（江苏专用）2020版高考数学总复习 第十章 第五节 圆锥曲线的综合问题课件 苏教版

1、第五节第五节圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 1.定点、定值问题 2.最值问题 3.范围问题 教教 材材 研研 读读 考点一 定点与定值问题 考点二 最值与取值范围问题 考考 点点 突突 破破 考点三 圆锥曲线中的探索性问题 1.定点、定值问题定点、定值问题 方法有两种:一是研究一般情况,通过逻辑推理或计算得到定点或定值, 这种方法难度较大、运算量较大,且有时思路不太明显;二是先利用特 殊情况确定定点或定值,然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明 确的方向. 教材研读 2.最值问题最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高中数学的重要内容,试题把代数、三角和几 何等有机结合起来,从而使问题具有高

2、度的综合性和灵活性.常用的方 法有:(1)利用定义求解;(2)构造基本不等式求解;(3)利用数形结合求解; (4)构造函数求解. 3.范围问题范围问题 求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构 造函数,然后去分析、研究问题,转化问题和解决问题. 对于圆锥曲线上 的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而 使一些线段的长度与a,b,c,e之间构成函数关系,处理这类问题时常常用 到函数思想. 1.(2019南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x2-= 1(b0)的两条渐近线与圆O:x2+y2=2的四个交点依次为A,B,C,D.若矩形 AB

3、CD的面积为b,则b的值为 . 2 2 y b 答案答案 7 解析解析 双曲线C:x2-=1(b0)的一条渐近线y=bx与圆O:x2+y2=2的交点 坐标为和-,-,则22=b,解 得b2=7,又b0,则b=. 2 2 y b 2 22 22 , 11 b bb 2 2 1b 2 2 2 1 b b 2 2 1b 2 2 2 1 b b 7 2.(2018南京期末)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-y2=1的渐近线 与抛物线x2=4y的准线交于A,B两点,则三角形OAB的面积为 . 2 3 x 3 答案答案3 3 3.(教材习题改编)设点P(x,y)是椭圆+=1(ab0)上一点,F1,F2为

4、椭圆 的两个焦点,则|PF1|PF2|的取值范围是 . 2 2 x a 2 2 y b 答案答案b2,a2 解析解析|PF1|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)=+a2,a-c|PF1|a+c,所以当 |PF1|=a时,|PF1|PF2|有最大值a2,当|PF1|=a-c或|PF1|=a+c时,|PF1|PF2|有最 小值b2,故|PF1|PF2|的取值范围是b2,a2. 2 1 (|)PFa 4.(教材习题改编)若直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B,O为坐标原 点,则AOB= . 答案答案90 解析解析由得y2=2(y+2),即y2-2y-4=0,设A(x1,y1),B(x

5、2,y2),则y1y2=-4, 所以=x1x2+y1y2=+y1y2=4-4=0,则,即AOB=90. 2 2, 2 yx yx OA OB 1 4 2 12 ()y yOA OB 5.(2017无锡普通高中高三调研)已知双曲线C:-=1(a0,b0)与椭圆 +=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F1,F2分别为双曲线C的左,右焦 点,P为右支上任意一点,则的最小值为 . 2 2 x a 2 2 y b 2 16 x 2 12 y 2 1 2 | | PF PF 答案答案8 解析解析椭圆+=1的焦点为(2,0),离心率为,则a2+b2=c2=4,c=2,则= =2,a=1,b=,又点P在双曲线的

6、右支上,所以|PF1|-|PF2|=2,且|PF2|c-a =1,所以=|PF2|+42+4=8,当且仅当| PF2|=,即|PF2|=2时取等号,此时|PF2|1,符合题意,故的最小值 为8. 2 16 x 2 12 y1 2 c a 2 a 3 2 1 2 | | PF PF 2 2 2 | 2| | PF PF 2 4 |PF 2 2 4 | | PF PF 2 4 |PF 2 1 2 | | PF PF 考点一考点一 定点与定值问题定点与定值问题 角度一定点问题角度一定点问题 典例典例1 (2019江苏南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+ =1(ab0)过点,离心率为.

7、(1)求椭圆C的标准方程; (2)过点K(2,0)作一直线与椭圆C交于A、B两点,过A、B点作椭圆右准线 2 2 x a 2 2 y b 53 , 22 2 5 5 考点突破 的垂线,垂足分别为A1、B1.问直线AB1与A1B的交点是不是定点?若是,求 出定点的坐标;若不是,请说明理由. 解析解析(1)由题意得所以椭圆C的标准方程为+ y2=1. (2)当直线AB的斜率不存在时,准线l:x=,AB1与A1B的交点是; 当直线AB的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-2),k 0. 222 22 , 53 1, 44 2 5 5 abc ab c a 5

8、, 1, 2, a b c 2 5 x 5 2 9 ,0 4 由消去y后整理得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0, 于是有 又A1,B1,所以 直线:y=+y2, 22 (2), 55 yk x xy 2 12 2 2 12 2 20 , 15 205 , 15 k xx k k x x k 1 5 , 2 y 2 5 , 2 y 1 AB l 21 1 5 2 yy x 5 2 x 直线:y=+y1, 由得,x=. 代入得,y=+y2= =0. 1 A B l 21 2 5 2 yy x 5 2 x 12 12 25 4 5 x x xx 2 2 2 2 20525 154 2

9、0 5 15 k k k k 2 2 45(1) 20(1) k k 9 4 21 1 () 104 k xx x 212 1 1 9 ()420 410 k xxkx xk x 22 22 1 20205 9420 1515 410 kk kkk kk x 综上,直线AB1与A1B过定点. 9 ,0 4 角度二定值问题角度二定值问题 典例典例2 (2017江苏苏州高三调研)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率 为,且过点P(2,-1). (1)求椭圆C的方程; (2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两 条直线分别交椭圆C于两点A(x1,y1),B(x2,y2),若直线 PQ平分A

10、PB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出 这个定值. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 解析解析(1)因为椭圆C的离心率为=,所以=,即a2=4b2, 所以椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2. 又椭圆C过点P(2,-1),所以4+4=4b2,解得b2=2,则a2=8, 所以所求椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题意知直线PA的斜率存在且不为0,设直线PA的方程为y+1=k(x-2), 由 c a 3 2 22 2 ab a 3 4 2 8 x 2 2 y 22 48, (2)1, xy yk x 消去y得(1+4k2)x2-8(2k2+k)x+16k2+16k-4=0, 所以2x1

11、=,即x1=. 因为直线PQ平分APB,所以直线PA与直线PB的斜率互为相反数. 由题意知直线PB的斜率存在且不为0, 设直线PB的方程为y+1=-k(x-2),同理求得x2=. 又所以y1-y2=k(x1+x2)-4k, 即y1-y2=k(x1+x2)-4k=k-4k=-,x1-x2=. 2 2 16164 14 kk k 2 2 882 14 kk k 2 2 882 14 kk k 11 22 1(2), 1(2), yk x yk x 2 2 164 14 k k 2 8 14 k k 2 16 14 k k 所以直线AB的斜率为kAB=-, 即直线AB的斜率为定值. 12 12 yy

12、 xx 2 2 8 14 16 14 k k k k 1 2 方法技巧方法技巧 (1)证明曲线过定点问题,可从两个角度加以研究,一是将所要研究的曲 线表示为某个变量的形式,将它整理为该变量的函数,所谓曲线过定点, 即曲线与该变量无关,从而利用系数及常数项为0得到一个方程组,求出 定点的坐标;二是从特殊到一般的方法,即通过特殊情况或曲线的对称 性,先确定定点的坐标,再证明它对于一般的情况也成立. (2)求定值问题常见的两种方法 从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 1-1 (2018江苏南京多校高三段考)已知椭圆C:+=

13、1(ab0)的离心 率为,且过点A(0,1). (1)求椭圆的标准方程; (2)过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M,N两点.求证:直线MN 恒过定点P. 2 2 x a 2 2 y b 3 2 3 0, 5 解析解析(1)由题意知,e=,b=1,所以a2-c2=1,解得a=2,所以椭圆的标准 方程为+y2=1. (2)证明:由题意可知直线AM,AN的斜率均存在且均不为0, 设直线AM的方程为y=kx+1,由 得(4k2+1)x2+8kx=0,解得x1=-,x2=0,所以xM=-,yM=. c a 3 2 2 4 x 2 2 1, 1, 4 ykx x y 2 8 41 k k 2 8 4

14、1 k k 2 2 14 41 k k 同理可得xN=,yN=,则kMP=, kNP=,因为kMP=kNP,所以直线MN恒过定点P. 2 8 4 k k 2 2 4 4 k k 2 2 2 143 415 8 41 k k k k 2 88 55 8 k k 2 1 5 k k 2 2 2 43 45 8 4 k k k k 2 88 55 8 k k 2 1 5 k k 3 0, 5 1-2 (2019徐州铜山高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知A,B分别 是椭圆+=1(ab0)的上,下顶点,点M为线段AO的中点,AB=a. (1)求椭圆的方程; (2)设N(t,2)(t0),直线NA,

15、NB分别交椭圆于点 P,Q,直线NA,NB,PQ的斜率分别为k1,k2,k3. 求证:P,M,Q三点共线; 求证:k1k3+k2k3-k1k2为定值. 2 2 x a 2 2 y b 1 0, 2 2 解析解析(1)由题意知,2b=4=a,解得a=,b=1,所以椭圆的方程为 +y2=1. (2)证明: 由N(t,2)(t0),A(0,1),B(0,-1),得直线NA的方程为y=x+1,直线 NB的方程为y=x-1. 由得或故P. 1 2 b 22 2 2 x 1 t 3 t 22 1 1, 22, yx t xy 2 2 2 4 , 2 2 2 t x t t y t 0, 1, x y 2

16、22 42 , 22 tt tt 由得或 故Q. 所以直线PM的斜率kPM=,直线QM的斜率kQM= , 22 3 1, 22, yx t xy 2 2 2 12 , 18 18 18 t x t t y t 0, 1, x y 2 22 1218 , 1818 tt tt 2 2 2 21 22 4 2 t t t t 2 6 8 t t 2 2 2 181 182 12 18 t t t t 2 6 8 t t 因为kPM=kQM,所以P,M,Q三点共线. 由知,k1=,k2=,k3=,所以k1k3+k2k3-k1k2=-=-,所以k1k3+ k2k3-k1k2为定值. 1 t 3 t 2

17、 6 8 t t 4 t 2 6 8 t t 2 3 t 1 2 典例典例3 (2018江苏宿迁高三期末)已知椭圆+=1,动直线l与椭圆交 于B,C两点(点B位于第一象限). (1)若点B的坐标为,求OBC面积的最大值; (2)设B(x1,y1),C(x2,y2),且3y1+y2=0,求当OBC面积最大时,直线l的方程. 2 4 x 2 3 y 3 1, 2 考点二考点二 最值与取值范围问题最值与取值范围问题 角度一求最值角度一求最值 解析解析(1)由已知得,直线OB的方程为y=x,即3x-2y=0. 设过点C且平行于OB的直线l的方程为y=x+b. 易知当直线l与椭圆只有一个公共点时,OBC

18、面积最大. 3 2 3 2 由消去y并整理得3x2+3bx+b2-3=0, 22 1, 43 3 2 xy yxb 则=9b2-12(b2-3),令=0,解得b=2, 易知直线l与直线OB之间的距离为, 故OBC面积的最大值为=. (2)显然,直线l与y轴不垂直,故设直线l的方程为x=my+n. 3 4 3 13 1 2 9 1 4 4 3 13 3 由消去x并整理得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0, 3y1+y2=0,y1=,=, =,n2=, 22 1, 43 xy xmyn 12 2 2 12 2 6 , 34 312 . 34 nm yy m n y y m 2 3 34

19、 nm m 2 1 y 2 2 4 34 n m 22 22 9 (34) n m m 2 2 4 34 n m 2 2 34 31 m m SOBC=|n|y1-y2|=2|n|y1|=. 点B位于第一象限, x1=my1+n=+n0,n0. y10,m0. SOBC=, 当且仅当3m=,即m=时取等号, 1 2 2 2 6| 34 m n m 2 6| 31 m m 2 2 3 34 m n m 2 6 31 m m 6 1 3m m 6 2 3 3 1 m 3 3 此时n=, 所求直线l的方程为x=y+, 即y=x-. 10 2 3 3 10 2 3 30 2 典例典例4 (2018江苏

20、南京高三期中)已知椭圆C:+y2=1(a1)的左,右焦点 分别为F1,F2,A,B为椭圆上关于原点对称的两点,椭圆C的离心率为e. (1)若点A的坐标为,求椭圆C的方程; (2)记AF1的中点为M,BF1的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上. 证明:为定值; 设直线AB的斜率为k,若k,求e的取值范围. 2 2 x a 1 2 , 2 e 1 AF 2 AF 3 3 角度二求取值范围角度二求取值范围 解析解析(1)证明:由题意知+=1,即=, 2 2 4e a 1 4 2 4 1a a 3 16 所以3a4-16a2+16=0,解得a2=4或a2=. 所以椭圆C的方程为+y2=1或+y

21、2=1. (2)设F2(c,0),A(x1,y1),则F1(-c,0),B(-x1,-y1), 故M,N.由题意得=0,化简得+=c2, 所以=(-c-x1,-y1)(c-x1,-y1)=+-c2=0,为定值. 4 3 2 4 x 2 3 4 x 11 , 22 xc y 11 , 22 cxy OM ON 2 1 x 2 1 y 1 AF 2 AF 2 1 x 2 1 y 由题意得到k2(a4-2a2)=1.因为k,所以a4-2a2=(0,3, 11 2 2 1 1 2 222 11 22 , 1, , 1, ykx x y a xyc ca 3 3 2 1 k 即0a4-2a23,解得2b

22、0)的长轴长为4,焦距为2,以A为圆心的 圆(x-2)2+y2=r2(r0)与椭圆相交于B、C两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)求的取值范围; (3)设P是椭圆上异于B、C的任意一点, 直线PB、PC与x轴分别交于 点M、N,求SPOMSPON的最大值. 2 2 x a 2 2 y b 3 AB AC 解析解析(1)椭圆的标准方程为+y2=1. (2)设B(x0,y0),则C(x0,-y0),且+=1, 所以=-=-=-4x0+3=-. 因为-2x0b0), 圆O:x2+y2=b2,过椭圆C的上顶点A的直线l:y=kx+b(k0)分别交圆O、椭 圆C于不同的两点P、Q,设=. (1)若点

23、P(-3,0),点Q(-4,-1),求椭圆C的方程; (2)若=3,求椭圆C的离心率e的取值范围. 2 2 x a 2 2 y b AP PQ 解析解析(1)由P在圆O:x2+y2=b2上得b=3. 又由点Q在椭圆C上得+=1,解得a2=18, 椭圆C的方程是+=1. (2)由得x=0或xP=-. 由得x=0或xQ=-. =,=3,=, 2 2 ( 4) a 2 2 ( 1) 3 2 18 x 2 9 y 222 ,ykxb xyb 2 2 1 kb k 22 22 , 1 ykxb xy ab 2 222 2kba a kb AP PQ AP 3 4 AQ =, 即=, 2 222 2kba

24、 k ab 3 4 2 2 1 kb k 2 222 a a kb 3 4 2 1 1k k2=4e2-1. k20,4e21,即e或e-,又0e1, eb0)的离心率为,点P在椭圆E 上,直线l过椭圆的右焦点F且与椭圆交于A,B两点. (1)求椭圆E的方程; (2)在x轴上是否存在定点M,使得为定值?若存在,求出定点M的坐 标;若不存在,请说明理由. 2 2 x a 2 2 y b 2 2 2 1, 2 MA MB 考点三考点三 圆锥曲线中的探索性问题圆锥曲线中的探索性问题 解析解析(1)由题意知=,+=1,又a2=b2+c2,解得a=,b=1,故椭圆E 的方程为+y2=1. (2)存在.

25、理由如下:直线AB过椭圆的右焦点F(1,0), 当直线AB不与x轴重合时,可设直线AB的方程为x=my+1, 代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-. c a 2 2 2 1 a 2 1 2b 2 2 2 x 2 2 2 m m 2 1 2m 设M(t,0),若=(x1-t)(x2-t)+y1y2=(my1+1-t)(my2+1-t)+y1y2=(1+m2)y1y2+m (1-t)(y1+y2)+(1-t)2=-+(1-t)2=为定值, MA MB 2 2 1 2 m m 2 2 2(1) 2 mt m 222 2 (241)(2) 2 tttm m 则2t2-4t+1=2(t2-2),解得t=. 故存在定点M,使得为定值-,经检验,当直线AB与x轴重合 时也成立, 所以在x轴上存在一个定点M,使得为定值. 5 4 5 ,0 4 MA MB 7 16 5 ,0 4 MA MB 方法技巧方法技巧 处理探索性问题的常用策略处理探索性问题的常用策略 探索性问题,先假设存在,推证