辅助分析与设计

1、第章第章 自动控制系统计算机辅助分析自动控制系统计算机辅助分析 自动控制系统的计算机辅助分析是以理论分析为依据，在已经建自动控制系统的计算机辅助分析是以理论分析为依据，在已经建 立的自动控制系统数学模型的基础上，通过编程实现对系统稳定性、立的自动控制系统数学模型的基础上，通过编程实现对系统稳定性、 动态和稳态性能进行分析的一门应用技术。动态和稳态性能进行分析的一门应用技术。matlabmatlab以其方便灵活以其方便灵活 的编程、丰富的工具箱、以及强大的计算和绘图功能成为目前世界的编程、丰富的工具箱、以及强大的计算和绘图功能成为目前世界 上最为流行的自动控制系统辅助分析软件。上最为流行的自动控

2、制系统辅助分析软件。 1 1自动控制系统的稳定性分析自动控制系统的稳定性分析 1.1 1.1 求取特征方程的根求取特征方程的根 线性定常连续系统为稳定的充分必要条件是：所有闭环极点都线性定常连续系统为稳定的充分必要条件是：所有闭环极点都 位于复平面的左半部分（即：实部为负）。线性定常离散系统为稳位于复平面的左半部分（即：实部为负）。线性定常离散系统为稳 定的充分必要条件是：所有闭环极点都位于复平面上以坐标原点为定的充分必要条件是：所有闭环极点都位于复平面上以坐标原点为 圆心的单位圆内。因此判断线性定常系统稳定性的最直接的方法就圆心的单位圆内。因此判断线性定常系统稳定性的最直接的方法就 是求出系

3、统全部的闭环极点，再根据闭环极点在复平面上的位置判是求出系统全部的闭环极点，再根据闭环极点在复平面上的位置判 别系统的稳定性。别系统的稳定性。 【例【例1 1】 一线性定常系统闭环特征方程如下一线性定常系统闭环特征方程如下 5432 641521360sssss 试判别该系统的稳定性。试判别该系统的稳定性。 解解 在在matlabmatlab的的command windowcommand window中输入命令中输入命令 按下回车键后，计算机立即就回答按下回车键后，计算机立即就回答 这这5 5个复数就是该闭环系统的特征根。个复数就是该闭环系统的特征根。 matlabmatlab提供了求取特征方

4、程根的函数提供了求取特征方程根的函数roots( )roots( )，其调用格式为，其调用格式为 式中，式中，p p为特征多项式的系数向量，返回值为特征多项式的系数向量，返回值v v是特征根构成的列向量。是特征根构成的列向量。 =roots( )vp matlabmatlab还提供一个可以直接求取矩阵特征值的函数还提供一个可以直接求取矩阵特征值的函数eigeig( )( )，其调用，其调用 格式为格式为 =eig( )da 其中其中d d为矩阵为矩阵a a的特征值向量。的特征值向量。 调用该函数时，也可以给出两个返回值：调用该函数时，也可以给出两个返回值： 其中其中v v是由与特征值相对应的特

5、征向量构成的变换矩阵。是由与特征值相对应的特征向量构成的变换矩阵。 =eig( )v,da 【例【例2 2】某线性控制系统的状态方程为】某线性控制系统的状态方程为 试求出系统特征多项式以及特征值，并且作线性变换试求出系统特征多项式以及特征值，并且作线性变换 要求变要求变 换后系统矩阵换后系统矩阵 为对角阵。为对角阵。 0100 = 001+ 0 -6-11-61 u xx x = vx a ( (解题过程见教材第解题过程见教材第9898页页) ) 1.2 1.2 控制系统的能控性和能观性分析控制系统的能控性和能观性分析 在在“现代控制理论现代控制理论”课程中，我们已经知道：线性定常系统，课程中

6、，我们已经知道：线性定常系统， 如果它的能控性矩阵为满秩，则该系统为状态完全能控，或称该系如果它的能控性矩阵为满秩，则该系统为状态完全能控，或称该系 统是能控的；对于线性定常系统，如果它的能观性矩阵为满秩，则统是能控的；对于线性定常系统，如果它的能观性矩阵为满秩，则 该系统为状态完全能观，或称该系统是能观的。该系统为状态完全能观，或称该系统是能观的。 matlab matlab中有用于计算能控性矩阵的函数中有用于计算能控性矩阵的函数ctrbctrb( )( )， 其格式为：其格式为： 计算能观性矩阵的函数计算能观性矩阵的函数obsvobsv( )( )， matlabmatlab中还有计算矩阵

7、秩的函数中还有计算矩阵秩的函数rank( )rank( )。这些函数可以帮助我们。这些函数可以帮助我们 分析控制系统的能控性和能观性。分析控制系统的能控性和能观性。 c ctrb()qa,b o obsv()qa,c 【例【例3 3】 分析下面的线性系统是否能控？是否能观测？分析下面的线性系统是否能控？是否能观测？ 10110 12021 30102 xxu 100 010 yx 1.3 1.3 利用传递函数的极点判别系统稳定性利用传递函数的极点判别系统稳定性 控制系统的传递函数（或脉冲传递函数）以有理真分式形式给出时，控制系统的传递函数（或脉冲传递函数）以有理真分式形式给出时， matlab

8、matlab提供的函数提供的函数tf2zp( )tf2zp( )和和pzmappzmap( )( )可以用来求取系统的极点和零可以用来求取系统的极点和零 点，进而实现对系统稳定性的判断。点，进而实现对系统稳定性的判断。 【例【例4 4】 已知某控制系统如下图所示，试求出闭环系统的极点，并已知某控制系统如下图所示，试求出闭环系统的极点，并 且判断闭环系统的稳定性。且判断闭环系统的稳定性。 解解 输入命令输入命令 计算机显示计算机显示 表示该系统的闭环传递函数为表示该系统的闭环传递函数为 b 32 66 g (s) 121213 s sss 再判断闭环极点，输入再判断闭环极点，输入 计算机输出计算

9、机输出 显然，显然，3 3个闭环极点全部位于左半复平面，因此，闭环系统稳定。个闭环极点全部位于左半复平面，因此，闭环系统稳定。 1.4 1.4 利用李亚普诺夫第二法判别系统稳定性利用李亚普诺夫第二法判别系统稳定性 对于非线性系统，没有求对于非线性系统，没有求lyapunovlyapunov函数的一般方法。函数的一般方法。matlabmatlab 也没有这个功能。只能判断齐次线性定常系统的稳定性。也没有这个功能。只能判断齐次线性定常系统的稳定性。 【例【例5 5】 齐次线性定常系统方程如下，齐次线性定常系统方程如下，试判断系统的稳定性。试判断系统的稳定性。 120 = -6-23 -3-40 x

10、x 解解 编写编写matlabmatlab程序如下程序如下 计算机执行以后，输出计算机执行以后，输出 由于矩阵由于矩阵p p的各阶主子式的行列式都为正，的各阶主子式的行列式都为正，p p为正定，因此本系统为为正定，因此本系统为 大范围一致渐近稳定。大范围一致渐近稳定。 2 2 控制系统时域分析控制系统时域分析 2.1 2.1 时域分析的一般方法时域分析的一般方法 对于稳定的控制系统来说，其时域特性可以由暂态响应和稳态对于稳定的控制系统来说，其时域特性可以由暂态响应和稳态 响应的性能指标来表示。最为常见的是用控制系统单位阶跃响应的响应的性能指标来表示。最为常见的是用控制系统单位阶跃响应的 特征来

11、定义系统的动态时域性能指标，主要有：上升时间、峰值时特征来定义系统的动态时域性能指标，主要有：上升时间、峰值时 间、超调量和调节时间等。间、超调量和调节时间等。 需要指出：系统动态性能指标定义的前提是系统为稳定的。需要指出：系统动态性能指标定义的前提是系统为稳定的。 控制系统的稳态性能指标通常用系统的稳态误差来表示。控制系统的稳态性能指标通常用系统的稳态误差来表示。 2.2 2.2 常用时域分析函数常用时域分析函数 在在matlabmatlab中，常用的时域分析函数主要有以下几种：中，常用的时域分析函数主要有以下几种： step( )step( )绘制连续系统的单位阶跃响应曲线；绘制连续系统的

12、单位阶跃响应曲线； dstepdstep( )( )绘制离散系统的单位阶跃响应曲线；绘制离散系统的单位阶跃响应曲线； impulse( )impulse( )绘制连续系统的单位尖脉冲响应曲线；绘制连续系统的单位尖脉冲响应曲线； dimpulsedimpulse( )( )绘制系统的单位尖脉冲响应曲线；绘制系统的单位尖脉冲响应曲线； lsimlsim( )( )绘制连续系统的任意输入响应曲线；绘制连续系统的任意输入响应曲线； dlsimdlsim( )( )绘制离散系统的任意输入响应曲线绘制离散系统的任意输入响应曲线 【例【例6 6】 已知控制系统闭环传递函数如下，试用已知控制系统闭环传递函数如

13、下，试用matlabmatlab绘制其单绘制其单 位阶跃响应曲线。位阶跃响应曲线。 32 23 ( ) 675 s s sss 解解 输入命令输入命令 计算机就绘制出该系统的单位阶跃响应曲线如图所示计算机就绘制出该系统的单位阶跃响应曲线如图所示 再输入命令：再输入命令： 计算机就绘制出该系统的单位脉冲响应曲线如下图所示计算机就绘制出该系统的单位脉冲响应曲线如下图所示 【例【例7 7】 已知二阶闭环控制系统如图所示，试在已知二阶闭环控制系统如图所示，试在4 4个子图中绘出当个子图中绘出当 无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率 ，阻尼比，阻尼比 分别为分别为 0.20.2、0.50.5、1.01.

14、0和和2.52.5 等不同值时，系统的单位阶跃响应曲线。等不同值时，系统的单位阶跃响应曲线。 n 2 解解 建立一个建立一个m m文件，不妨命名为文件，不妨命名为step4re.mstep4re.m如下如下 将该将该m m文件保存在文件保存在workwork文件夹中，然后在文件夹中，然后在command windowcommand window中键入中键入 step4restep4re，回车。计算机就分别在，回车。计算机就分别在4 4个子图中绘出个子图中绘出4 4个单位阶跃响应曲个单位阶跃响应曲 线。线。 2.3 2.3 时域分析应用实例时域分析应用实例 摆杆长度为摆杆长度为l l，质量为，质

15、量为m m的单级倒立摆的单级倒立摆( (摆杆的质心在杆的中心处摆杆的质心在杆的中心处) )， 小车的质量为小车的质量为mm。在水平方向施加控制力。在水平方向施加控制力u u，相对参考系产生位移为，相对参考系产生位移为 y y。为了简化问题并且保其实质不变，忽略执行电机的惯性以及摆。为了简化问题并且保其实质不变，忽略执行电机的惯性以及摆 轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力及风力。轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力及风力。 摆杆质心坐标为摆杆质心坐标为g sin 2 l yy g cos 2 l z 在在y y轴方向上应用牛顿第二定律得以下方程：轴方向上应用牛顿第二定律得以下方程： 22 22 dd

16、sin dd2 l mymyu tt （1 1） d sin =cos dt 2 2 2 d sin=cos sin dt 而而 d cos=sin dt 2 2 2 d cos cossin dt 2 ()( /2) sin( /2)cosmm ym lm lu （2 2） 代入（代入（1 1）式，化简为）式，化简为 在转动方向上，其转矩平衡方程为：在转动方向上，其转矩平衡方程为： 22 gg 22 dd cossinsin d2d22 yzlll mmmg tt 22 22 dd sincoscossinsin d22d222 lllll mymmg tt （3 3） （4 4） 或或 简

17、化后得简化后得cos( /2)sinmym lmg （5 5） 2 ml mymg () 2 ml mm yu 经过线性化处理经过线性化处理（6 6） （7 7） 不失一般性，不妨选取倒立摆的参数如下不失一般性，不妨选取倒立摆的参数如下 /20.6ml1.2 0.1kg=0.12kgm 1kgm 2 9.8m/sg 代入参数后代入参数后 1.120.072yu 0.120.0721.176y （8 8） （9 9） 选取状态变量选取状态变量 1 xy 2 xy 3 x 4 x 11 22 33 44 01000 001.17601 00010 0018.29301.667 xx xx u xx

18、 xx 1 12 33 4 1000 0010 x xxy xx x 判断开环系统的稳定性判断开环系统的稳定性 ，输入命令，输入命令 计算结果计算结果 可见，有一个特征值位于右半复平面，开可见，有一个特征值位于右半复平面，开 环系统不稳定。环系统不稳定。 判断系统的能控性判断系统的能控性 计算机返回计算机返回 r=4 , r=4 , 系统能控，系统能控，则可以通过状态反馈配置系统极点则可以通过状态反馈配置系统极点 例如，我们希望通过状态反馈，将系统极点配置为例如，我们希望通过状态反馈，将系统极点配置为-5 -5、-6 -6、 。 则使用命令则使用命令place()place()可以求出状态反馈

19、矩阵可以求出状态反馈矩阵k k。 2j 输入命令输入命令 计算机返回计算机返回 建立该状态反馈控制系统的仿真模型建立该状态反馈控制系统的仿真模型 输出曲线输出曲线 3 3 控制系统频率域分析控制系统频率域分析 稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下，其输出的稳态分量稳定的线性定常系统，在正弦输入信号作用下，其输出的稳态分量 是与输入同频率的正弦函数。是与输入同频率的正弦函数。 进入稳态以后，输出正弦信号的振幅和输入正弦信号振幅之比进入稳态以后，输出正弦信号的振幅和输入正弦信号振幅之比 称为幅频特性。称为幅频特性。 而输出正弦信号的相位和输入正弦信号的相位之差而输出正弦信号的相位和输入正弦信号

20、的相位之差 称为相频特性。称为相频特性。 cr a()=a ()/a () cr ()=()-() 3.1 3.1 频域分析的一般方法频域分析的一般方法 在频率分析法中，判别闭环系统稳定性的最基本定理是在频率分析法中，判别闭环系统稳定性的最基本定理是nyquistnyquist判据：判据： 对于开环稳定的系统来说，开环传递函数的极点全部位于左半复平对于开环稳定的系统来说，开环传递函数的极点全部位于左半复平 面以内，则闭环系统为稳定的充分必要条件为：开环频率特性的奈面以内，则闭环系统为稳定的充分必要条件为：开环频率特性的奈 氏曲线不包围（氏曲线不包围（-1 -1，j0 j0）点。在半对数坐标纸上

21、，分别绘制对数幅）点。在半对数坐标纸上，分别绘制对数幅 频特性和相频特性，就称为伯德图。频特性和相频特性，就称为伯德图。 在在matlabmatlab中，为我们提供了中，为我们提供了nyquistnyquist( )( )、bode( )bode( )和和margin( )margin( )等命令，等命令， 使我们非常方便地使用频率特性来分析系统。使我们非常方便地使用频率特性来分析系统。 3.2 3.2 频域分析应用实例频域分析应用实例 在在matlabmatlab编程语言中，绘制奈氏曲线的命令是编程语言中，绘制奈氏曲线的命令是nyquistnyquist( )( )，其基本，其基本 格式为：

22、格式为： nyquist(sysnyquist(sys) ) 或或 nyquist(sys,wnyquist(sys,w) ) 或或 nyquist(sys,wminnyquist(sys,wmin, wmax), wmax) 类似地，绘制伯德图的命令是类似地，绘制伯德图的命令是bodebode，其基本格式为：，其基本格式为： bode(sys) 或 bode(sys,w) 或 bode(sys,wmin, wmax) 【例【例6-86-8】 已知单位负反馈线性定常系统的开环传递函数为已知单位负反馈线性定常系统的开环传递函数为 试绘制其奈氏曲线，并且判断闭环系统是否稳定。试绘制其奈氏曲线，并且

23、判断闭环系统是否稳定。 32 3060 ( ) 7810 s g s sss 解解 首先判断开环系统是否稳定。输入命令：首先判断开环系统是否稳定。输入命令： 计算机返回计算机返回 ： 可见，开环系统稳定。再输入命令：可见，开环系统稳定。再输入命令： 计算机绘制出奈氏图计算机绘制出奈氏图 ： 由于奈氏曲线不包围由于奈氏曲线不包围 （-1 -1，j0 j0）点，因此，）点，因此， 闭环系统为稳定。闭环系统为稳定。 输入命令输入命令 计算机绘制出计算机绘制出bodebode图，并且计算出幅值裕度和相角裕度图，并且计算出幅值裕度和相角裕度 显然，系统稳定显然，系统稳定 4 4 根轨迹分析方法根轨迹分析

24、方法 控制系统的根轨迹分析方法就是利用系统的某个参数（通常是开环控制系统的根轨迹分析方法就是利用系统的某个参数（通常是开环 增益）从增益）从0 0变化到无穷大时，闭环系统特征根所留下的轨迹（即根变化到无穷大时，闭环系统特征根所留下的轨迹（即根 轨迹）来分析系统性能以及参数变化对系统性能的影响。轨迹）来分析系统性能以及参数变化对系统性能的影响。 4.1 4.1 幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件 幅值条件方程：幅值条件方程： * 1 1 1 m i i n i i sz k sp 相角条件方程：相角条件方程： 11 ()()(21) , (0,1,2,) mn ij ij szspkk 复平面

25、上满足相角条件的所有复平面上满足相角条件的所有s点的集合就是系统的根轨迹。当点的集合就是系统的根轨迹。当 被确定为某一数值时，根据幅值条件就可以确定闭环极点的位置。被确定为某一数值时，根据幅值条件就可以确定闭环极点的位置。 * k 4.2 4.2 绘制根轨迹的常用函数及其应用实例绘制根轨迹的常用函数及其应用实例 在在matlabmatlab编程语言中，有绘制根轨迹的命令编程语言中，有绘制根轨迹的命令rlocusrlocus， 其基本格式为其基本格式为 rlocus(sys) rlocus(sys) 和和 rlocus(sys, t)rlocus(sys, t) 或者或者 rlocus(num,

26、 den, t) rlocus(num, den, t) 和和 rlocus(num, den, t)rlocus(num, den, t) 执行该命令后，根轨迹图自动生成。如果给定参数执行该命令后，根轨迹图自动生成。如果给定参数t t，则绘制当，则绘制当t t从从 0 0变化到无穷大时的广义根轨迹。变化到无穷大时的广义根轨迹。 【例【例6-126-12】已知系统开环传递函数如下，】已知系统开环传递函数如下，绘制系统根轨迹，并求出绘制系统根轨迹，并求出 闭环系统临界稳定时的根轨迹增益值。闭环系统临界稳定时的根轨迹增益值。 * 2 (3) ( )( ) (5)(610) ks g s h s s

27、 sss 解解 在在matlabmatlab命令窗口键入命令命令窗口键入命令 计算机绘制出系统根轨迹如图计算机绘制出系统根轨迹如图 再输入命令再输入命令 在图形窗口出现十字光标。因为闭环系统为临界稳定，所以选择闭在图形窗口出现十字光标。因为闭环系统为临界稳定，所以选择闭 环极点在虚轴上，点击鼠标左键，就确定了闭环极点环极点在虚轴上，点击鼠标左键，就确定了闭环极点 。 同时，在同时，在commandcommand窗口，计算机窗口，计算机 给出了相应的数值。给出了相应的数值。 5 5* * 基于计算机仿真的非线性定常控制系统基于计算机仿真的非线性定常控制系统 新型稳定性判据新型稳定性判据 5.1

28、5.1 问题的提出问题的提出 对于一个控制系统来说，其最重要的属性就是稳定性，一个不对于一个控制系统来说，其最重要的属性就是稳定性，一个不 稳定的系统是无法工作的。长期以来，对于非线性控制系统的稳定稳定的系统是无法工作的。长期以来，对于非线性控制系统的稳定 性分析，通常采用性分析，通常采用lyapunovlyapunov第二法。但是，对于有些非线性系统构第二法。但是，对于有些非线性系统构 造合适的广义能量函数非常困难。到目前为止，仍然没有一个构造造合适的广义能量函数非常困难。到目前为止，仍然没有一个构造 lyapunovlyapunov函数的一般性的方法函数的一般性的方法. . 近数十年来，计

29、算机技术取得了突飞猛进的发展。而高配置的近数十年来，计算机技术取得了突飞猛进的发展。而高配置的 个人计算机以及像个人计算机以及像matlabmatlab这样优秀的计算与仿真软件越来越普及，这样优秀的计算与仿真软件越来越普及， 使用计算机仿真来分析非线性控制系统的稳定性成为可能的解决方使用计算机仿真来分析非线性控制系统的稳定性成为可能的解决方 法之一。可见，计算机不仅在技术层面，而且在理论层面，都深刻法之一。可见，计算机不仅在技术层面，而且在理论层面，都深刻 地影响着控制理论与控制工程学科的发展。地影响着控制理论与控制工程学科的发展。 本书作者提出了一种新型的基于计算机仿真的非线性定常控制系本书

30、作者提出了一种新型的基于计算机仿真的非线性定常控制系 统稳定性分析方法。统稳定性分析方法。 5.2 5.2 新型稳定性判据新型稳定性判据 首先，作为一个例子，我们考察以下非线性方程首先，作为一个例子，我们考察以下非线性方程 2 3 12 21 20 x.xx xx 选取正定的选取正定的lyapunovlyapunov函数如下函数如下 422 1212 1311 (5) 222 vxxxx 则其一阶导数为负定则其一阶导数为负定 42 12 vxx 并且当并且当 时，时， ，根据，根据lyapunovlyapunov稳定性理论，该系统状态稳定性理论，该系统状态 空间原点为大范围一致渐近稳定的平衡状

31、态。空间原点为大范围一致渐近稳定的平衡状态。 x v 随时间变化曲线随时间变化曲线 v 随时间变化曲线随时间变化曲线 v 从以上观察得到启示：是否可以根据各状态分量的平方和函数从以上观察得到启示：是否可以根据各状态分量的平方和函数 是否收敛到零来判别非线性系统的稳定性，而不必构造出是否收敛到零来判别非线性系统的稳定性，而不必构造出lyapunovlyapunov 函数？函数？ 22 ss12 vxx 对于同一个非线性定常系统，如果选择各状态分量的平方和函数对于同一个非线性定常系统，如果选择各状态分量的平方和函数 非线性定常控制系统在平衡点的某个邻域内有以下非线性定常控制系统在平衡点的某个邻域内

32、有以下4 4种运动形态：种运动形态： （1 1）渐近稳定；（）渐近稳定；（2 2）发散；（）发散；（3 3）以极限环形式作自持振荡运动；）以极限环形式作自持振荡运动； （4 4）在非平衡点的某些状态上驻留。）在非平衡点的某些状态上驻留。 定理定理（xiaojiang zhangs criterion for stability） 对于非线性定常系统对于非线性定常系统 （其中（其中 为状态向量）为状态向量）x = f(x) t 12n xxxx 设：设：1 1） 该系统的平衡点为状态空间原点（如果平衡点不在原点，该系统的平衡点为状态空间原点（如果平衡点不在原点， 则通过变量代换坐标平移可以将平衡

33、点平移至状态空间原点而不影则通过变量代换坐标平移可以将平衡点平移至状态空间原点而不影 响系统稳定性）；响系统稳定性）； 2 2）当当 （其中（其中 为状态空间原点的半径为为状态空间原点的半径为 的邻域的邻域），）， 时，时， 为有界。为有界。 0 ( )t xb b 0 tt ( ) tx 则该系统为局部一致渐近稳定的充分必要条件是：通过仿真或数值则该系统为局部一致渐近稳定的充分必要条件是：通过仿真或数值 计算，在充分长时间之后，各状态分量的平方和函数趋向于零计算，在充分长时间之后，各状态分量的平方和函数趋向于零 2222 ss12 1 () n in i vxxxx 0 即：如果即：如果 ，

34、则系统一致渐近稳定；，则系统一致渐近稳定； 如果如果 不趋向零，则系统不是一致渐近稳定；不趋向零，则系统不是一致渐近稳定； 如果如果 在有界的范围内波动，则该非线性系统为自持震荡。在有界的范围内波动，则该非线性系统为自持震荡。 ss 0v ss v ss v 需要指出：以上定理不适用于时变系统。因为时变系统的参数随时需要指出：以上定理不适用于时变系统。因为时变系统的参数随时 间变化而发生改变，有可能导致系统经过一段稳定状态或者驻留状间变化而发生改变，有可能导致系统经过一段稳定状态或者驻留状 态后又变成为发散。态后又变成为发散。 说明说明1 1：在：在lyapunovlyapunov第二法中，条

35、件第二法中，条件“ “ v 为正定且为正定且 为负定为负定”可以确可以确 保得出结论：保得出结论：“当当 时，则系统大范围渐近稳定时，则系统大范围渐近稳定”。然而，。然而， 本节提出的定理却不能得出大范围稳定性的这一结论。本节提出的定理却不能得出大范围稳定性的这一结论。 v x 说明说明2 2：采用传统的：采用传统的lyapunovlyapunov稳定性理论来判断系统稳定性时，其稳定性理论来判断系统稳定性时，其 可信度取决于系统数学模型与真实系统的接近程度。而本节提出的可信度取决于系统数学模型与真实系统的接近程度。而本节提出的 基于计算机仿真的稳定性判据，其可信度取决于所建立的系统仿真基于计算

36、机仿真的稳定性判据，其可信度取决于所建立的系统仿真 模型与真实系统的接近程度。在模型与真实系统的接近程度。在matlab/simulinkmatlab/simulink环境下，系统仿环境下，系统仿 真模型就是依据系统数学模型建立的。如果恰当地选择算法和步长，真模型就是依据系统数学模型建立的。如果恰当地选择算法和步长， 则两者并无显著差别。因此，两种判据的可信度是相当的。则两者并无显著差别。因此，两种判据的可信度是相当的。 v 说明说明3 3：传统的：传统的lyapunovlyapunov稳定性理论的实质是：对于某个控制系统，稳定性理论的实质是：对于某个控制系统， 不去求它的解析解（对于许多非线

37、性系统来说，无法得出解析解），不去求它的解析解（对于许多非线性系统来说，无法得出解析解）， 转而去确定广义能量函数及其一阶导数的正定性。转而去确定广义能量函数及其一阶导数的正定性。 而而xiaojiang zhangs稳定性判据的实质是：使用数字计算机解出控稳定性判据的实质是：使用数字计算机解出控 制系统的数值解，通过判断状态变量平方和函数是否收敛，就可以制系统的数值解，通过判断状态变量平方和函数是否收敛，就可以 判断系统的稳定性。是一种基于数值解的稳定性判据。判断系统的稳定性。是一种基于数值解的稳定性判据。 在在matlab/simulinkmatlab/simulink环境下建立单级倒立摆

38、模糊控制系统的仿真环境下建立单级倒立摆模糊控制系统的仿真 计算模型如图所示计算模型如图所示 2222 ss =vyy 随时间变化而振荡衰减收敛到零。根据本节的定理可以得知：对随时间变化而振荡衰减收敛到零。根据本节的定理可以得知：对 于实际的倒立摆模糊控制系统（参数设置和控制方法和仿真系统一于实际的倒立摆模糊控制系统（参数设置和控制方法和仿真系统一 致）致）, , 该系统在状态空间原点为局域一致渐近稳定的平衡点。对该该系统在状态空间原点为局域一致渐近稳定的平衡点。对该 倒立摆模糊控制系统的实验也验证了该系统是稳定的。倒立摆模糊控制系统的实验也验证了该系统是稳定的。 ss v 第章第章 自动控制系

39、统计算机辅助设计自动控制系统计算机辅助设计 1 1 概述概述 使用使用matlabmatlab不仅可以解决控制系统的分析问题，还可以解决系不仅可以解决控制系统的分析问题，还可以解决系 统的设计问题。在掌握统的设计问题。在掌握matlabmatlab以后，设计过程大大简化，设计效以后，设计过程大大简化，设计效 率大大提高。将人们从以往繁琐的计算绘图工作中彻底解放出来。率大大提高。将人们从以往繁琐的计算绘图工作中彻底解放出来。 自动控制系统设计变得方便、快捷。自动控制系统设计变得方便、快捷。 单输入单输出（单输入单输出（sisosiso）系统校正分为串联校正、并联校正和反馈）系统校正分为串联校正、

40、并联校正和反馈 校正等几种形式，在此我们仅以串联校正为例说明。校正等几种形式，在此我们仅以串联校正为例说明。 2 2 超前校正、滞后校正以及滞后超前校正、滞后校正以及滞后- -超前校正的超前校正的 bodebode图设计图设计 在频率特性法中，由开环系统的在频率特性法中，由开环系统的bodebode图来分析闭环控制系统稳定性图来分析闭环控制系统稳定性 时，通常采用相角裕量和幅值裕量来描述闭环系统的相对稳定性。时，通常采用相角裕量和幅值裕量来描述闭环系统的相对稳定性。 2.1 2.1 超前校正器的超前校正器的bodebode图设计图设计 ( (设计超前校正器的步骤见教材第设计超前校正器的步骤见教

41、材第123123页，在此举例说明页，在此举例说明) ) m p 【例【例7-17-1】 某一个控制系统如图所示，设计超前校正器，使系统满某一个控制系统如图所示，设计超前校正器，使系统满 足：足： （1 1）在单位斜坡信号作用下，系统的稳态误差）在单位斜坡信号作用下，系统的稳态误差 0.0010.001； ss e （2 2）校正后系统相角裕量）校正后系统相角裕量 的范围为：的范围为： 。 m p4050 解解 （1 1） 根据稳态误差要求，根据稳态误差要求，选取选取 。则开环传递函数为：。则开环传递函数为： 0 1000k 1000 ( ) (21)(0.0021) g s sss （2 2）

42、此时使用）此时使用matlabmatlab中命令中命令margin( )margin( )，来计算校正前系统的幅值，来计算校正前系统的幅值 裕量、相角裕量和穿越频率。输入命令裕量、相角裕量和穿越频率。输入命令 计算机绘制出该系统的计算机绘制出该系统的bodebode 图，并且计算出相应的幅值图，并且计算出相应的幅值 裕量和相角裕量。此时裕量和相角裕量。此时 幅值裕量幅值裕量 m 6.0119dbg 相角裕量相角裕量 m 1.2771p 穿越频率穿越频率 c1 22.346rad/s 闭环系统将不稳定。需要进闭环系统将不稳定。需要进 行超前校正。行超前校正。 50 （3 3）选取）选取 建立一个

43、建立一个m m文件（不妨命名为文件（不妨命名为fowrdgn.mfowrdgn.m）如下）如下 在在commandcommand窗口键入该文件名窗口键入该文件名fowrdgnfowrdgn并且回车，计算机就得出并且回车，计算机就得出 即表示：即表示： c 0.074231 ( ) 0.0098341 s gs s 于是，校正后系统的开环传递函数为：于是，校正后系统的开环传递函数为： c 0.0742311000 ( ) ( ) 0.0098341(21)(0.0021) s gs g s ssss 输入以下命令，计算机绘出校正以后系统的输入以下命令，计算机绘出校正以后系统的bodebode图图

44、 计算机同时计算出幅值增益裕度、相角裕度和穿越频率如下。显然，计算机同时计算出幅值增益裕度、相角裕度和穿越频率如下。显然， 可以满足系统的性能指标要求。可以满足系统的性能指标要求。 m 22.75dbg m 46.54p c2 37.01rad/s 2.2 2.2 滞后校正器的滞后校正器的bodebode图设计图设计 ( (设计滞后校正器的步骤见教材第设计滞后校正器的步骤见教材第126126页，在此举例说明页，在此举例说明) ) 【例【例2 2】 某一单位负反馈控制系统如图所示，其开环传递函数如下，某一单位负反馈控制系统如图所示，其开环传递函数如下， 设计滞后校正器，使系统满足：设计滞后校正器

45、，使系统满足： （1 1）在单位斜坡信号作用下，系）在单位斜坡信号作用下，系 统的稳态误差统的稳态误差 ss 0.02e （2 2）校正后系统相角裕量）校正后系统相角裕量 的范围为：的范围为： m p 4250 （3 3）校正后系统的穿越频率为：）校正后系统的穿越频率为： c2 3rad/s 解解 （1 1） 根据稳态误差要求根据稳态误差要求 ，选取，选取 ，则传函为，则传函为 0 50k 50 ( ) (0.21)(0.011) g s sss （2 2）此时使用）此时使用matlabmatlab中命令中命令margin( )margin( )，来计算校正前系统的幅值，来计算校正前系统的幅值

46、 裕量、相角裕量和穿越频率。输入命令裕量、相角裕量和穿越频率。输入命令 （3 3）求滞后校正器的传递函数。根据设计要求）求滞后校正器的传递函数。根据设计要求 ，选取校正后的，选取校正后的 相角裕量。建立一个相角裕量。建立一个m m文件（不妨命名为文件（不妨命名为lagdgn.mlagdgn.m）如下）如下 m 46p 在在commandcommand窗口键入该文件名窗口键入该文件名lagdgnlagdgn并且回车，计算机就得出并且回车，计算机就得出 c 1.5881 ( ) 21.331 s gs s 计算机同时绘出了校正后系统的计算机同时绘出了校正后系统的bodebode图，并且计算出幅值增

47、益裕度、图，并且计算出幅值增益裕度、 相角裕度和穿越频率为：相角裕度和穿越频率为： m 23.873dbg m 45.284p c2 3.2rad/s 可以满足系统的性能指标要求可以满足系统的性能指标要求 2.3 2.3 滞后超前校正器的滞后超前校正器的bodebode图设计图设计 当被校正的系统不稳定，并且要求校正后系统的响应速度、相当被校正的系统不稳定，并且要求校正后系统的响应速度、相 角裕量和稳态精度较高时，以采用串联滞后角裕量和稳态精度较高时，以采用串联滞后- -超前校正为宜。该方法超前校正为宜。该方法 是利用滞后是利用滞后- -超前校正器的超前部分来增大系统的相角裕量，同时又超前校正

48、器的超前部分来增大系统的相角裕量，同时又 利用滞后部分来改善系统的稳态性能。利用滞后部分来改善系统的稳态性能。 滞后滞后- -超前校正器的传递函数为：超前校正器的传递函数为： 12 cc1c2 12 11 ( )( )( ) 1 1 tst s gsgs gs tst s ( (设计滞后设计滞后- -超前校正器的步骤见教材第超前校正器的步骤见教材第128128页，在此举例说明页，在此举例说明) ) 【例【例3 3】 某一单位负反馈控制系统如图所示，设计滞后某一单位负反馈控制系统如图所示，设计滞后- -超前校正器，超前校正器， 使系统满足：使系统满足： （1 1）在单位斜坡信号作用下，系统的速度

49、误差系数）在单位斜坡信号作用下，系统的速度误差系数 1 v 10sk （2 2）校正后系统相角裕量的范围为：）校正后系统相角裕量的范围为： 5060 c2 1rad/s（3 3）校正后系统的穿越频率为：）校正后系统的穿越频率为： 解解 （1 1） 根据稳态误差要求根据稳态误差要求 0 v 00 lim( )lim10 (0.81)(0.61) ss k ksg ss sss 因此，因此， ，则，则 0 10k 10 ( ) (0.81)(0.61) g s sss （2 2）此时使用）此时使用matlabmatlab中命令中命令margin( )margin( )，来计算校正前系统的幅值，来计

50、算校正前系统的幅值 裕量、相角裕量和穿越频率。输入命令裕量、相角裕量和穿越频率。输入命令 可知此时幅值裕量可知此时幅值裕量 ，相角裕量，相角裕量 ，穿越，穿越 频率频率 ，系统不稳定。需要进行滞后，系统不稳定。需要进行滞后- -超前校正。超前校正。 m 10.7dbg c1 2.5rad/s m 29.6p （3 3）求滞后校正器的传递函数。根据设计要求，选取校正后的相）求滞后校正器的传递函数。根据设计要求，选取校正后的相 角裕量角裕量 。建立一个。建立一个m m文件（不妨命名为文件（不妨命名为laglead.mlaglead.m）如下）如下 m 55p 得出滞后得出滞后-超前校正器为：超前校

51、正器为： 2 cc1c2 2 8.7758.1951 ( )( )( ) 5.4762.441 ss gsgs gs ss 3 pid3 pid控制器设计控制器设计 pid pid（比例（比例- -积分积分- -微分）控制器是目前在实际工程中应用最为广微分）控制器是目前在实际工程中应用最为广 泛的一种控制策略。泛的一种控制策略。pidpid算法简单实用，不要求受控对象的精确数算法简单实用，不要求受控对象的精确数 学模型。学模型。 3.1 pid3.1 pid控制器的传递函数控制器的传递函数 1. 1. 连续连续pidpid控制器的传递函数控制器的传递函数 连续系统连续系统pidpid控制器的表

52、达式为控制器的表达式为 pid 0 d ( ) ( )( )( )d d t e t x tk e tkek t 连续连续pidpid控制器的传递函数控制器的传递函数 i cpdpd i 1 ( )1 k gskk skt s st s 为了避免纯微分运算，通常采用近似的为了避免纯微分运算，通常采用近似的pidpid控制器，其传递函数为控制器，其传递函数为 d cp id 1 ( )1 0.11 t s gsk tst s 2. 2. 离散离散pidpid控制器控制器 离散离散pidpid控制器的表达式为控制器的表达式为 pid 0 ()(1) ()()() k m e kte kt x kt

53、k e ktk te mtk t 简化为简化为 pid 0 ( )(1) ( )( )( ) k m e ke k x kk e kk te mk t 离散离散pidpid控制器的脉冲传递函数为控制器的脉冲传递函数为 1 i cpd -1 ( )(1) 1- k gzkkz z 3.2 pid3.2 pid控制器各参数对控制性能的影响控制器各参数对控制性能的影响 pid pid控制器的控制器的 、 和和 三个参数的大小决定了三个参数的大小决定了pidpid控制控制 器的比例、积分和微分控制作用的强弱。器的比例、积分和微分控制作用的强弱。 p k i k 【例【例 4 4】 某直流电机速度控制系

54、统如图所示，采用某直流电机速度控制系统如图所示，采用pidpid控制方案，控制方案， 使用期望特性法来确定使用期望特性法来确定 、 和和 这三个参数。建立该系统的这三个参数。建立该系统的 simulinksimulink模型，观察其单位阶跃响应曲线，并且分析这三个参数分模型，观察其单位阶跃响应曲线，并且分析这三个参数分 别对控制性能的影响。别对控制性能的影响。 p k i k d k d k 解解 使用期望特性法来设计使用期望特性法来设计pidpid控制器。控制器。 假设假设pidpid控制器的传递函数为控制器的传递函数为 i cpd ( ) k gskk s s 系统闭环的传递函数为系统闭环

55、的传递函数为 2 dpi b 432 dpi 113120550 () ( ) 660(36810 1357447)(486000 1357447)1357447 k sk sk gs ssksksk 不妨假设希望闭环极点为：不妨假设希望闭环极点为： ， ， 和和3003003030j 3030j 则期望特征多项式为则期望特征多项式为 4326 6601278006480000162 10ssss d 0.067k 对应系数相等，可求得：对应系数相等，可求得： p 4.4156k i 119.34k 在在command windowcommand window中输入这中输入这3 3个参数值个参

56、数值 建立该系统的建立该系统的simulinksimulink模型如下模型如下 系统转速响应曲线如图所示系统转速响应曲线如图所示 3.3 3.3 使用使用ziegler-nicholsziegler-nichols经验整定公式进行经验整定公式进行pidpid控制器设计控制器设计 ziegler-nicholsziegler-nichols经验整定公式是针对被控对象模型为带有延迟的一阶经验整定公式是针对被控对象模型为带有延迟的一阶 惯性传递函数提出的惯性传递函数提出的 ( ) 1 s k g se ts 【例【例5 5】 如图如图7-197-19所示的系统，被控对象为一个带有延迟的惯性环所示的系

57、统，被控对象为一个带有延迟的惯性环 节，试用节，试用ziegler-nicholsziegler-nichols经验整定公式，计算经验整定公式，计算pidpid控制器的参数，并控制器的参数，并 且绘制其仿真系统单位阶跃响应曲线。且绘制其仿真系统单位阶跃响应曲线。 30t 解解 由该系统传递函数可知，由该系统传递函数可知， 2k 10 由由ziegler- nicholsziegler- nichols经验整定公式，经验整定公式， 可得：可得： p 1 21 2 30 1 8 2 10 . . t k k i 22 1020t d 0.50.5 105t pidpid控制器的传递函数为：控制器的

58、传递函数为： cpd i 11 (s)=1=1.8 (1+5s) 20s gkt s ts matlab/simulink模型如图所示，模型如图所示， 仿真结果如图所示，可见仿真结果如图所示，可见 系统可以稳定工作。系统可以稳定工作。 4 4 基于状态空间模型的控制器设计方法基于状态空间模型的控制器设计方法 状态空间表达式模型是最新型与最科学的描述方法。它能够全状态空间表达式模型是最新型与最科学的描述方法。它能够全 面地表达系统的全部状态信息。它不仅可以描述线性系统，而且可面地表达系统的全部状态信息。它不仅可以描述线性系统，而且可 以描述非线性系统。状态空间模型既能够描述单输入单输出（以描述非

59、线性系统。状态空间模型既能够描述单输入单输出（sisosiso） 系统，也能够描述多输入多输出（系统，也能够描述多输入多输出（mimomimo）系统。）系统。 4.1 4.1 状态空间表达式的若干基本概念以及状态方程的解状态空间表达式的若干基本概念以及状态方程的解 1. 1. 状态状态动力学系统的状态可以定义为系统的集合。在未来已知动力学系统的状态可以定义为系统的集合。在未来已知 系统外部输入的条件下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分系统外部输入的条件下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分 必要的。必要的。 2. 2. 状态变量状态变量动力学系统的状态变量是确定动力学系统状态的最动力学系

60、统的状态变量是确定动力学系统状态的最 小一组变量。小一组变量。 3. 3. 状态向量状态向量如果完全描述一个给定系统的动态行为需要如果完全描述一个给定系统的动态行为需要n个状个状 态变量，那么可以将这些状态变量看作是向量态变量，那么可以将这些状态变量看作是向量x(t)的各个分量，即的各个分量，即 1 2 n ( ) ( ) ( )= ( ) x t x t t x t x 则则 称为称为n维状态向量。维状态向量。 ( ) tx 4. 4. 状态空间状态空间以各状态变量为坐标轴所组成的以各状态变量为坐标轴所组成的n n维空间称为状态维空间称为状态 空间。在某一时刻的状态向量则可以用状态空间的某一