（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的实际应用课件

1、4.7解三角形的实际应用 第四章 三角函数、解三角形 KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三 角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性题型主要 为填空题或解答题，中档难度 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 测量中的有关几个术语 ZHISHISHULIZHISHISHULI 术语名称术语意义图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中， 目标视线在水平视线上方的叫做仰角， 目标视线在水平

2、视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向 到目标方向线之间的夹角叫做方位角. 方位角的范围是0360 方向角 正北或正南方向线与目标方 向线所成的锐角，通常表达 为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东： (2)南偏西： 坡角与坡比 坡面与水平面所成二面角的 度数叫坡度；坡面的垂直高 度与水平长度之比叫坡比 【概念方法微思考】 在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？ 提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件， 构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题. 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 题组一思考辨析 1

3、23456 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180. () (3)方位角与方向角其实质是一样的， 均是确定观察点与目标点之间的位置关系. () 题组二教材改编 123456 2.P18例1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者 在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m， ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的 距离为_ m. 123456 3.P21T3如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡 向 上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h_米. 1

4、23456 解析由题图可得PAQ30，BAQ15， 在PAB中，PAB15， 又PBC60， PQPCCQPBsin asin 题组三易错自纠 123456 4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶 A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面 上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m. 40 在BCD中，由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD, 3x2x2402240 xcos 120， 即x220 x8000，解得x20(舍去)或x40. 故电视塔的高度为40 m. 123456 5.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是

5、60，C点的俯角 是70，则BAC_. 130 解析6070130. 6.海上有A，B，C三个小岛，A，B相距 海里，从A岛望C和B成45视角， 从B岛望C和A成75视角，则B，C两岛间的距离是_海里. 123456 2题型分类深度剖析 PART TWO 题型一测量距离问题 自主演练自主演练 1.江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上， 由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角， 则两条船相距_m. 解析如图， OMAOtan 4530(m)， 在MON中，由余弦定理得 2.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B

6、的距离， 测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB 30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为_ km. 解析ADCADBCDB60，ACD60， 在BCD中，DBC45， 在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45 解析由已知，得QABPABPAQ30. 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又PB为公共边，PABPQB，PQPA. 在RtPAB中，APABtan 60900，故PQ900， P，Q两点间的距离为900 m. 3.如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选 择山坡上一段长度为 m且和P，Q两点在同一平面内

7、 的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90， PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为 _ m. 900 思维升华 求距离问题的两个策略 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已 知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 题型二测量高度问题 师生共研师生共研 例1 (2018海安测试)如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每 层高均为3 m，在AB正前方36 m处有一建筑物CD，从楼顶A 处测得建筑物CD的张角为45. (1)求建筑物CD的高度； 解如图，作AE

8、CD于点E，则AEBD. 所以DEAB18，AEBD36. 所以CE36tanCAE12. 答建筑物CD的高度为30米. (2)一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物 所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳 效果(不计人的高度)? 解设在第n层M处拍摄效果最佳， 则摄影高度为3(n1)米(如图)(1n6，nN). 作MNCD于N，则DN3(n1)， CN303(n1)333n. tanCMDtan(CMNDMN) 所以当n6时，张角CMD最大，拍摄效果最佳. 答该人在第6层拍摄时效果最好. 思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解

9、法同测量水平面上两点间距离的方法是 类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角 形中. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最 好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不 容易搞错. 跟踪训练1 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔 底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD_. 解析由已知得BCA90，ABC90，BAC，CAD. 题型三角度问题 师生共研师生共研 例2 如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P 在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后

10、到 达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的 仰角为60，已知山高为 千米. (1)船的航行速度是每小时多少千米？ (2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏 东多少度的方向？ 所以，山顶位于D处南偏东45的方向. 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义. (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关 键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的 “联袂”使用. 跟踪训练2 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40

11、的方向上，灯 塔B在观察站C的南偏东60的方向上，则灯塔A在灯塔B的 _的方向上. 北偏西10 解析由已知得ACB180406080， 又ACBC，AABC50，605010， 灯塔A位于灯塔B的北偏西10的方向上. 3课时作业 PART THREE 解析如图所示， 由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos B 10040021020cos 120700， 1.已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得 ABC120，则A，C两地间的距离为_ km. 基础保分练 12345678910111213141516 1234567891011121314151

12、6 2.在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，光源射向地面的 光呈圆锥体，且其轴截面的顶角为120，若要求光源恰好照亮整个广场，则 光源的高度为_ m. 12345678910111213141516 3.某人在C处测得A地和B地距离C地分别为20米和30米，且测得张角ACB 120，则A，B两地的距离为_ 米. 解析由余弦定理得 又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45. 12345678910111213141516 4.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m， 50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD

13、的 张角为_. 45 又CD50，所以在ACD中， 12345678910111213141516 5.如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一 水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC 30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高 AB_. 解析在BCD中，CBD1801530135. 12345678910111213141516 6.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此 时气球的高是60 m，则河流的宽度BC_m. 12345678910111213141516 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在RtACD

14、中， 12345678910111213141516 7.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75的斜坡改 造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长 _m. 解析设坡底需加长x m， 12345678910111213141516 8.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一 艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相 距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则 cos _. 12345678910111213141516 解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得BC2

15、AB2AC22ABACcos 1202 800， 由ACB30，得cos cos(ACB30) 12345678910111213141516 9.一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏 西75，则这艘船的速度是每小时_海里. 10 解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而CDCA10， 在RtABC中，得AB5， 12345678910111213141516 10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB， C是该小区的一个出入口，且小区里有一条

16、平行于AO的小 路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到 C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形 的半径为_米. 解析如图， 连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60. 由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500， 12345678910111213141516 11.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD， 为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿 山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _. 12345678910111213

17、141516 解析由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30. 12345678910111213141516 12.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与 岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发 沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方 向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度； 12345678910111213141516 解依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得BC28. 123

18、45678910111213141516 (2)求sin 的值. 解在ABC中，因为AB12，BAC120， BC28，BCA， 技能提升练 12345678910111213141516 13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1 的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两 塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，则从塔BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为_；塔BB1的高为_ m. 45 12345678910111213141516 解析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为， 则AA160tan

19、，BB160tan 2. 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角， AA1BB1900，3 600tan tan 2900， 12345678910111213141516 14.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风 暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都 将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为_h. 15 12345678910111213141516 解析记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置， 在OAB中，OA600，AB20t，OAB45， 拓展冲刺练 12345678910111213141516 15.某舰艇在A处测得一艘遇险渔船在其北偏东40的方向距离A处10海里的C处， 此时得知，该渔船正沿南偏东80的方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近， 若舰艇的时速为21海里，则舰艇追上渔船的最短时间是_小时. 123456789