第七章-空间解析几何与向量代数---仲恺农业技术学院

1、教学目的教学目的: 空间矢量代数空间矢量代数 教学重点教学重点: 点的表示与矢量运算点的表示与矢量运算 教学难点教学难点: 直线与平面的方程直线与平面的方程 第一讲第一讲 矢量代数矢量代数 主视图主视图 图形方程代数图形方程代数 平面平面直线直线 平面方程平面方程 0 0(1)MM（）n ()Mxyz 0 过 0 00 00 0 求求，且且垂垂直直矢矢量量= = 的的平平面面方方程程n, , ,A A , ,B B, , C C 即即 亦即亦即 则矢量则矢量M-M0垂直于矢量垂直于矢量n , 则则 ( , , )M x y z解：设点 是 是平平面面上上任任意意一一 0 0MMnn 0 (2)

2、AxByCzD 其中其中 0000 ()DMAxByCz n = 矢量矢量n称为平面的法矢量称为平面的法矢量 (1)称为平面法式方程称为平面法式方程,(2)称为平面一般方程称为平面一般方程 x y z o 0 M M n 平面方程特殊情形平面方程特殊情形 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况： , 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点； , 0)2( A , 0 , 0 D D平面通过平面通过 轴；轴；x 平面平行于平面平行于 轴；轴；x , 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy 类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA 0, 0

3、 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形. 0 DCzByAx 平面方程例题平面方程例题 故此平面的方程即为所要求的轨迹方程由于故此平面的方程即为所要求的轨迹方程由于 M 21M M 解解 由立体几何知，点由立体几何知，点的轨迹是线段的轨迹是线段的垂直平分面， 21 MMMM 由两点间距离公式，得由两点间距离公式，得 222222 )2()3()2()2()4() 1(zyxzyx 将等式两边平方，然后化简得将等式两边平方，然后化简得 7420(1)xyz 、 例例动点动点 ),(zyxM与两定点与两定点 )2 , 4 , 1( 1 M) 2, 3, 2( 2 M的距离的距离 相等，求动点相等

4、，求动点 M 的轨迹方程的轨迹方程 平面方程例题平面方程例题 解解因所求平面通过因所求平面通过 x轴，可设其方程为轴，可设其方程为 0CzBy 又点又点 ) 1, 3, 4(在此平面上，因此它满足方程，故有在此平面上，因此它满足方程，故有 03CB 即即 BC3 代入方程化简得所求平面方程为代入方程化简得所求平面方程为 ： 03 xy 平面方程例题平面方程例题 设平面为设平面为, 0 DCzByAx 将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0 , 0 , 0 DcC DbB DaA , a D A , b D B . c D C 解解 回主视图回主视图 , a D A , b D B , c D

5、 C 将将 代入所设方程得代入所设方程得 1 c z b y a x 平面的截距式方程平面的截距式方程 x轴轴上上截截距距 y轴轴上上截截距距 z轴轴上上截截距距 回主视图回主视图 平面方程例题平面方程例题 直线方程直线方程 a 0 P P 0, 经过点为线Pa求求方方向向的的直直 ,P则设设 是是经经过过直直线线的的任任意意一一点点 0 tPPa 0 tPPa即即 0 0 0 (,) x yxyz z xxta yytaa a a zzta 或a其其中中 000 xyz xxyyzz aaa 或 对称式方程对称式方程 参数方程参数方程 点向式方程点向式方程 例题例题 0 22 xyz xyz 将线为对称直直化化式式方方程程 0 22 (1,1,0),( ,0,) 2233 xyz xyz 解:由求得两不同点 2212 (1,1,0),( ,0,) ,