[高考数学复习课件]2011年高考数学第一轮知识点总复习(12

1、第五节第五节 曲线与方程曲线与方程 基础梳理基础梳理 1. 曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x,y)=0是曲线C的方程，或曲线C是方程f(x,y)=0的曲线，则 必须满足以下两个条件： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解. （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 2. 求曲线方程的步骤 （1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的 坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合P=MP(M); (3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 典例分析典例分析

2、 题型一题型一 直接法求曲线方程直接法求曲线方程 【例1】已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为坐标平面上的动点，过P作 直线l的垂线，垂足为点Q，且 .求动点P的轨迹方程C.QP QFFP FQ 分析分析 设P点坐标为(x,y),再表示出Q点， 的坐标，直接 代入满足的条件求P点的轨迹方程. ,QP QF FP FQ 解解 设动点P(x,y)，则Q(-1,y),由 ，得 （x+1,0）(2,-y)=(x-1,y)(-2,y). 化简得C： =4x. QP QFFP FQ 2 y 学后反思学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几 何条件简单明了易于表达时，只要将这种

3、关系“翻译”成含x、y的等式 就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为直接法. 举一反三举一反三 1. 如图，过点P(2,4)作互相垂直的直 线 、 .若 交x轴于A, 交y轴于B，求线 段AB的中点M的轨迹方程. 2l1l1l2l 解析：解析：设点M的坐标为（x,y）, M是线段AB的中点， A的坐标为（2x,0），B的坐标为（0，2y)， =(2x-2,-4), =(-2,2y-4). 由已知 ，得-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即x+2y-5=0.故线段AB中点M的轨迹方程为x+2y- 5=0. PA PB 0PA PB 题型二题型二 利用定义或待定系数法求曲线方程利用定

4、义或待定系数法求曲线方程 【例2】已知圆 和圆 ，动圆M同时与 圆 及圆 相外切.求动圆圆心M的轨迹方程. 22 1: 1 (3)xyC 22 2 :9 (3)xy C 1C 2C 分析分析 设圆 半径 ,圆 半径 ,动圆M半径R,则由两圆外切性质得 (定值)0，故可考 虑用双曲线定义求轨迹. 1r2r 1212 ,RR MCMCrr 2121MCMCrr 1C2C 解解 设动圆M与圆 及圆 分别外切于点A和点B， 根据两圆外切的充要条件，得 . MA=MB, , 即 这表明动点M到两定点 、 的距离的差是常数2. 1C2C 11 MA MCAC 22 MB MCBC 1122MCACMCBC

5、 2121MCMCBCAC 2C1C 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到 的距 离大，到 的距离小）， 其中a=1,c=3,则 =8,设点M的坐标为（x,y）, 其轨迹方程为 (x-1). 学后反思学后反思 解决本题的关键是找到动点M满足的条件，对于两圆相切问 题，自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动点的轨迹是双曲线的一 支，且可求出a,b时，就可直接写出其标准方程，这种求曲线方程的方 法称之为定义法. 2 2 1 8 y x 2 b 2C 1C 举一反三举一反三 2. （2010泰安联考）一动圆过定点（c,0）且与定圆 (a 0，c0）相切，求动圆圆心的轨迹方程. 22

6、2 () 4 x cy a 解析：解析：如图，记 （c,0）， （- c,0），即 是已知定点， 是已 知定圆的圆心，动圆圆心P（x,y）， 由于 与定圆 有三种位置关系， 所以分三种情况讨论： 1F 2F 2F1F 2F 1F （1）当 在定圆 内，即ca时，动圆P只 能与定圆 内切，所以有 ，轨迹方程为 . （2）当 在定圆 上，即c=a时，动圆P与定圆相切于点 ，轨迹方程 为直线y=0（点 , 除外）. （3）当 在定圆 外，即ca时，若动圆P与定圆 外切， 则 . P点的轨迹为以（-c,0），（c,0）为焦点，实轴长为2a的双曲线右半 支，其方程为 （xa）. 2F1F 1F 12 2

7、a PFPF 2 2 222 1 y x aac 2F1F 2F1F 2F 2F 1F 1F 12 2a PFPF 2 2 222 1 y x aca 解解 设A( ,0),B(0, ),P(x,y), 则 =(x- ,y), =(-x, -y),又 , 所以 得 . 因为AB= ，即 ,所以 AP 0 x 0 y 0 0 2 (1) ,(12) 2 xy y x 2 2 APPB 0 0 22 ,() 22 xx yy y x 12 2 2 22 (1)(12) (12) 2 xy 2 2 2 00 (12) y x 0 x0 y PB 题型三题型三 用相关点法求轨迹方程用相关点法求轨迹方程

8、 【例3】已知长为 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑 动，P是AB上一点，且 .求点P的轨迹方程. 12 2 2 APPB 分析分析 由A、B两点分别在x轴、y轴上,且 ,得P点的坐标 可以用A、B两点的坐标表示出来，而|AB|= ,故可求得A、B坐标 满足的关系式，再把P点的坐标代入所求的关系式即可得到P点的轨迹 方程. 2 2 APPB 12 所以点P的轨迹方程为 . 学后反思学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并 充分利用题设建立它们之间的相关关系，对它们进行转化和化简，最后 求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程求另外一 点的轨

9、迹方程的方法称为代入法或相关点法. 化简得 2 2 1 2 x y 2 2 1 2 x y 解析：解析：设矩形APBQ的顶点Q的坐标为(x,y),AB中点R的 坐标为（ ）, 则 代入方程 ,得 1 1 , y x 1 1 40 , 222 xyy y x 2 2 1 4100 11 y xx 举一反三举一反三 3. 如图所示，已知P（4，0）是圆 内的一点，A、B是圆上两动点，且满足 APB=90.A、B中点R的轨迹方程为 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程. 2 2 36 y x 2 2 4100 x y x ，整理得 , 故矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为 . 2 2 56 y x 22

10、4 4100 2 4 ()() 22 xxy 2 2 56 y x 题型四题型四 用参数法求轨迹方程用参数法求轨迹方程 【例4】(12分)设椭圆方程为 ,过点M（0，1）的直线l交椭圆 于点A、B，O是坐标原点,l上的动点P满足 .当l绕点M旋转时， 求动点P的轨迹方程. 2 2 1 4 y x 1 (0 ) 2 OPOAB 分析分析 设出直线l的方程和A、B两点的坐标，并将直线l的方程与椭圆方 程联立，求出 ,由 可表示出点P的 坐标，再用消参法求出P点的轨迹方程. 12 12 ,y y xx 1 (0 ) 2 OPOAB 解解 直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的

11、方程为 y=kx+1.1 设A（ ）、B( )，由题设可得点A、B的坐标 （ ）、（ ）是方程组 的解 1 1 ,y x 2 2 ,y x 1 1 ,y x2 2 ,y x 2 2 1, 1, 4 ykx y x 将代入并化简,得 ,4 所以 ， . 6 于是 .8 设点P的坐标为（x,y）,则 消去参数k,得 .10 当直线l的斜率不存在时，A、B的中点坐标为原点（0，0），也满足 方程，所以点P的轨迹方程为 .12 22 (4)230kx k x 2 12 2 12 2 8 4 4 k xx k yy k 1212 22 1 0(,) 222 8 (,) 44 OPAOB k yy xx

12、kk 2 2 0 4 y y x 2 2 8 4 4 k x y k k 2 2 0 4 y yx 学后反思学后反思 本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不 易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y， 从而得到动点轨迹的参数方程 ,消去参数t，便可得到动点P的 轨迹方程.其中应注意方程的等价性和参数t与动点P（x,y）关系的密切性. ( ) ( ) xf t yg t 举一反三举一反三 4. 过抛物线 的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线 相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程. 2 4x y 解析：解析：由题意知，两直线的斜率都存在，设直

13、线OA的斜率为k， 则OA：y=kx,OB: .由 ，得 A 同理，由 ， ，得 设P(x,y),则 由 ,得 即 . 所以线段AB的中点P的轨迹方程为 . 1 yx k 2 4 ykx x y 2 44 (,) k k 2 1 4 yx k x y 2 2 1 2 () 1 2 () x yk k k k 2 2 2 28x y 2 28x y 2 28x y 易错警示易错警示 【例】过点P(0,-2)的直线l交抛物线 于A、B两点，求以OA、OB 为邻边的OAMB的顶点M的轨迹方程. 2 4x y 错解错解 如右图，设M(x,y),A( ),B( ),直 线l的方程为y+2=kx,即y=k

14、x-2. 由 ，消去y,得 , 四边形OAMB为平行四边形, ,消去k,得 M点的轨迹方程为 1 1 ,y x 2 2 ,y x 2 2 4 ykx x y 22 4(1)40k k x 22 1212 4(1)4 , k xxx x kk 12 12 4 ()4k k yyxx 2 12 12 4(1) 4 k x y k xx k yy 2 4(1) (2) x y 2 4(1) (2) x y 错解分析错解分析 直线l与抛物线交于不同的两点A、B,则l的斜率一定存在 且受有两个交点的限制,故应由此确定k的取值范围，错解中忽视了k 的取值范围，导致错误. 正解正解 设M(x,y),A( )

15、,B( )，直线l的方程为 y+2=kx，即y=kx-2. 由 ,消去y,得 ， , 又四边形OAMB为平行四边形， , 消去k,得 又l与抛物线 交于不同两点A、B, 解得 ,又 ,y0. 综上,点M的轨迹方程为 (y0). 1 1 ,y x 2 2 ,y x 2 2 4 ykx x y 22 4(1)40k k x 22 1212 4(1)4 , k xxx x kk 12 12 4 ()4k k yy xx 2 12 12 4(1) 4 k x y k xx k yy 2 4(1) (2) x y 2 4x y 2 2 16(21)0 4(1) 16 k k 1 2 k 4 y k 2

16、4(1) (2) x y 考点演练考点演练 10. 设Q是圆C : 上的动点，另有A(1,0),线段AQ的垂 直平分线交直线CQ于点P，当点Q在圆上运动时，点P的轨迹方程 是 . 22 16 (1)xy 解析解析: :设P(x,y), 点P是线段AQ垂直平分线上的一点， PA=PQ, PA+PC=PC+PQ=42, 点P的轨迹是以点A、C为焦点的椭圆， 且a=2,c=1, =3, 点P的轨迹方程为 . 2 b 2 2 1 43 y x 答案答案: : 2 2 1 43 y x 11. 已知定点M（0，2）、N（0,-2）、Q（2，0），动点P满足 （mR）. （1）求动点P的轨迹方程，并说明轨

17、迹的形状； （2）当m=0时，求 的取值范围. 2 0MP NPm PQ 2MP NP 解析解析：（1）设P(x,y)，则 =(x,y-2)， =（x,y+2）， =（2- x,-y）， ， 整理得 若m=1，方程为x=2，表示过点（2，0）平行于y轴的直线； 若m1，方程化为 ，表示以 为 圆心，以 为半径的圆. MP NP PQ 2 2222 (2)()(2)PQxyxy 2 2 4MPNP y x 2 2 (1)(1)4440mmmxm y x 22 222 ()() 11 m yx mm 2 (,0) 1 m m 2 1m （2）当m=0时，方程化为 ， ， ， . 又-2y2， 的取

18、值范围是4，8. 12. （12分）（2008湖北） 如图，在以点O为圆心，AB=4为直径的半 圆ADB中，ODAB,P是半圆弧上一点， POB=30.曲线C是满足MA-MB 为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方 程； （2）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两 点E、F.若OEF的面积不小于22，求直线l斜 率的取值范围. 2 2 4 y x 2(3 ,32)MPNPxy 2 2 2124 9 9 MP NPy y x 2 2 4 y x |2|40 12MPNPy 2MP NP 解析：解析：(1)以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平 面直角坐标系， 则A(-2,0),B(2,0),D(0,2),P( ,1), 依题意，得MA-MB=PA-PB 曲线