05第五节定积分的几何应用

1、第五节定积分的几何应用分布图示面积表为定积分的步骤定积分的微元法例平面图形的面积例12例3例4例5直角坐标系情形参数方程情形例6例7极坐标系情形例8例9旋转体的体积例10例11例12平行截面面积为已知的立体的体积例13平面曲线的弧长例14例15例16例17内容小结课堂练习习题5-5返回内容要点一、直角坐标系下平面图形的面积讨论定积分bbbAf (x)dxA = | f (x) |dxA = f (x) g(x)dx.的几何意义二、极坐标系下平面图形的面积设曲线的方程由极坐标形式给出r =r(0) (X8 邛)，则由曲线r二r(=)，射线v - :和-;所围成的曲边扇形的面积微元所求曲边扇形的面

2、积1 2 dArA 二 1 G)2dn a 2例题选讲直角坐标系下平面图形的面积2 2例1 (E01)求由y二x和y = x所围成的图形的面积解 面积微元：dA = (、x -x2)dx所求面积：A二o (、. xx2)dx 二33-0例2 (E02)求由抛物线y V = x2与直线y =1 x所围成的面积 解如图，并由方程组y =1 +Xiy =x2 -1解得它们的交点为(-1,0),(2,3).选x为积分变量，则x的变化范围是-1,2, 任取其上的一个区间微元x, x dx,则可得到相应面积微元dA=(1 x) - (x2 -1) dx,从而所求面积2 2A 二.丿(1 x) -(x一 1

3、)dx 二 9.2例3 求由y2 =2x和y=x-4所围成的图形的面积.一 (y2 解面积微兀：dA = y + 4 _ dy, 2丿c44 y22)所求面积：A = . dA =打 y +4 - 一 dy =18.例4 计算由曲线y=x36x和y=x2所围成的图形的面积。 解面积微元:(1)32x -2,0, dA = (x -6x-x )dx,23x 0,3, dA2 = (x - x 6x)dx,所求面积:3032530 dA2(x3 -6x - x2)dx 亠 i (x2 - x3 6x)dx =2 2求椭圆笃-与=1所围成的面积a2 b2解 椭圆面积：A =4A面积微元：dA = y

4、dx,a0乂 2A = 4 0 ydx = 4 二bsuntd(acost) =4ab 2 sin tdt 二 ab.2例 5 (E03)例6 (E04) 求双纽线 2=a2cos2v所围平面图形的面积1解 面积微元：dAA2 cos2rdH2所求面积：A =4 jdA =4 ocos?巾 -a2.极坐标系下平面图形的面积例7 (E05) 求心形线r =a(1 cost)所围平面图形的面积 (a .0).1解 面积微元：dAa2(1 cosr)2d)2所求面积：A =2 dA=a2(1 2cosv cos2v)dv - a2 3 2sin v-3 二a2.0、024_02例8连接坐标原点o及点

5、p(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形 它绕x轴旋转构成一个半径为r,高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积 .解体积微元：r 2dV“x) dx,所求体积:二r2 x3 h 十02x例9 (E06)计算由椭圆a2爲=1围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体b2解 如图所示，该旋转体可视为由上半椭圆y =b .a2 _x2及x轴所围成的图形绕 x轴a旋转而成的立体.取x为自变量，其变化区间为的小薄片的体积，近似等于底半径为-a, a,任取其上一区间微元x, x dx,相应于该区间微元b . a2 -x2,高为dx的扁圆柱体的体积，即体积微元ab2dV =二葺(a2 -x2)dx

6、,a故所求旋转椭球体的体积为aV 二 dV 二-ab2 ab2ab22ba22b2(a2 -x2)dx =2 亍(a -x2)dx =22a2a2 0a23、2 xa x-3a =兰兀ab2.03特别地，当a =b =R时，可得半径为 R的球体的体积V二4二R3.3例10计算由连续曲线X二(y)、直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积.解体积微元：dV -二(y)2dy,所求体积：d2V = J 叫(y) dy.c例11求曲线xy =4,y _1,x . 0所围成的图形绕 y轴旋转构成旋转体的体积 解体积微元：2 16 dV =X dy -二 2 dy y所求体

7、积：V lim 二 b_耳b 16：162 dy =二y例12求由曲线y = x2, y =2 -X2所求围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积解 做草图，并求得曲线y=x2及y=2-x2的交点坐标分别为(-1,1)及(1,1).1Vx =2二 0(2-x)2 -x4dx=必 0 ( . y) dy -1 ( 2-y) dy例13 (E08) 平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角(图6-3-9)，计算这平面截圆柱体所得立体的体积解截面面积：A(x) (R x )tant,2体积微元：dV =A(x)dx,所求体积：R 2223V =12 二 (R2x2)ta n：dx

8、R3 ta n：.-R3例14 (E09)求圆x2y2二R2的周长.解 如图，将圆的方程化为参数方程x =Rcos：i(0 _2二),则所求圆周长s = . (x)2 (y.2dv -Rsin v)2 (Rcos)2dv - R_ 2:R.2 2例15 (E10)求曲线y x上相应于x从a到b的一段弧的长度3i解 y = x2,弧长微元：ds = . 1 ydx = 1 - xdx,所求弧长:bs =.1 xdxa332= -(1 b)2 -(1 a)2.例16 计算星形线x=acos3t, y = asin3t的全长.解 由图形(如图)的对称性可知，星形线的全长为其在第一象限部分的4倍则由弧长公式得L=.2(t) ：2(t)dt =4 ,、9a2 cos4 tsin2t 9a2sin4tcos2tdt3=4 ,3as in t cost dt =4；3as in td si nt =4 J ad (si nt)2 =6a.例17 (E11)求心形线r =a(1 cost)的周长.解 如图，此心形线关于极轴对称.s = ；a(1 cost)2 (asin v)2d r