理论力学-动力学：d-ch6 刚体动力学(二)A

1、第六章第六章- -刚体动力学刚体动力学( (二二) ) 刚体的定点运动与一般运动刚体的定点运动与一般运动 作业：思考题作业：思考题6-16-1、6-36-3，习题，习题6-16-1 2021-5-41 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 问题：问题：什么是刚体的定点运动什么是刚体的定点运动? 2021-5-42 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 刚体定点运动刚体定点运动( fixed-point motion of rigid body)： 若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。 则称刚体作

2、定点运动则称刚体作定点运动 问题：问题：用什么方法分析和研究刚体的定点运动？用什么方法分析和研究刚体的定点运动？ 2021-5-43 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 一、刚体定点运动的运动学方程一、刚体定点运动的运动学方程 x y z x o z y Oxyz为固定参考系为固定参考系 Oxyz为固连在刚体上的随体参考系为固连在刚体上的随体参考系 问题：问题：1：定点运动刚体有几个自由度？定点运动刚体有几个自由度？ 2：如何描述刚体的定点运动？如何描述刚体的定点运动？ 用随体参考系相对固定参考系位用随体参考系相对固定参考系位 置的变化来描述刚体的定点运动。置的变化来描述刚

3、体的定点运动。 2021-5-44 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 用欧拉角描述定点运动刚体的位置用欧拉角描述定点运动刚体的位置 123 ( )( )( )f tf tf t 2021-5-45 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z x y z 进动角进动角 (angle of precession) x y z x y z 章动角章动角 (angle nutation) x y z x y z N 自旋角自旋角 (spin angle) x y z x y z 欧拉角欧拉角 (Euler angle) 节线节线 kkN N 欧拉角：欧拉角

4、：绕绕z轴、轴、z轴和节线轴和节线N 的三个转角的三个转角 2021-5-46 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 )()()( 321 tftftf运动方程：运动方程： 2021-5-47 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z z 例题：例题：试用欧拉角确定陀螺的位置试用欧拉角确定陀螺的位置 x y z x y z N 欧拉角欧拉角 节线节线 节线节线 确定欧拉角的三个转轴确定欧拉角的三个转轴 kkN 2021-5-48 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 例题：例题：试用欧拉角确定碾盘的位置试用欧拉角确定碾盘的位置 节线

5、节线 x y z x y z N 欧拉角欧拉角 x y z z 2021-5-49 6 61 1 刚体定点运动的运动刚体定点运动的运动 学学 神州飞船神州飞船 z 节线节线 绕三个轴的转角为欧拉角绕三个轴的转角为欧拉角 z 例：例：试用欧拉角确定飞船的姿态试用欧拉角确定飞船的姿态 2021-5-410 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 思考题：思考题：试用欧拉角确定汽车的姿态。试用欧拉角确定汽车的姿态。 2021-5-411 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z P O x y z x y z P O x y z 问题：问题：当定点运动刚体运

6、动时，如何研究其上当定点运动刚体运动时，如何研究其上 P点的随体坐标点的随体坐标 x、y、z 与定坐标与定坐标x、y、z间的关系。间的关系。 设正方体棱长为设正方体棱长为L kjirLLL kjirLLL kjirLLL kjirLLL kjirzyxkjirzyx 当刚体绕当刚体绕 z 轴转轴转-900后：后： 2021-5-412 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 问题：问题：如何用欧拉角确定定点运动刚体上某一点在空间的位置如何用欧拉角确定定点运动刚体上某一点在空间的位置 x y z x o z y r kjirzyx kjirzyx x y z x y z N ,

7、, zyx给定：给定： 如何确定：如何确定：xyx, 2021-5-413 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z 1 x 1 y 1 z 进动角进动角 100 0cossin 0sincos 111 111 111 zyxz zyxy zyxx x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 )( z y x z y x A 100 0cossin 0sincos )( A 正交矩阵正交矩阵 x y 1 x 1 y P 2021-5-414 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 2 y 2 z

8、)( cossin0 sincos0 001 2 2 2 1 1 1 A z y x z y x x y z 1 x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 2021-5-415 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y 1 zz 1 x 2 y 2 z 2 x 1 y x y z x y z 1 x 1 y 2 y 2 x 2 z 2 x x 2 y y )( 100 0cossin 0sincos 2 2 2 A z y x z y x 2021-5-416 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 )()()( z y x z y x AAA ) 1

9、( ),( z y x z y x A x y z x y z 1 x 1 y 2 y 2 x 2 z )()()(),(AAAA 式式(1)给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系. 2021-5-417 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移 1、刚体定点运动的有限位移、刚体定点运动的有限位移 有限位移：有限位移：定点运动刚体从某定点运动刚体从某 一位置到另一位置的变化一位置到另一位置的变化 x y z 问题：问题：定点运动刚体的有限

10、位移的顺序是否可交换？定点运动刚体的有限位移的顺序是否可交换？ )90()90( : 00 jiA )90()90( : 00 ijB 1 r 2 r 1 r 2 r21 :rrA 12 :rrB x y z o x y z o 点位移的性质：点位移的性质： 2021-5-418 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z x y z x y z x y z x y z x y z )90()90( : 00 ijB 结论：结论：定点运动刚体有限位移的顺序定点运动刚体有限位移的顺序不可交换不可交换 )90()90( : 00 jiA 2021-5-419 6 61 1

11、刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 2、刚体定点运动的位移定理（达、刚体定点运动的位移定理（达-欧欧 定理）定理） x y z x y z 0 90 x y z 0 180 定理：定理：定点运动刚体的任意有限位定点运动刚体的任意有限位 移，可以绕通过固定点移，可以绕通过固定点O 的某一轴的某一轴 经过一次转动来实现经过一次转动来实现。 0 180 )180()90( : 00 jiA)180( : 0 lB l O 2021-5-420 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z x y z 0 90 x y z 0 90 例题：例题：将定点运动的板从位置将定点运

12、动的板从位置(A)转动到位置转动到位置(B), (1):通过两次转动实现通过两次转动实现; x y z (A) (B) (2)通过一次转动实现通过一次转动实现 正方体 问题：问题：一次转动轴的方位与转角如何确定一次转动轴的方位与转角如何确定 )90()90( :1 00 ik)90()90( :2 00 kj2021-5-421 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 1 1 1 100 0)90cos()90sin( 0)90sin()90cos( 1 1 1 00 00 1 1 1 )90cos()90sin(0 )90sin()90cos(0 001 1 1 1 00 0

13、0 0122 qAAq x y z 0 90 0 q 1 A 1 q 1 q 2 A 2 q 12A AA 02 Aqq x y z P O x y z 0 90 O P 2021-5-422 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 0 0 0 2 2 2 z y x z y x A 0 0 0 001 100 010 z y x 1 Aqq 1 ,1 ,1 T q )1tr( 2 1 arccosA x y z A x y z 02 Aqq 1 1 1 001 100 010 1 1 1 0 120 2021-5-423 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学

14、 3、刚体定点运动的无限小位移、刚体定点运动的无限小位移 问题：问题：在什么条件下，转动位移的顺序可交换在什么条件下，转动位移的顺序可交换 1cos,sin1 10 1 01 ),( A )()()(),( AAAA可交换可交换 结论：结论：定点运动刚体无限小位移的顺序定点运动刚体无限小位移的顺序可交换可交换 )()()(),(AAAA x y z x y z N 2021-5-424 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 r o k r k rr 问题：问题：如何确定定点运动刚如何确定定点运动刚 体绕某轴的无限小转角与刚体绕某轴的无限小转角与刚 体上点的位移的关系？体上点的

15、位移的关系？ lS l |r S x y z x o z y r 2021-5-425 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 r 1 r 2 r 1 2 1 r 2 r rr1 1 rrrrr 11 1 122 rr r 21 rrr 讨论讨论: 无限小角位移的合成无限小角位移的合成 121 rrr )( 121 rrrr )( 1221 rrrr rrr 21 rr rr)( 21 0)( 21 r 12 结论：结论： 21 同理同理 结论：结论：无限小角位移满足矢量加法规则无限小角位移满足矢量加法规则 在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为在定点运动刚体上任意找一点，其矢径

16、为 r 2021-5-426 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 x y z A x y z A 1 1 0 cos0sin 010 sin0cos cos 1 sin cos 1 sin 100 0cossin 0sincos 2 2 2 z y x cos cossinsin sinsincos 2 2 2 z y x 1 1 充分小时和当 :kjA 2021-5-427 6 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 kj x y z A 1 cos sin cos0sin 010 sin0cos 2 2 2 z y x 1 1 0 100 0cossin 0sincos 1 cos sin cossinsin cos sincossin 2 2