a + b + c ) ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下在下面这个式子的因式分解过程中，面这个式子的因式分解过程中， 先先找到找到这

4、个多项式的这个多项式的公因式公因式，再将，再将原式除原式除 以公因式以公因式，得到一个新多项式，将这个多，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。项式与公因式相乘即可。 这种方法叫做这种方法叫做提公因式法提公因式法。 提公因式法一般步骤：提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式，、找到该多项式的公因式， 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式，、将原式除以公因式，得到一个新多项式， 3、把、把它与公因式相乘。它与公因式相乘。 如何准确地找到多项如何准确地找到多项 式的公因式呢？式的公因式呢？ 1、系数、系数 所有项的系数的所有项的系数的最大公因数最大公因数 2、字母、字母 应提

5、取每一项都有的字母，应提取每一项都有的字母， 且字母的且字母的指数取最低指数取最低的的 3、系数与字母相乘、系数与字母相乘 cabba 22 159 解：用提取公因式法因式分例题精讲 pqqppq 3 1 9 7 9 5 22 2323 4812ststts 最大公因数为最大公因数为3 = 3 a的最低指数为的最低指数为1 a b的最低指数为的最低指数为1 b(3a5bc) = 4st2(3s22t+1) pq(5q+7p+3)= 9 1 做一做做一做 按照提公因按照提公因 式法因式分解。式法因式分解。 22 23 23 2 21. 049. 0 6 5 3 1 20105 63 pqqp m

6、nmnnm xyxyyx abcba mnmn yxyxyx cbacba yxyx 22 2232 434423 2332 598449 63 2 2 11174 4536 提高训练提高训练( (一一) ) 34 93 22 2564104 76 pqqp xyyyxx bcaacbcaab nmynmx 因式分解： 提高训练提高训练( (二二) ) 的值。，求，、已知 22 451mnnmmnnm 201220112010 222 3 1 3、计算 2011 32 11111 :2 xxxxxxxxx 、因式分解 第第 3 课时课时 第第 2 课时课时 复习回顾复习回顾 平方差公式：平方差

7、公式： 完全平方公式：完全平方公式： 22 bababa 22 2 2bababa 22 2 2bababa 22 2 2bababa _22xx _5 2 a _77mm 4 2 x 2510 2 aa 4914 2 mm 新课引入新课引入 12 平方差公式平方差公式逆用逆用 22 52 逆用逆用 bababa 22 bababa 22 两个数的平方差等于这两个两个数的平方差等于这两个 数的和与这两个数的差的积。数的和与这两个数的差的积。 尝试练尝试练习习( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2

8、=_ (a+3)(a3) (7+n)(7n) 5(s+2t)(s2t) (10 x+3y)(10 x3y) y2 4x2 (x2)2 12 (x21) ( 4x2 y2 ) (x+1)(x1) 因式分解一定要分解彻底因式分解一定要分解彻底 ! x2 (x3)2 xx (1+x)(1x) x2 (1+x2)(1x2) (1+x)(1x) 在我们现学过的因式分解方法中，在我们现学过的因式分解方法中， 先考虑先考虑提取公因式提取公因式，再考虑用，再考虑用公式法公式法。 6x (x+3y)(x3y) YX YXYX 做一做做一做 利用平方差利用平方差 公式因式分解。公式因式分解。 232 24 22

9、22 369 1625 16 1 4 1 196169 yxxy yx yx ba 2 2 4 2 22 222 42 49 169 baba qqp yx tnm 提高训练提高训练( (一一) ) 1 16 63 23 4 22 xxx a nmnmm 因式分解： 设设m、n为自然数且满足为自然数且满足 关系式关系式12+92+92+22+m2=n2， 则则m = _，n = _。 提高训练提高训练( (二二) ) 。和这两个整数是 之间的两个整数整除，到能被、 _ 7060121 48 。、计算： 40244022 20122011 1210 65 86 43 42 21 2 222222

10、22 3、n是自然数，代入是自然数，代入n3 n中计算时，四个同学算出中计算时，四个同学算出 如下四个结果，其中正确的只可能是如下四个结果，其中正确的只可能是( )( )。 A. 421800 B. 438911 C. 439844 D. 428158 复习回顾复习回顾 22 2 2bababa 22 2 2bababa 22 2 2bababa _44xx _7 2 b _99mm 168 2 xx 4914 2 bb 8118 2 mm 新课引入新课引入 29991 = (999+1)2 = 106 完全平方公式完全平方公式逆用逆用 就像平方差公式一样，就像平方差公式一样，完全平方完全平方

11、 公式公式也可以也可以逆用逆用，从而进行一些简便，从而进行一些简便 计算与因式分解。计算与因式分解。 即：即： 2 22 2bababa 2 22 2bababa 两个数的平方和加上（或减去）两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的这两个数的积的两两倍，等于这两个倍，等于这两个 数的和（或差）的平方。数的和（或差）的平方。 牛刀小试牛刀小试( (对下列各式因式分解对下列各式因式分解) )： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _ (a+3)2 (n5)2 4(t1)2 (2x3y)2 形如形如 a22ab+b2的式子的式子

12、叫做叫做完全平方式完全平方式。 完全平方式一完全平方式一 定可以利用定可以利用完全平完全平 方公式方公式因式分解因式分解 完全平方式的特点：完全平方式的特点： 1、必须是、必须是三项式三项式（或可以看成三项的）（或可以看成三项的） 2、有两个、有两个同号同号的平方项的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的、有一个乘积项（等于平方项底数的2倍倍） 简记口诀：简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 22 2baba = (4x+3)2 = (4x24xy+y2) = (2xy)2 = 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2 = (a21)2 = (a+

13、1)2 (a1)2 = (a+1) (a1)2 = (p+q6)2 XX X 做一做做一做 用完全平方公用完全平方公 式进行因式分解。式进行因式分解。 stts xx aa 2 9 1 3 2 8118 22 2 2 42025 44 12 2 222 224 xx abccba nmnm 做一做做一做 用恰当的方用恰当的方 法进行因式分解。法进行因式分解。 备选方法：备选方法： 提公因式法提公因式法 平方差公式平方差公式 完全平方公式完全平方公式 996 4 4 1 12 22 22 2 22 22 2 xxx yxyx nmnm aa 提高训练提高训练( (一一) ) 2 22 2 2 2

14、 44 14 82 yxyxyx yxyx abba 因式分解： 给给4x2+1加上一个单项式，加上一个单项式， 使它成为一个完全平方式，这使它成为一个完全平方式，这 个单项式可以是个单项式可以是 _。 提高训练提高训练( (二二) ) 。，则，、已知_0441 2 cbacabba 。，化简、若4 1 4 1 102 22 x x x xx 的形状并说明理由。判断 ，且满足 的三边，是、已知 ABC cabcba ABCcba 022 3 222 的最小值。、求多项式20084221 22 babaP 提高训练提高训练( (三三) ) 。的最小值为则代数式 ，、已知 _ 102 222 yz

15、xzxyzyx yzayx 。则 ，、已知 _222 2 1 213 222 bcacabcba cbacba 知识结构知识结构 因式分解因式分解 常用方法常用方法 提公因式法提公因式法 公式法公式法 十字相乘法十字相乘法 分组分解法分组分解法 拆项添项法拆项添项法 配方法配方法 待定系数法待定系数法 求根法求根法 一、提公因式法一、提公因式法 只需只需找到找到多项式中的多项式中的公因式公因式， 然后用然后用原多项式除以公因式原多项式除以公因式，把所，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。其他方法结合起来用。 提公因式法提公因式法随堂练习：随堂

16、练习： 二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再 将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方 法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。 接下来是一些常用的乘法公接下来是一些常用的乘法公 式，可以逆用进行因式分解。式，可以逆用进行因式分解。 常用公式常用公式 1、(a+b)(ab)=a2b2 （平方差公式）平方差公式） 2、(ab)2=a22ab+b2 （完全平方公式）（完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

17、 及及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2) （立方和、差公式）（立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式）（完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导公式推导 222 222222 222 222 2 1 222 2 1 222222 2 1 zyzxyx zyzyzxzxyxyx yzxzxyzyx yzxzxyzyx 222 公式法公式法随堂练习：随堂练习： 二、公式法二、公式法 只需发现多项式的只需发现多项式的特点特点，再，再 将符合其形式的公式套进去即可将符合其形式

18、的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方完成因式分解，有时需和别的方 法法结合结合或多种公式或多种公式结合结合。 三、十字相乘法三、十字相乘法 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 例例1：因式分解：因式分解x2+4x+3 13 13 +1+3 p、q型因式分解型因式分解 例例2：因式分解：因式分解x27x+10 (2)(5) (2) + (5) 25 十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习： 三、十字相乘法三、十字相乘法 试因式分解试因式分解6x2+7x+2。 十字相乘法十字相乘法（适用于二次三项式）（适用于二次三项式） ac(ad+bc)bd 二次项系数二次项系数常数项常数

19、项 = 17 3 x2 + 11 x + 10 6 x2 + 7 x + 2 2 3 1 2 4 + 3 = 7 21 32 1 3 5 2 2 + 15= 11 1 3 2 5 5 + 6 2 35 = 6 5 x2 6 xy 8 y2 试因式分解试因式分解5x26xy8y2。 十字相乘法十字相乘法 1 5 2 4 4 10 254 简记口诀：简记口诀： 首尾分解，首尾分解， 交叉相乘，交叉相乘， 求和凑中。求和凑中。 十字相乘法十字相乘法随堂练习：随堂练习： 四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通 过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括

20、号等 一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。 例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。 (ab ac) (bd cd) (b c)(b c) (a + d) 还有别还有别 的解法的解法 吗？吗？ 四、分组分解法四、分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通 过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等 一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。 例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd 。 (ab + bd) (ac + cd) (a + d)(a + d) (b c) 例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+

21、x2+x+1 。 (x2+x+1) (x+1)(x2x+1)立方和公式立方和公式 分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习： 回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。 +2x2x2 (x2+1)2 (x2+x+1)(x2x+1) 五五*、拆项添项法、拆项添项法 怎么结果怎么结果 与刚才不与刚才不 一样呢？一样呢？ 因为它还因为它还 可以继续可以继续 因式分解因式分解 拆项添项法对数学能力有着更拆项添项法对数学能力有着更 高的要求，需要观察到多项式中应高的要求，需要观察到多项式中应 拆哪一项使得接下来可以继续因式拆哪一项使得接下来可以继续因式 分解，要对结果有一定的

22、分解，要对结果有一定的预见性预见性， 尝试较多，做题较繁琐。尝试较多，做题较繁琐。 最好能根据现有多项式内的项最好能根据现有多项式内的项 猜测猜测可能需要使用的公式，有时要可能需要使用的公式，有时要 根据形式根据形式猜测猜测可能的系数。可能的系数。 五五*、拆项添项法、拆项添项法 + 4x2 4x2 都是平方项都是平方项 猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式 完全平方公式完全平方公式 平方差公式平方差公式 拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练习： 配方法配方法 配成完全平方式配成完全平方式 因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3 。 (b1)2 配方法配方法 ( (拆项添项法拆项添项法) ) 分组分解法分组分解法 完全平方公式完全平方公式 平方差公式平方差公式 六六*、待定系数法、待定系数法 试因式分解试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3