高考数学大一轮复习二元一次不等式组与简单的线性规划问题理苏教版

1、 基础知识基础知识自主学习自主学习 题型分类题型分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟提高感悟提高 练出高分练出高分 1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标 系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的 . 我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在坐标 系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域 应 边界直线，则把边界直线画成 . 平面区域 不包括 包括实线 (2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都 ，所以 只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点

2、， 由Ax0By0C的 即可判断AxByC0表示的直 线是AxByC0哪一侧的平面区域. 相同 符号 2.线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的 不等式(或方程)组成的 不等式组 目标函数欲求 或 的函数 线性目标函数关于x，y的 解析式 一次 最大值最小值 一次 可行解满足 的解 可行域所有 组成的集合 最优解使目标函数取得 或 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题 线性约束条件 可行解 最大值最小值 最大值最小值 3.应用 利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域.

3、(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线， 从而确定最优解. (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值. u思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxBy C0的上方.() (2)不等式x2y21 2 解析 作出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分所示，z2xy， 则y2xz.易知当直线y2xz过点A(k，k)时， z2xy取得最小值， 即3k6， 所以k2. 题型一 二元一次不等式( (组) )表示的平面区域 思 维 升 华解 析 解析

4、不等式组表示的平面区域如图所示. 因此只有直线过AB中点时， 思 维 升 华解 析 思 维 升 华解 析 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线， 有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个， 若直线不过原点，则测试点常选取原点. 思 维 升 华解 析 解析 答案 思维升华 例1(2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表 示为_. 两直线方程分别为x2y 20与xy10. 由(0,0)点在直线x2y2 0右下方可知x2y 20， 又(0,0)点在直线xy1 0左下方可知xy10， 解析 答案 思

5、维升华 例1(2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表 示为_. 为所表示的可行域. 解析 答案 思维升华 例1(2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表 示为_. 为所表示的可行域. 解析 答案 思维升华 例1(2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表 示为_. 二元一次不等式(组)表示平 面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域. 注意不等式中不等号有无 等号，无等号时直线画成 虚线，有等号时直线画成 实线.测试点可以选一个， 也可以选多个，若直线不 过原点，则测试点常选取 原点. 解析 答案 思维升华 例1(2)如图阴影部分表示的 区域可用二元一次不等式组表

6、 示为_. 解析直线axy10过点(0,1)， 作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a1)， C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 解得a7. 答案 7 (2)如图所示的平面区域(阴影部分)满 足不等式_. 解析 边界对应直线方程为xy10，且为虚线，区域中 不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足xy10. xy10 解析 答案 思维升华 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且z2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且

7、z2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件 画出可行域， 如图阴影部分所示. 由z2xy， 得y2xz. 解析 答案 思维升华 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且z2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件A(1，1). 解析 答案 思维升华 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且z2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件 B(2，1). 当直线y2xz经过点 A时，zmin2(1)1 3n.当直线y2xz 经过点B时，zmax22 13m，故

8、mn6. 解析 答案 思维升华 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且z2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件 B(2，1). 当直线y2xz经过点 A时，zmin2(1)1 3n.当直线y2xz 经过点B时，zmax22 13m，故mn6. 6 解析 答案 思维升华 线性规划问题的解题步骤： (1)作图画出约束条件 所确定的平面区域和目标 函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条直线； (2)平移将直线平行移 动，以确定最优解的对应 点的位置； 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且z

9、2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件 6 解析 答案 思维升华 (3)求值解方程组求 出对应点坐标(即最优解)， 代入目标函数，即可求 出最值. 题型二 求线性目标函数的最值 例2 (1)(2014广东改编)若变量x， y 且z2xy的最大值和最小值分 别为m和n，则mn_. 满足约束条件 6 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例2 (2)(2013课标全国)已知 a0，x，y满足约束条件 最小值为1，则a_. 若z2xy的 例2 (2)(2013课标全国)已知 a0，x，y满足约束条件 最小值为1，则a_. 若z2xy的 作出不等式组表示的可行 域，如图(

10、阴影部分). 易知直线z2xy过交点 A时，z取最小值， 解析 答案 思维升华 例2 (2)(2013课标全国)已知 a0，x，y满足约束条件 最小值为1，则a_. 若z2xy的 zmin22a1， 解析 答案 思维升华 例2 (2)(2013课标全国)已知 a0，x，y满足约束条件 最小值为1，则a_. 若z2xy的 zmin22a1， 解析 答案 思维升华 例2 (2)(2013课标全国)已知 a0，x，y满足约束条件 最小值为1，则a_. 若z2xy的 线性规划问题的解题步骤： (1)作图画出约束条件 所确定的平面区域和目标 函数所表示的平行直线系 中过原点的那一条直线； (2)平移将直

11、线平行移 动，以确定最优解的对应 点的位置； 解析 答案 思维升华 例2 (2)(2013课标全国)已知 a0，x，y满足约束条件 最小值为1，则a_. 若z2xy的 (3)求值解方程组求 出对应点坐标(即最优解)， 代入目标函数，即可求 出最值. 解析 答案 思维升华 画出可行域如图阴影部分所示， 答案4 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示， 例3某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地 间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的 载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别 为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21 辆车的客运车队，并要求B

12、型车不多于A型车7辆.若每天运 送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最 小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？ 题型三 线性规划的实际应用 解 析思 维 升 华 解设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元， 则z1 600 x2 400y. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)， Q(7,14)，R(15,6). 解 析思 维 升 华 由图可知，当直线z1 600 x2 400y 经过可行域的点P时， 直线z1 600 x2 400y在y轴上的截 距 最小， 即z取得最小值. 故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去 乙地的营运成本最

13、小. 解 析思 维 升 华 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答. 解 析思 维 升 华 跟踪训练3 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲 产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料 1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙 产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原 料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最 大利润是_万元. 解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨， 则获得的利润为z5x3y. 可行域如图阴影所示. 由图可知当x、

14、y在A点取值时，z取得最大值，此时x3， y4，z533427(万元). 答案27 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数 的最值 题型四 求非线性目标函数 的最值 表示点(x，y)与原点(0,0) 连线的斜率， 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数 的最值 表示点(x，y)与原点(0,0) 连线的斜率， 解析 答案 思维升华 常见代数式的几何意义有 题型四 求非线性目标函数 的最值 解析 答案 思维升华 题型四 求非线性目标函数 的最值 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 在坐标平面内画出题中的 不等式组表示的平面区域， 解析 答案 思维升华 结合图形可知，在该平面

15、 区域内的点中， 解析 答案 思维升华 由点(1,0)向直线xy2 引垂线的垂足位于该平面 区域内， 且与点(1,0)的距离最小， 解析 答案 思维升华 由点(1,0)向直线xy2 引垂线的垂足位于该平面 区域内， 且与点(1,0)的距离最小， 解析 答案 思维升华 常见代数式的几何意义有 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 区域是1，平面区域2是与1关于直线3x4y90对称 的区域，对于1中的任意一点A与2中的任意一点B，AB的 最小值为_. 解析 由题意知，所求的AB的最小值， 即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两 倍， (1)设不等式组 跟踪训练4 所表示的平面

16、画出已知不等式表示的平面区域， 如图所示， 可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小， 答案 4 若直线kxy20经过该可行域，则k的最大值为_. (2)设变量x，y满足 解析 画出可行域如图， k为直线ykx2的斜率， 直线过定点(0,2)，并且直线过可行域， 若直线kxy20经过该可行域，则k的最大值为_. (2)设变量x，y满足 要使k最大，此直线需过B(2,4)点， 1 典例：(14分)变量x、y满足 思 维 点 拨规 范 解 答 思想与方法系列10 10 利用线性规划思想求解非线性目标函数 的最值 思 维 点 拨规 范 解 答 作出(x，y)的可行域如图所示. 思 维 点 拨规

17、 范 解 答 4分 思 维 点 拨规 范 解 答 7分 z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率. 思 维 点 拨规 范 解 答 (2)设zx2y2，求z的取值范围； 思 维 点 拨规 范 解 答 (2)设zx2y2，求z的取值范围； 思 维 点 拨规 范 解 答 (2)设zx2y2，求z的取值范围； 解 zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的 平方. 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， 2z29. 11分 思 维 点 拨规 范 解 答 (3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围. 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒 (3)设zx2y26x4y13，求z的取值范

18、围. 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒 解 zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的几何意义是 可行域上的点到点(3,2)的距离的平方. 结合图形可知，可行域上的点到点(3,2)的距离中， dmin1(3)4， 14分 (3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围. 16z64. 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒 (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数 的最值的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目 标函数赋于一定的几何意义. (3)本题错误率较高.出错原因是，很多学生无从入手，缺 乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题. (3)设zx2y26x4y13，求z的取值范围. 思 维 点 拨规 范 解 答温 馨 提 醒 方 法 与 技 巧 1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线). 3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最 好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件； 写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 方 法 与 技 巧 4.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义 可以解决一些非线性规划问题. 失 误 与 防