竖直方向上的弹簧振子

1、竖直方向上的弹簧振子周峰1. 竖直方向上的简谐运动模型由简谐运动的定义可知，要证明物体做简谐运动可从两方面入手：回复力大小跟物体偏离平衡位置的位 移成正比；回复力方向总指向平衡位置。下面就来证明竖直方向上的弹簧振子做简谐运动。如图1,把一个质量为m的有孔小球系在劲度系数为 k的轻弹簧的上端，弹簧的下端固定，小球穿在光滑 的竖直杆上，可以在竖直杆上滑动。小球静止在0点时，回复力为零。0点是振动的平衡位置，此时弹簧处于压缩状态，设压缩量为，则有。把小球拉到平衡位置上方 M点，偏离平衡位置 0点的位移为A，然后释放，则在振动过程的任意位置（以 图中的P点和Q点为例，设偏离平衡位置的位移分别为 和；）

2、进行受力分析，根据牛顿第二定律分别 有在P点：若弹簧被拉伸，回复力的大小若弹簧仍处于压缩状态，回复力的大小在Q点，弹簧处于压缩状态，回复力大小在此过程中，回复力 F的方向始终指向平衡位置。因此，竖直方向的弹簧振子做的是简谐运动。图2与图1中的情况基本相同，同学们可自行分析。2. 与水平方向弹簧振子的比较分析竖直方向的弹簧振子，要透彻理解平衡位置、振幅、回复力等重要概念，还要准确运用简谐运动中 一些物理量的对称性特点，合理地进行类比、推理。另外，分析弹簧模型的受力、能量及临界条件也是 必不可少的。例1. 一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为，弹簧的上端与盒子 A连接在一起，盒子内装物体B，B的上下

3、表面恰好与盒子接触，A和B的质量二吃，g=10m/s2，不计空气阻力，先将A向上抬高使弹簧伸长 5cm后从静止释放，A和B一起上下运动，已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形 变大小。试求：（1）A的振幅；（2）B的最大速率；（3）在最高点和最低点 A与B之间的作用力。分析：（1）设A和B做简谐运动的平衡位置为弹簧的压缩量为时的位置，则得|=工宀故A的振幅为10cm（2）当B运动到平衡位置时速率最大。在A和B运动的初始位置和平衡位置，弹簧的伸长量与压缩量相等，故弹性势能不变。1 2（加川+解E）別二朋山十地Qv由动能定理得-所以 =:（3 ）设A、B 一起运动的最大加速度大小为a （最高点和最低点）

4、，由于牛顿第二定律得（拠虫+觀肚0 = g +脚占上得-.m取B为研究对象，在最高点时有1 - - - 故A对B的作用力：，方向向下；在最低点时有匚兀：S故A对B的作用力=-，方向向上。例2.如图3所示，质量分别为 %和=：的A B两物块，用劲度系数为 k的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45N的力把物块A向下压，使之处于静止，突然撤去压力，则（）A. 物块B有可能离开水平面B. 物块B不可能离开水平面C. 只要k足够小，物块B就可能离开水平面D. 只要k足够大，物块B就可能离开水平面分析：撤去压力后，物体 A在竖直方向上做简谐运动，初始位置的回复力最大，为F=45N。由回复力的对

5、称性特点，当A运动到最高点时，回复力也为45N,方向向下。设此时弹簧弹力为，有。因为 八L：，故物体B不可能离开水平面。选 B。例3.如图4所示，弹簧上端固定在 0点，下端挂一木匣 A,木匣A顶部悬挂一木块 B, A和B的质量都 是1kg，B距木匣底面口 一当它们都静止时，弹簧长度为L。某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚好为零时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为v=1m/s。木块B可看成质点，求：（1）碰撞中的动能损失(2 )弹簧的劲度系数k;(3)开始静止时弹簧的弹性势能。分析：(1)悬挂木块B的细线断开时和弹簧长度又为 L时弹簧的弹性势能相等，故系统机械能损失为AE = fngh-(2i)v2 = 0.6J碰撞中动能的损失等于系统机械能的损失，即= A = 0.6J(2)细线断开后，木匣 A在竖直方向上做简谐运动，到达最高点时弹簧恰好恢复原长，设开始弹簧的伸 长量为厶一，碰撞前B的速度为.，碰撞后共同速度为，则有(3)细线断开后，A做简谐运动到最高点时和B碰撞，碰撞时弹簧为原长，由机械能守恒得Eq -= 0.4J练习：如图5所示，质量为m的物体放在下端固定的弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动。当其振幅为A