（浙江专用）2020届高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形课件

1、 5.3正弦、余弦定理及解三角形 高考数学高考数学 (浙江专用) 考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理 A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组 五年高考 1.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD =,cosABD=. 答案答案; 12 2 5 7 2 10 解析解析本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长 度和角度的计算体现了数学运算的核心素养. 在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45, 4 5 由正弦定理得=,则BD=, 在ABD中,sinBAD=,cos

2、BAD=,ADB=135, cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos45cosBAD+sin45sinBAD= =. sin BD BCDsin BC BDC 4 3 5 2 2 12 2 5 3 5 4 5 2 2 43 55 7 2 10 思路分析思路分析在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解. 解题反思解题反思三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提 下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法. 2.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a

3、=,b=2,A=60,则sinB= ,c=. 7 答案答案;3 21 7 解析解析本题考查正弦定理、余弦定理. 由=得sinB=sinA=, 由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负). sin a Asin b B b a 21 7 1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的 值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=. 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用 答案答案 3 3

4、 2 解析解析本题考查圆内接正六边形面积的计算. S6=611sin60=. 1 2 3 3 2 2.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则 BDC的面积是,cosBDC=. 答案答案; 15 2 10 4 解析解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解 能力. AB=AC=4,BC=2,cosABC=, ABC为三角形的内角,sinABC=, sinCBD=,故SCBD=22=. BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=, 2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,

5、又BDC为锐角,cosBDC=. 222 2 ABBCAC AB BC 1 4 15 4 15 4 1 2 15 4 15 2 1 4 1 4 5 8 10 4 3.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若ABC的面积S=,求角A的大小. 2 4 a 解析解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB, 故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB, 于是sinB=sin(A-B). 由已知得cosB0,则B.又A(0,),

6、故-A-B. 所以,B=-(A-B)或B=A-B, 因此A=(舍去)或A=2B, 所以,A=2B. 0, 2 2 (2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB, 因sinB0,得sinC=cosB. 又B,C(0,),所以C=B. 当B+C=时,A=; 当C-B=时,A=. 2 4 a1 2 2 4 a1 2 0, 2 2 2 2 2 4 综上,A=或A=. 2 4 评析评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考 查运算求解能力. 4.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=

7、,b2-a2=c2. (1)求tanC的值; (2)若ABC的面积为3,求b的值. 4 1 2 解析解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C. 又由A=,即B+C=,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC, 解得tanC=2. (2)由tanC=2,C(0,)得sinC=,cosC=. 又因为sinB=sin(A+C)=sin,所以sinB=. 由正弦定理得c=b, 又因为A=,bcsinA=3,所以bc=6,故b=3. 1 2 1 2 1 2 4 3 4 2 5 5 5 5 4 C 3 10 10 2 2 3 4 1 2 2 评析

8、评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 5.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2. (1)求的值; (2)若B=,a=3,求ABC的面积. 4 A 2 sin2 sin2cos A AA 4 解析解析(1)由tan=2,得tanA=, 所以=. (2)由tanA=,A(0,),得 sinA=,cosA=. 又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3. 由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=. 设ABC的面积为S,则S=absinC=9. 4 A 1 3 2 sin2 sin2cos A AA 2t

9、an 2tan1 A A 2 5 1 3 10 10 3 10 10 4 sin a Asin b B 5 4 A 2 5 5 1 2 评析评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理 B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组 1.(2018课标全国理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=() A.4B.C.D.2 2 C5 5 230295 答案答案A本题考查二倍角公式和余弦定理. cos=,cosC=2cos2-1=2-1=-, 又BC=1,AC=5, AB=4.故选A.

10、 2 C5 52 C1 5 3 5 22 2cosBCACBC ACC 3 1252 1 5 5 2 2.(2017课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cos C)=0,a=2,c=, 则C=() A.B.C.D. 2 12 6 4 3 答案答案B在ABC中,sinB=sin(A+C), 则sinB+sinA(sinC-cosC) =sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0, 即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0, cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA

11、+sinA=0,即tanA=-1,即A=. 由=得=,sinC=, 又0C,C=,故选B. 3 4 sin a Asin c C 2 2 2 2 sinC 1 2 4 6 3.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是() A.a=2bB.b=2a C.A=2BD.B=2A 答案答案A本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理. 解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC, 所以sinB+2sinBcosC=sin

12、AcosC+sin(A+C), 所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB, 即cosC(2sinB-sinA)=0, 所以cosC=0或2sinB=sinA, 即C=90或2b=a, 又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A. 方法总结方法总结解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求 解.注意灵活运用三角公式. 4.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=() A.1B.2C.3D.4 13 答案答案A在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,

13、得13=9+b2-23b ,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A. 1 2 评析评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题. 5.(2019课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B =. 答案答案 3 4 解析解析本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算. 在ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0, sinA0,sinB+cosB=0, 即tanB=-1, 又B(0,),B=. 3 4 6.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边

14、分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为. 答案答案 2 3 3 解析解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解. 由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC0,sinA=,又b2+c 2-a2=8,cosA= =,cosA0,cosA=,即=,bc=, ABC的面积S=bcsinA=. 1 2 222 2 bca bc 4 bc 3 2 4 bc 3 2 8 3 3 1 2 1 2 8 3 3 1 2 2 3 3 解题关键解题关键正确利用正弦定理

15、将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键. 7.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则 b=. 4 5 5 13 答案答案 21 13 解析解析由已知可得sinA=,sinC=,则sinB=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得 =b=. 3 5 12 13 3 5 5 13 4 5 12 13 63 65 sin a Asin b B 63 1 65 3 5 21 13 解后反思解后反思在解三角形的问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差的 正、余弦公式及正、余弦定理. 8.(2015天

16、津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c =2,cosA=-,则a的值为. 15 1 4 答案答案8 解析解析因为cosA=-,0A0,由cosB求sinB仅有一正解. 12.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B+C)的值. 1 2 解析解析本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力, 以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB, 得b2=32+c2-23c. 因为

17、b=c+2, 所以(c+2)2=32+c2-23c. 解得c=5.所以b=7. (2)由cosB=-得sinB=. 由正弦定理得sinA=sinB=. 在ABC中,B+C=-A. 所以sin(B+C)=sinA=. 1 2 1 2 1 2 3 2 a b 3 3 14 3 3 14 13.(2019江苏,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值; (2)若=,求sin的值. 2 2 3 sin A a cos 2 B b2 B 解析解析本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考 查运算求解能力.

18、满分14分. (1)因为a=3c,b=,cosB=, 由余弦定理得cosB=,得=, 即c2=.所以c=. 2 2 3 222 2 acb ac 2 3 222 (3 )( 2) 2 3 cc c c 1 3 3 3 (2)因为=, 由正弦定理=,得=,所以cosB=2sinB. 从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B), 故cos2B=. 因为sinB0,所以cosB=2sinB0,从而cosB=. 因此sin=cosB=. sin A a cos 2 B b sin a Asin b B cos 2 B b sin B b 4 5 2 5 5 2 B 2 5 5

19、 14.(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A- sinBsinC. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sinC.2 解析解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运 算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算. (1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cosA=. 因为0A180,所以A=60. (2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120-C)=2sinC,

20、即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-. 由于0C120,所以sin(C+60)=, 故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=. 222 2 bca bc 1 2 2 6 2 3 2 1 2 2 2 2 2 62 4 思路分析思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角 A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正 弦、余弦的等式,利用角度变换求出sinC. 15.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos

21、B=-. (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. 1 2 解析解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考 查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养. (1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得 b2=32+c2-23c. 因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c.解得c=5.所以b=7. (2)由cosB=-得sinB=. 由正弦定理得sinC=sinB=. 在ABC中,B是钝角,所以C为锐角. 所以cosC=. 所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=.

22、 1 2 1 2 1 2 3 2 c b 5 3 14 2 1 sin C 11 14 4 3 7 16.(2018课标全国理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5. (1)求cosADB; (2)若DC=2,求BC. 2 解析解析(1)在ABD中,由正弦定理得=. 由题设知,=,所以sinADB=. 由题设知,ADB90,所以cosADB=. (2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=. 在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25. 所以BC=5. sin BD Asin AB ADB

23、5 sin45 2 sinADB 2 5 2 1 25 23 5 2 5 2 2 5 方法总结方法总结正、余弦定理的应用原则. (1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通 过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用. (2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用. (3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因 式,以免漏解. (4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答 此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解. 17.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,

24、cosB=,C=. (1)求AB的长; (2)求cos的值. 4 54 6 A 解析解析(1)因为cosB=,0B,所以sinB=. 由正弦定理知=,所以AB=5. (2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C), 于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBsin, 又cosB=,sinB=,故cosA=-+=-. 因为0A,所以sinA=. 因此,cos=cosAcos+sinAsin=-+=. 4 5 2 1 cos B 2 4 1 5 3 5 sin AC Bsin AB C sin sin ACC B 2 6 2 3 5 2 4 B 4 4 4 5 3

25、 5 4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 2 1 cos A 7 2 10 6 A 6 6 2 10 3 2 7 2 10 1 2 7 26 20 评析评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数关系与两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力. 18.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍. (1)求; (2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长. sin sin B C 2 2 解析解析(1)SABD=ABADsinBAD, SADC=ACADsinCAD. 因为SABD=2SADC,BAD=CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定

26、理可得=. (2)因为SABD SADC=BD DC,所以BD=. 在ABD和ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 1 2 1 2 sin sin B C AC AB 1 2 2 1.(2018课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为 ,则C=() A.B.C.D. 222 4 abc 2 3 4 6 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用 答案答案C因为a

27、2+b2-c2=2abcosC,且SABC=, 所以SABC=absinC, 所以tanC=1,又C(0,), 所以C=.故选C. 222 4 abc 2cos 4 abC1 2 4 2.(2019课标全国理,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则 ABC的面积为. 3 答案答案6 3 解析解析本题考查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用 考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算. 由b2=a2+c2-2accosB及已知得62=(2c)2+c2-22cc, c=2(c=-2舍去). a

28、=2c=4,ABC的面积S=acsinB=42=6. 1 2 33 3 1 2 1 2 33 3 2 3 3.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;的取 值范围是. 3 4 c a 答案答案;(2,+) 3 解析解析本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换. 依题意有acsinB=(a2+c2-b2)=2accosB, 则tanB=,0B, 又A0,0A, 则0tanA,故+=2.故的取值范围为(2,+). 1 2 3 4 3 4 3 3 c a sin sin C A 2 sin 3 sin A A 1 2 3cos 2sin

29、 A A 1 2 3 2 1 tan A 2 3 2 6 3 3 1 tan A 3 c a 1 2 3 2 3 c a 4.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则 A=. 6 答案答案75 解析解析由正弦定理得=,sinB=, 又cb,B=45,A=75. 3 sin60 6 sinB 2 2 易错警示易错警示本题求得sinB=后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75. 2 2 5.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是 . 答案答案(-,+) 6262

30、 解析解析如图,依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中, 由正弦定理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定 理得=,所以=,即y= =. 2 sinsin75 x sin75 x sin(135) y sin(135) y 2 sin 2sin(135) sin 2sin90(45 ) sin 2cos(45 ) sin 2(cossin ) sin 因为075,+75=180,所以30105, 当=90时,易得y=; 当90时,y=, 又tan30=,tan105=tan(60+45)=-2-,结合正切函数

31、的性质知, 2 2(cossin ) sin 2 1 1 tan 3 3 tan60tan45 1tan60 tan45 3 1 tan (-2,),且0,所以y=(-,)(,+). 综上所述:y(-,+). 33 1 tan 2 1 1 tan 622262 6262 评析评析本题考查了三角函数和解三角形,利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题. 6.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=. sin2 sin A C 答案答案1 解析解析在ABC中,由余弦定理可得cosA=,由正弦定理可知= =1. 222 2 bca bc 222 564 2 5 6 3 4

32、sin2 sin A C 2sincos sin AA C 2cosaA c 3 24 4 6 评析评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算 求解能力和知识的应用转化能力. 7.(2019课标全国文,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsinA. (1)求B; (2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围. 2 AC 解析解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌 握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得

33、sinAsin=sinBsinA. 因为sinA0,所以sin=sinB. 由A+B+C=180,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos0,故sin=,因此B=60. 2 AC 2 AC 2 AC 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B 2 B1 2 (2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a. 由正弦定理得a=+. 由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90. 由(1)知A+C=120,所以30C90, 故a2,从而SABC. 3 4 sin sin cA C sin(120) sin C C 3 2tanC 1 2 1 2 3 8 3 2 因此,ABC面积的取值

34、范围是. 33 , 82 思路分析思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B. (2)用正弦定理先表示出a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC 面积的取值范围. 8.(2018北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cosB=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 1 7 解析解析(1)在ABC中,因为cosB=-,所以sinB=. 由正弦定理得sinA=. 由题设知B,所以0A.所以A=. (2)在ABC中, 因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=, 所以AC边上的高为asinC=7=. 1 7 2 1

35、 cos B 4 3 7 sinaB b 3 2 2 2 3 3 3 14 3 3 14 3 3 2 9.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos. (1)求角B的大小; (2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 6 B 解析解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余 弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力. (1)在ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,得asinB=a- cos,即sinB=cos,可得tanB=

36、.又因为B(0,),可得B=. (2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=. 由bsinA=acos,可得sinA=. 因为ac,故cosA=. 因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=. 所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=-=. sin a Asin b B6 B 6 B 6 B 3 3 3 7 6 B 3 7 2 7 4 3 7 1 7 4 3 7 1 2 1 7 3 2 3 3 14 10.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已

37、知ABC的面积为 . (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长. 2 3sin a A 解析解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行 运算求解的能力. (1)由题设得acsinB=,即csinB=. 由正弦定理得sinCsinB=. 故sinBsinC=. (2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-, 即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=. 由题设得bcsinA=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故ABC的周长为3+. 1 2 2

38、3sin a A 1 23sin a A 1 2 sin 3sin A A 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1 2 2 3sin a A 33 33 思路分析思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsinB=,然后利用正弦定理,把边转化 成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc 的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长. 1 2 2 3sin a A 方法总结方法总结解三角形的综合应用. (1)应用正弦定理

39、、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计 算,例如:将csinB=变形为sinCsinB=. (2)三角形面积公式:S=absinC=acsinB=bcsinA. (3)三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+ C)=sinA. 1 23sin a A 1 2 sin 3sin A A 1 2 1 2 1 2 11.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0, a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积. 3 7

40、解析解析本题考查解三角形. (1)由已知可得tanA=-,所以A=. 在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由题设可得CAD=, 所以BAD=BAC-CAD=. 故ABD面积与ACD面积的比值为=1. 又ABC的面积为42sinBAC=2, 所以ABD的面积为. 3 2 3 2 3 2 6 1 sin 26 1 2 AB AD AC AD 1 2 3 3 思路分析思路分析(1)由sinA+cosA=0,可求得tanA=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余 弦定理求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的

41、值,再由SABC=42sin BAC=2得解. 33 2 3 2 6 ABD ACD S S 1 2 3 一题多解一题多解(2)另解一:由余弦定理得cosC=,在RtACD中,cosC=,CD=,AD= ,DB=CD=,SABD=SACD=2sinC=. 另解二:BAD=,由余弦定理得cosC=,CD=, AD=,SABD=4sinDAB=. 另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2, BE=CA,从而可得ADC EDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sin CAB=. 2 7 AC CD 7 37 1 2 77 3 7

42、 3 6 2 7 7 3 1 2 33 2 3 2 6 1 2 1 2 1 2 3 12.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长. 7 3 3 2 解析解析(1)由已知及正弦定理得, 2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分) 2cosCsin(A+B)=sinC. 故2sinCcosC=sinC.(4分) 可得cosC=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absinC=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦

43、定理得,a2+b2-2abcosC=7. 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分) 所以ABC的周长为5+.(12分) 1 23 1 2 3 3 2 3 7 评析评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式 也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转 化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解. 13.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求B的大小; (2)求cosA+cosC的最大值. 2 2 解析解析(1)由余弦定理及题设得cosB=. 又因为0B,所以B=.

44、(6分) (2)由(1)知A+C=. cosA+cosC=cosA+cos =cosA-cosA+sinA =cosA+sinA =cos.(11分) 因为0A, 所以当A=时,cosA+cosC取得最大值1.(13分) 222 2 acb ac 2 2 ac ac 2 2 4 3 4 22 3 4 A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 A 3 4 4 2 思路分析思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角 形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解. 评析评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性

45、质.属中档题. 14.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角. (1)证明:tan=; (2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值. 2 A1 cos sin A A 2 A 2 B 2 C 2 D 解析解析(1)证明:tan=. (2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B. 由(1),有tan+tan+tan+tan =+ =+. 连接BD. 在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcosA, 在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC, 所以AB2+AD2

46、-2ABADcosA=BC2+CD2+2BCCDcosA. 则cosA=. 于是sinA=. 2 A sin 2 cos 2 A A 2 2sin 2 2sincos 22 A AA 1 cos sin A A 2 A 2 B 2 C 2 D 1 cos sin A A 1 cos sin B B 1cos(180) sin(180) A A 1cos(180) sin(180) B B 2 sin A 2 sin B 2222 2() ABADBCCD AB ADBC CD 2222 6534 2 (6 53 4) 3 7 2 1 cos A 2 3 1 7 2 10 7 连接AC.同理可得

47、 cosB=, 于是sinB=. 所以,tan+tan+tan+tan =+ =+ =. 2222 2() ABBCADCD AB BCAD CD 2222 6354 2 (6 35 4) 1 19 2 1 cos B 2 1 1 19 6 10 19 2 A 2 B 2 C 2 D 2 sin A 2 sin B 2 7 2 10 2 19 6 10 4 10 3 评析评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识, 考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想. 考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理 C C组教师专用题组组教师专用题

48、组 1.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccos A,则B=. 答案答案 3 解析解析由正弦定理及三角形的内角和定理或余弦定理可得. 解法一:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinBcosB=B=. 解法二:由余弦定理可得2bcosB=a+c,所以2bcosB=b,故cosB=.又B为 ABC的内角,故B=. 1 23 222 2 abc ab 222 2 bca bc 1 2 3 名师点睛名师点睛解三角形问题,多为边或角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件 灵活转

49、化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤: 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实现边角之间的互化. 第三步:求结果. 2.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC=. 23 答案答案 6 解析解析依题意知BDA=C+BAC,由正弦定理得=,sin= , C+BAC=180-B=60, C+BAC=45, BAC=30,C=30.从而AC=2ABcos30=. 1 2 2 sinBDA 3 sinB 1 2 CBAC 2 2 1 2 6

50、3.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求 A和a. AB AC 解析解析本题考查向量数量积的运算及解三角形. 因为=-6,所以bccosA=-6, 又SABC=3,所以bcsinA=6, 因此tanA=-1,又0A0). 则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC. 代入+=中,有+=,变形可得 sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B). 在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sinC, 所以sinAsinB=sinC. sin a Asin b Bsi

51、n c C cos A a cosB b sinC c cos sin A kA cos sin B kB sin sin C kC (2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有 cosA=. 所以sinA=. 由(1)可知sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB, 所以sinB=cosB+sinB, 故tanB=4. 6 5 222 2 bca bc 3 5 2 1 cos A 4 5 4 5 4 5 3 5 sin cos B B 评析评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式. 1.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a. (1

52、)求sinC的值; (2)若a=7,求ABC的面积. 3 7 考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用 解析解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式. (1)在ABC中,因为A=60,c=a, 所以由正弦定理得sinC=. (2)因为a=7,所以c=7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b3, 解得b=8或b=-5(舍). 所以ABC的面积S=bcsinA=83=6. 3 7 sincA a 3 7 3 2 3 3 14 3 7 1 2 1 2 1 2 3 2 3 解后反思解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角

53、的关系是解题的关 键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积. 2.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cosB; (2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b. 2 B 解析解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用. (1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去)或cosB=. (2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac. 又SABC=2,则ac=. 由余弦

54、定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4. 所以b=2. 2 B 15 17 15 17 8 17 1 2 4 17 17 2 17 2 15 1 17 解后反思解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要注意“整体运算”的技巧.如本题 中b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的转化就说明了这一点. 3.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高 均为32cm,容器的底面对角线AC的长为10cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别 为14cm

55、和62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为 40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计) (1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度; (2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度. 7 解析解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空 间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力. (1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC. 记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处. 因为A

56、C=10,AM=40, 所以MC=30,从而sinMAC=. 记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足, 则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16. 答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm. (如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm) 7 22 40(10 7) 3 4 11 sin PQ MAC (2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心. 由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG. 同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1. 记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处. 过G作GK

57、E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32. 因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40. 设EGG1=,ENG=, 62 14 2 22 1 KGGK 22 2432 则sin=sin=cosKGG1=. 因为,所以cos=-. 在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin=. 因为00, 所以A. 于是sinA+sinC=sinA+sin =sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1 =-2+. sin cos A A a b sin sin A B2 A 2 , 2 2 2 2 2 A 2 0, 4 2 2 A 2 1 sin 4 A 9 8 因为0A,所以0s

58、inA, 因此-2+. 由此可知sinA+sinC的取值范围是. 4 2 2 2 2 2 1 sin 4 A 9 8 9 8 2 9 , 28 评析评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的 严谨性有较高要求. 5.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sin B)平行. (1)求A; (2)若a=,b=2,求ABC的面积. 3 7 解析解析(1)因为mn,所以asinB-bcosA=0, 由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0, 又sinB0,从而tanA=, 由于0

59、A0,所以c=3. 故ABC的面积为bcsinA=. 解法二:由正弦定理,得=, 从而sinB=, 又由ab,知AB,所以cosB=. 故sinC=sin(A+B)=sin 7 3 1 2 3 3 2 7 sin 3 2 sin B 21 7 2 7 7 3 B =sinBcos+cosBsin=. 所以ABC的面积为absinC=. 3 3 3 21 14 1 2 3 3 2 6.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长. 3 4 2 解析解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-

60、2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理得sinB=, 由题设知0B,所以cosB=. 在ABD中,由正弦定理得AD= =. 22 3 4 10 sinbBAC a 3 3 10 10 10 4 2 1 sin B 1 1 10 3 10 10 sin sin(2 ) ABB B 6sin 2sincos B BB 3 cosB 10 考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理 三年模拟 A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题考点基础题组组 1.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,5)钝角