概率论与数理统计(经管类)公式

1、1、随机事件及其概率运算律名称交换律结合律分配律德摩根律2、概率的定义及其计算公式名称求逆公式加法公式条件概率公式乘法公式全概率公式贝叶斯公式（逆概率公式）伯努利概型公式两件事件相互独立相应公式1、分布函数性质精品文档概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率表达式ABBAABBA( AB)CA(BC)ABC(AB)CA(BC)ABCA(BC)ABACA(BC)( AB)(AC)ABABABAB公式表达式P(A)1 P(A)P( AB) P( A) P(B)P(AB)P( AB)P(B A)P(A)P( AB) P( A) P(B A)P( AB)P(B)P(A B)nP( B)P (Ai

2、)P (B Ai )i 1P( AjB)P(A j ) P(B Aj )P(A j ) P( B Ai )i1Pn (k )Cnk p k (1p)n k , k0,1, nP( AB) P(A) P( B) ； P(B A)P(B) ； P( B A)P(B A) ； P(B A)P(B A) 1；P(B A)P(B A)1二、随机变量及其分布P( X b) F (b) P( a X b) F (b)F (a)2、离散型随机变量分布名称分布律0 1 分布 B(1, p)P ( Xk ) p k (1p )1 k ,k0,1二项分布 B(n, p)P( X k )Cnk p k (1p ) n

3、 k ,k0,1, , n.精品文档泊松分布 P()几何分布 G( p)超几何分布 H ( N, M , n)3、连续型随机变量分布名称均匀分布 U ( a, b)f ( x)kP( Xk)ek!,k0,1,2,P( Xk)(1p) k1 p,k0,1,2,knkP( X k )CM CNM,kl , l1, min( n, M )CNn密度函数分布函数1a xb0, xa,F (x)xa , ax bb a0,bab其他1, x指数分布 E()f ( x)ex ,x 0F ( x)0,x00,其他1e x ,x0正态分布 N( ,2)1( x)21x( t) 2e22xF ( x)22f (

4、 x)2ed t2标准正态分布 N (0,1)1x21x( t) 2e2x22F ( x)e( x)2d t2三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布piP( X xi )P( X xi ,Y y j )pijp jP(Y y j )P( X xi ,Y y j )pijjjii2、离散型二维随机变量条件分布pi jP( XxiYP( X xi ,Yy j )pij1,2y j )y j ),iP(YP jp j iP(Yy jXP( X xi ,Y y j )pij1,2xi )xi ), jP( XPi3、连续型二维随机变量 ( X ,Yxy) 的联合分布函数 F ( x,

5、y)f (u , v )dvdu4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：xF X ( x)f (u, v) dvdu边缘密度函数：f X ( x)f ( x , v )dvyFY ( y)f ( u, v) dudvfY ( y )f ( u, y ) du5、二维随机变量的条件分布fY X ( y x)f ( x, y),yf (x, y)xf X ( x)f X Y (x y),fY ( y).精品文档四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量： E ( X )xk p k连续型随机变量： E ( X )xf ( x ) dxk 12、数学期望的性质(1)E(C

6、 ) C, C为常数EE( X )E( X)E(CX )CE(X)(2)E(XY )E(X)E(Y)E(aXb)aE( X ) bE(C1 X1Cn X n )C1E(X1 )Cn E( X n )(3)若 XY 相互独立则： E( XY)E( X )E(Y)(4)E(XY)2E2(X)E2(Y)3、方差： D(X ) E(X 2)E2(X)4、方差的性质(1)D(C)0DD(X )0D (aXb)a2 D ( X )D(X) E(XC )2(2)D(XY)D(X )D(Y)2Cov(X ,Y )若 XY相互独立则： D ( X Y) D( X )D(Y)5、协方差： Cov( X ,Y)E(

7、X ,Y)E (X ) E(Y)若 XY相互独立则： Cov( X ,Y) 06、相关系数：XY(X,Y)Cov ( X ,Y )若 XY 相互独立则：XY0 即 XY不相关D(X)D(Y )7、协方差和相关系数的性质(1)Cov( X , X )D(X)Cov( X , Y)Cov(Y , X )(2)Cov( X1 X2 ,Y) Cov( X1 ,Y)Cov( X2 ,Y)Cov(aX c,bY d)abCov( X , Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)pp(1p)二行分布 B(n, p)npnp(1p)泊松分布P( )几何分布 G ( p)超几

8、何分布H (N ,M , n)均匀分布 U (a,b)正态分布 N( ,2)指数分布E( )11ppp 2n Mn M (1M ) NmNNN N1a b(ba) 22122112.精品文档五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若 E(X),D(X)2 , 对于任意0有PXE(X )D(X )或PX E(X) 1D(X)222、大数定律：若 X1X n 相互独立且 n时， 1nX iD1nE( X i )ni 1n i 1(1)若 X1X n 相互独立， E( X i )i , D ( X i )2且2M 则：1nPiin iX i1(2)若 X1X n 相互独立同分布，且E( Xi )

9、i 则当 n时： 1nXiPn i11n)n iE ( X i ), ( n13、中心极限定理(1) 独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为20 的独立同分布时，当n 充分大时有：nX k nYnk1N (0,1)n(2) 拉普拉斯定理：随机变量n (n1,2) B(n, p) 则对任意 x 有：n npx1t 2lim Pe 2 dt( x)xxnp(1p)2nnP( anX k nbn )( bn( an(3)近似计算： P(aX kb)k 1)k 1nnnnn六、数理统计1、总体和样本总体 X 的分布函数 F (x) 样本 ( X1 , X 2X n ) 的联合分布为 F (x1, x

10、2nxn )F (xk )k 12、统计量(1)样本平均值： X1nX i(2)样本方差： S21nX ) 21n2n i 1( X i( X i2n X )n 1 i 1n 1 i 1(3)样本标准差： S1nX ) 2(4) 样本 k 阶原点距： Ak1nX ik ,k1,2n(X in i1 i 11(5)样本 k 阶中心距： BkM k1n( X iX )k , k 2,3n i 1(6)次序统计量：设样本 (X1 , X 2X n ) 的观察值 ( x1 , x2xn ) ，将 x1 , x2xn 按照由小到大的次序重新排列，得到 x(1)x( 2)x( n) ，记取值为 x(i )

11、 的样本分量为 X (i )，则称 X (1)X(2)X ( n)为样本 (X1, X2X n ) 的次序统计量。 X (1)min( X 1 , X 2X n ) 为最小次序统计量；X ( n)max( X 1, X 2X n ) 为最大次序统计量。.精品文档3、三大抽样分布(1)2 分布：设随机变量 X1,X2X n 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布 N (0,1) ， 则 随 机 变 量2X 12X 22X n2 所服从的分布称为自由度为n 的2 分布，记为2 2 (n)性质： E2 (n) n, D 2 (n)2n 设 X 2 (m), Y 2 (n) 且相互

12、独立，则 XY 2 (m n)(2)t 分布：设随机变量 X N (0,1), Y 2 (n) ，且 X 与 Y 独立，则随机变量： TX所服从的分布称为自由Y n度的 n 的 t 分布，记为 T t (n)n1(x)2性质： Et (n) 0, Dt (n)e22,( n2) lim t(n) N(0,1)n2n2(3)F 分布：设随机变量 U 2 (n ),V 2 (n)，且 U 与 V 独立，则随机变量 F( n , n)U n1 所服从的分布称1212V n2为自由度 (n1, n2 ) 的 F 分布，记为F F (n1, n2 )性质：设X F (m, n) ，则 1 F (n, m)X七、参数估计1、参数估计(1)定义：用( X1 , X 2 ,X n ) 估计总体参数，称( X1, X 2 ,X n ) 为的估计量，相应的( X1, X2 ,X n ) 为总体的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法： （总体矩 =样本矩）离散型样本均值：XE(X )1 n连续型样本均值： XE(X )xf (x, )dxn iX i1离散型参数： E( X 2 )1 nX i2n i 13、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：X1, X2,X n取自 X 的样本，设X f ( x, ) 或P( X X i )P( )