2020版高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式课件 新人教A版选修4-5

1、-1- 二二绝对值不等式绝对值不等式 -2- 1.绝对值三角不等式 目标导航 知识梳理重难聚焦典例透析 1.理解绝对值的几何意义. 2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及其应用. 目标导航 知识梳理重难聚焦典例透析 123 1.绝对值的几何意义 (1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. (2)对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那 么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度. 目标导航 知识梳理重难聚焦典例透析 123 目标导航 知识梳理重难聚焦典例透析 123 2.绝对值三角不等式 (

2、1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号 成立. (2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a,b换成向量a,b,当 向量a,b不共线时,由向量加法的三角形法则,向量a+b,a,b构成三角 形,因此有向量形式的不等式|a+b|a|+|b|,它的几何意义是三角形 的两边之和大于第三边. 目标导航 知识梳理重难聚焦典例透析 123 【做一做】 若|x-a|h,|y-a|k,则下列不等式一定成立的是() A.|x-y|2hB.|x-y|2k C.|x-y|h+k D.|x-y|h-k| 解析：|x-y|=|(x-a)+(a-y)|x-a|+|a-y|0,ab0,

3、ab=0三种 情况来确定的,其本质是叙述在两个实数符号的各种情形下得到的 结果,即这个定理本身就是一个分类讨论问题.“数”分正、负、零各 种不同情况讨论,往往在所难免,因此,对绝对值的认识要有分类讨 论的习惯. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 12 2.对绝对值三角不等式几何意义的理解 剖析：用向量a,b替换实数a,b时,问题就从一维扩展到二维,当向 量a,b不共线时,a+b,a,b构成三角形,有|a+b|a|+|b|.当向量a,b共线 时,若a,b同向(相当于ab0)时,则|a+b|=|a|+|b|;若a,b异向(相当于 ab0)时,则|a+b|a|+|b|,这些都是利用了三角形的性质定

4、理,如两边 之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式, 更易于记忆定理,并应用定理解题. 绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式,但放缩的“尺度” 还要仔细把握,如下面的式子: |a|-|b|a|-|b|a+b|a|+|b|. 我们较为常用的形式是|a|-|b|a+b|a|+|b|,但有些学生就会 误认为只能如此,而实质上,|a+b|是不小于|a|-|b|的. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 【例1】 设a,bR,且|a+b+1|1,|a+2b+4|4,求|a|+|b|的最大值. 分析：解决本题的关键是灵活运用绝对值三角不等式的性质.因 为a,b的

5、符号不确定,所以需要分ab0和ab0进行讨论. 解:|a+b|=|(a+b+1)-1|a+b+1|+|-1|1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)- 2(a+2b+4)+5|3|a+b+1|+2|a+2b+4|+531+24+5=16. 当ab0时,|a|+|b|=|a+b|2; 当ab0, |a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|16. 总之,恒有|a|+|b|16. 而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16. 因此|a|+|b|的最大值为16. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 反思 |a+b|a|+|b

6、|,等号成立的条件为ab0,应用时要注意与以前 学过的知识的联系与区别.a-c的变形要记住:a-c=(a-b)+(b-c),从而 不等式|a+b|a|+|b|可以变形为|a-c|=|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|,当 且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 【变式训练1】 若|a-c|b,则下列不等式不成立的是 () A.|a|b|+|c| B.|c|c|-|a| D.b|a|-|c| 解析：|a-c|0.b=|b|. |a|-|c|a-c|,|a|-|c|b,则|a|b+|c|=|b|+|c|.故A成立. 同理由|c|

7、-|a|a-c|,得|c|-|a|b,|c|-|b|, 由B成立,得|c|-|a|b|,-|b|c|-|a|b|, 即|c|-|a|b|=b.故C成立. 由A成立知D不成立.故选D. 答案：D 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 分析：解决本题的关键是对题设条件的理解和运用.|a|,|b|和1这 三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以 得到一个重要的信息:m|a|,m|b|,m1. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 反思 分析题目时,题目中的语言文字是我们解题信息的重要来源 与依据,而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译

8、”转 化而来,那么准确理解题目中的文字语言,适时准确地进行转化也 就成了解题的关键,如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|,|b|和1 中最大的一个”转化为符号语言“m|a|,|m|b|,m1”是证明本题 的关键. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 分析：(1)借助定义判别函数f(x)的单调性;(2)利用绝对值三角不 等式解决. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 反思此类题目综合性强,不仅用到绝对值不等式的性质、推论及 已知条件,还要用到配方等等价变形.在应用绝对值不等式的放缩 性质求最值时要注意等号成立的条件,这也是关键. 知识梳理重难聚焦典例透析 目标导航 题型一题型二题型三 【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|1,求证:|f(x)- f(a)|2(