2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2 函数的单调性与最值课件 理 新人教A版

1、2.2函数的单调性与最值 第二章函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 1.函数单调性的定义 知识梳理 ZHISHISHULIZHISHISHULI 增函数减函数 定义 设函数yf(x)的定义域为A，区间MA，如果取区间M中任意两个 值x1，x2，改变量xx2x10，则当 时，就称函 数yf(x)在区间M上是增函数 时，就称函数 yf(x)在区间M上是减函数 yf(x2)f(x1)0yf(x2)f(x1)0 图象 自左向右看图象是_自左向右看图象是_ 下降的上升的 2.单调性与单调区

2、间 如果一个函数在某个区间M上是 或是 ，就说这个函数在这个 区间M上具有单调性，区间M称为 . 3.函数的最值 前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的xI，都有； (2)存在x0I，使得_ (3)对于任意的xI，都有； (4)存在x0I，使得_ 结论M为最大值M为最小值 增函数减函数 单调区间 f(x)Mf(x)M f(x0)Mf(x0)M 1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？ 【概念方法微思考】 题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增

3、函数.() (2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，). () (3)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).() (4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定 义域上是增函数.() (5)所有的单调函数都有最值.() 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 12345678 题组二教材改编 123456 2.函数f(x)x22x的单调递增区间是_. 1，)(或(1，) 78 2 12345678 4.若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是 _. 123456 (，2 解析由题意知，2，)m，)，m2.

4、78 123456 题组三易错自纠 5.函数y 的单调递减区间为_. 2 1 2 log (4)x (2，) 78 12345678 123456 7.函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范 围是_. 1,1) 解得1a1. 78 12345 2 解析当x1时，函数f(x) 为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1) 1； 当x0， 则y ， 1 2 log t t2x23x1的单调递增区间为(1，). 2 1 2 log (231)xx 函数y 的单调递减区间为(1，). 1 2 log t又y 在(1，)上是减函数， 0,1) 例2判断并

5、证明函数f(x)ax2 (其中1a3)在1,2上的单调性. 命题点2讨论函数的单调性 证明：设1x1x22，则 由1x10,2x1x24， 又因为1a3，所以2a(x1x2)0，即f(x2)f(x1)， 故当a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增. 如何用导数法求解本例？ 引申探究 因为1x2，所以1x38，又1a0，所以f(x)0， 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法 和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象 法，图象不连续的单调区间不能用“”连接.(4)具有单调性函数的加减. 思维升华 跟踪训练1(1)下列函数中，满

6、足“x1，x2(0，)且x1x2，(x1x2) f(x1)f(x2)0”的是 A.f(x)2x B.f(x)|x1| C.f(x) x D.f(x)ln(x1) 解析由(x1x2)f(x1)f(x2)0，即a1，因此g(x)的单调递减区 间就是y|x2|的单调递减区间(，2. (，2 (3)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_. 1,2 画出f(x)图象， 由图知f(x)的单调递减区间是1,2. 题型二函数的最值 自主演练自主演练 1,1) 故所求函数的值域为1,1). 解析由1x20，可得1x1. 可令xcos ，0， 3.函数y|x1|x2|的值域为_. 作出函数的图象如图所示. 根据

7、图象可知，函数y|x1|x2|的值域为3，). 3，) 3 所以f(x)在1,1上单调递减，故f(x)在1,1上的最大值为f(1)3. 6.若函数f(x)x2axb在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则Mm A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 解析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在0,1上的最小值点与最大值点， 显然此值与a有关，与b无关. 故选B. 方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形 状一定.随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与 最小值分别变为Mk，mk，

8、而(Mk)(mk)Mm，故与b无关.随着a 的变动，相当于图象左右移动，则Mm的值在变化，故与a有关，故选B. 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方 法求最值. (4)分离常数法：形如求y (ac0)的函数的值域或最值常用分离常数法 求解. (5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后 用均值不等式求出最值. 思维升华 题型三函数单调性的应用 命题点1比较函数值的大小 例3已知函

9、数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时， f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac 多维探究多维探究 解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减 函数， 解析因为函数f(x)ln x2x在定义域上单调递增，且f(1)ln 122， 所以由f(x24)2得f(x24)f(1)， 命题点2解函数不等式 例4已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)1)是增函数， 故a1，所以a的取值范围为10恒成立. 当a0时，g(x)x在(0,1)上单调递增且g(x)0，符合题意； 所以g(x)在(0,1)上单调递增，符合题意

10、； 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. (2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解， 应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数. 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； 需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上 也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 思维升华 所以yf(x)在(，)上是增函数. (2)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上单调递增，且0，则不等式 0的解集为_. 1 9 logfx f(x)在(，0)上也单调递增. 1 9 lo

11、gfx 1 9 logfx 1 9 log x 1 9 log x 3课时作业 PART THREE 1.下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是 基础保分练 解析函数yln(x2)的增区间为(2，)，所以在(0，)上一定是增 函数. 12345678910111213141516 2.函数y 的单调递增区间为 解析由x2x60，得2xf(3)f(2) B.f()f(2)f(3) C.f()f(3)f(2) D.f()f(2)f(3)f(2)， 即f()f(3)f(2). 12345678910111213141516 12345678910111213141516 f(x)是R上的减函数.

12、12345678910111213141516 解析当x0时，f(x)(xa)2，f(0)是f(x)的最小值，a0.当x0时，f(x) x a2a，当且仅当x1时取“”. 要满足f(0)是f(x)的最小值，需2af(0)a2，即a2a20， 解得1a2. a的取值范围是0a2.故选D. A.1,2 B.1,0 C.1,2 D.0,2 6.已知定义在R上的奇函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x22xa)f(x1) 对任意的x1,2恒成立，则实数a的取值范围为 12345678910111213141516 解析依题意得f(x)在R上是减函数， 所以f(x22xa)x1对任意的x1,2恒成立，

13、 等价于ax23x1对任意的x1,2恒成立. 设g(x)x23x1(1x2)， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 7.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a ，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a， b，c的大小关系为_. abc 解析f(x)在R上是奇函数， 又f(x)在R上是增函数， 且log25log24.1log24220.8， f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc. 解析当a0时，f(x)2x3在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上 单调递增； 1234567891011121314151

14、6 8.如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上单调递增，则实数a的取值范围 是_. 9.记mina，b 若f(x)minx2,10 x(x0)，则f(x)的最大值为_. 6 易知f(x)maxf(4)6. 12345678910111213141516 解析作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满 足a4或a12， 即a1或a4. 12345678910111213141516 10.设函数f(x) 若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增， 则实数a的取值范围是_. (，14，) (1)若a2，试证f(x)在(，2)上单调递增； 设x1x20

15、，x1x20， 所以f(x1)f(x2)0， 即f(x1)0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围. 12345678910111213141516 解设1x10，x2x10， 所以要使f(x1)f(x2)0， 只需(x1a)(x2a)0恒成立， 所以a1. 综上所述，00且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a 1)20，a1. 从而f(x)x22x1. 12345678910111213141516 (2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取 值范围. 解由(1)可知f(x)x22x1， g(x)f(x)kxx2(2k)x1， 123

16、45678910111213141516 得k2或k6. 即实数k的取值范围为(，26，). 13.已知函数f(x) 若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是 A.(，1)(2，) B.(，2)(1，) C.(1,2) D.(2,1) 技能提升练 解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连 续的曲线. 又当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数， 函数f(x)是定义在R上的增函数.因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x， 即x2x20，解得2xf(2ax)在a，a1上恒成立， 则实数a的取值范围是_. 12345678910111213141516 (，2) 12345678910111213141516 解析二次函数y1x24x3的对称轴是x2， 该函数在(，0上单调递减， x24x33，同样可知函数y2x22x3在(0，)上单调递减， x22x3f(2ax)得到xa2ax， 即2xa，2xa在a，a1上恒成立， 2(a1)a， a2可化为f(2x1)f(2x)， 又由题意知函数f(x)在R上单调递增， 16.已知定义在区间(0，)上的函数f(x)是增函数，f(1)0，f(3)1. (1)解不等