建筑力学梁变形

1、建筑力学梁变形 第十章 梁的变形 n1,了解梁的曲率公式、 n2,了解用积分法求梁的变形、 n3,掌握用叠加法求梁的变形。 n4,了解提高梁刚度的措施。 建筑力学梁变形 10.1 弯曲变形的概念弯曲变形的概念 n以图10.1所示的简支梁为例，说明平面 弯曲时变形的一些概念。取梁在变形前的轴 线为x轴，与x轴垂直向下的轴为y轴。 nxAy平面就是梁的纵向对称面，荷载作 用在这个平面上，梁变形后的轴线将成为此 平面内的一条曲线，这条连续而光滑的曲线 称为梁的挠曲线。 建筑力学梁变形 图10.1 建筑力学梁变形 n梁的弯曲变形可用两个基本量来度量： n(1) 挠度 n梁任一横截面的形心C，沿y轴方向

2、的线位移CC， 称为该截面的挠度，通常用y来表示。以向下的挠度为 正，向上的挠度为负。 n(2) 转角 n梁的任一横截面C，在梁变形后绕中性轴转动的角 度，称为该截面的转角，用表示。以顺时针转向的转 角为正，逆时针转向的转角为负。 10.1.1 挠度和转角挠度和转角 建筑力学梁变形 n梁上各横截面的挠度y，随着截面位置x的不同而 改变，这种变化规律用挠曲线方程表示为 ny=f(x) n挠曲线上任意一点处的斜率为 n tan=dy/dx n在工程实际中，梁的变形极小，即极小，所以有 tan，则 n=dy/dx=f(x) n称为转角方程，反映了挠曲线上任意一点处切线 的斜率等于该点处横截面的转角。

3、 10.1.2 挠曲线方程挠曲线方程 建筑力学梁变形 n n式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号 规定。在图10.2所示的坐标系中，弯矩的符号仍用第9 章中的规定：M为正，挠曲线向下凸，二阶导数 d2y/dx2 为负；M为负，挠曲线向上凸，二阶导数 d2y/dx2 为正。 n n上式称为梁的挠曲线近似微分方程。 10.1.3 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 2 2 ( ) z d yM x dxEI 2 2 ( ) z d yM x dxEI 建筑力学梁变形 图10.2 建筑力学梁变形 10.2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形 n为了计算梁的变形，可以直接对挠曲线近 似微分方

4、程式进行积分。对于等截面梁，抗弯 刚度EI为常量，积分一次，可以得到转角方程 n再积分一次，可以得到挠曲线方程 1 ( ) z dy M x dx C dxEI 1 ( ) z yM x dx dxCxD EI 建筑力学梁变形 n【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用，如图10.3所示，EI为常数。 试求此梁的转角和挠曲线方程，以及此梁的最大挠度ymax(通常用 符号f表示)和两端截面的转角A和B。 n【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程 n RA=RB= ql/2 n M(x)= qlx/2 - qx2/2 n EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2 n(2) 积分

5、 n将上式连续积分两次，可以得到 n EI dy/dx =EI=- qlx2/4 + qx3/6 +C n EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D 建筑力学梁变形 图10.3 建筑力学梁变形 n(3) 确定积分常数 n简支梁的边界条件是在左、右两端铰支座处的挠度为零，即 nx=0，y=0 nx=l，y=0 n代入式(b)得 nD=0，C= ql3/24 n(4) 列出转角方程和挠曲线方程 n将C、D值代入式(a)和式(b)，得梁的转角方程和挠曲线方程 分别为： n= -1/EI (qlx2/4 - qx3/6- ql3/24 ) ny= -1/EI(qlx3/12 - qx4

6、/24X- ql3x/24) 建筑力学梁变形 n(5) 求ymax、A和B n由对称性，可知梁的最大挠度ymax(或f)在跨中截面，将x= l/2 代入式(d)，得 nf=ymax= 5ql4/384EI n正号表示f的方向向下。 n将x=0代入式(c)，得 nA= ql3/24EI n正号表示A为顺时针转向。 n将x=l代入式(c)，得 nB=- ql3/24EI n负号表示B为逆时针转向。 建筑力学梁变形 n【例 11.2】承受集中荷载P的简支梁如图10.4所示， EI为常数。试 求此梁的最大挠度ymax和两端截面的转角A和B。 n【解】(1) 列弯矩方程 n支座反力： nRA= Pb/l

7、 ，RB= Pa/l n因为集中荷载P将梁分为两段，各段的弯矩方程不同，因此 需分别写出它们的弯矩方程。 nAC段： M(x1)= Pb/l x1(0 x1a) nCB段： M(x2)= Pb/l x2-P(x2-a)(ax2l) 建筑力学梁变形 n(2) 列出挠曲线近似微分方程 nAC段： EId2y1/dx12=-M(x1)=- Pb/lx1 n积分后可得 n EIdy1/dx1=EI1=- Pb/lx12/2 +C1 n EIy1=- Pb/lx13/6 +C1x1+D1 nCB段: EId2y2/dx22=-M(x2)=- Pb/lx2+P(x2-a) n积分后可得 nEIdy2/dx

8、2 =EI2=- Pb/l x22/2 +P (x2-a)2/2 +C2 nEIy2=- Pb/lx23/6 +P (x2-a)3/6 +C2x2+D2 建筑力学梁变形 n(3) 确定积分常数 n为了确定积分出现的四个积分常数，除了要利用边界条件外， 还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。 n边界条件： nx1=0，y1=0 nx2=l，y2=0 n连续条件： nx1=x2=a，1=2y1=y2 n将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，联立求解，可得积分 常数 nD1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2) 建筑力学梁变形 n(4) 列出转角方程和挠曲线方程 n将所求得

9、的四个积分常数代回式(a)、(b)、(c)、(d)，得转角 和挠曲线方程。 nAC段： n 1=dy1/dx1 = Pb/6lEI(l2-3x21-b2) n y1= Pbx/6lEI (l2-x21-b2) nCB段： n 2= Pa/6lEI (2l2+3x22-6lx2+a2) n y2= Pa(l-x)/6lEI (2lx2-x22-a2) 建筑力学梁变形 n(5) 计算A、B和ymax n将x=0代入式(e)，得 nA= Pab(l+b)/6lEI n将x=l代入式(g)，得 nB=- Pab(l+a)/6lEI n当= dy/dx =0时，y为极值，所以应首先确定转角为零的截 面的

10、位置。在本例题中，设ab。由式(e)知，当x1=0时，10； 当x1=a时，10。因此=0的截面必然在AC段内。 n令dy1/dx1 =1=0 n解得 x1=l2-b2/3 建筑力学梁变形 n将上式x1的值代入式(f)，得 nymax= 3Pb/27lEI (l2-b2)3 n从式(i)可知： n当b0时 nx1=l2/3 =0.577l n当b= l/2 时 n x1=0.5l n从式(j)和式(k)可以看出，集中荷载P的位置对于最大挠度位 置的影响并不大。因此，为了实用上的方便，不管集中荷载P的 位置如何，都可用跨度中点的挠度代替最大挠度，并且不会引起 很大误差。 建筑力学梁变形 10.3

11、 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 n从上节可知，梁的转角和挠度都与梁上的荷载成 线性关系。于是，可以用叠加法来计算梁的变形。即 梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠 度等于各个荷载分别单独作用时梁在该截面处的转角 或挠度的代数和。 n梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表11.1中查 得。 建筑力学梁变形 n【例10.3】简支梁受荷载作用如图10.5(a)所示。试用叠加法求梁 跨中点处的挠度和支座处截面的转角。 n【解】梁的变形是均布荷载q和集中力偶M共同作用引起的。把作 用在梁上的荷载分为两种简单的荷载，如图10.5(b)、(c)所示。 n在均布荷载q单独作用下，由表11.1查

12、得： nyCq= 5ql4/384EI，Aq= ql3/24EI ， nBq=- ql3/24EI n在集中力偶M单独作用下，由表11.1查得： nyCM= Ml2/16EI，AM= Ml/3EI， nBM=- Ml/6EI 建筑力学梁变形 图10.5 建筑力学梁变形 n根据叠加原理，在均布荷载q和集中力偶M共同作用时 n yC=yCq+yCM= 5ql4/384EI + Ml2/16EI n A=Aq+AM= ql3/24EI + Ml/3EI n B=Bq+BM=- ql3/24EI - Ml/6EI 建筑力学梁变形 n【例11.4】一悬臂梁受荷载作用如图10.6(a)所示。试用叠加法求

13、自由端B截面的挠度yB和转角B。 n【解】为了直接利用表11.1的结果，将均布荷载从BC延长到A， 为了不改变原梁的实际荷载作用情况，从A至C加上荷载集度相同 而方向相反的均布荷载，如图10.6(b)所示。这样，图10.6(b)所示 的梁与原梁的受力和变形是完全相同的。 n作用在图10.6(b)梁上的荷载可分解为图10.6(c)和图10.6(d)所 示的两种简单荷载。 n图10.6(c)所示的梁，自由端B截面的挠度和转角可由表10.1查 得： nyB1= ql4/8EI，B1= ql3/6EI 建筑力学梁变形 图10.6 建筑力学梁变形 n图10.6(d)所示的梁，C截面的挠度和转角可由表11

14、.1查得： n yC=- q（l/2）4/8EI =-ql4/128EI n C=- q（l/2）3/6EI =-ql3/48EI n由于CB段梁上没有荷载，在这一段梁上的弯矩为零，因而这 一段梁不会发生弯曲变形，但它却会受AC段梁变形的影响而发生 位移。由图10.6(d)可见，B截面的挠度和转角为 n yB2=yC+Cl/2 =- ql4/128EI -ql3/48EIl/2 =- 7ql4/384EI n B2=C=- ql3/48EI 建筑力学梁变形 n根据叠加原理，原梁B截面的挠度和转角为 n yB=yB1+yB2= ql4/8EI-7ql4/384EI= 41ql4/384EI n

15、B=B1+B2= ql3/6EI-ql3/48EI=7ql3/48EI 建筑力学梁变形 表表10.1常用梁在简单荷载作用下的变形常用梁在简单荷载作用下的变形 建筑力学梁变形 建筑力学梁变形 建筑力学梁变形 建筑力学梁变形 建筑力学梁变形 11.4 梁的刚度校核梁的刚度校核 n所谓梁的刚度校核，就是检查梁的变形是否超过 规定的允许值。 n在土建工程中通常只校核挠度，其允许值常用挠 度与梁的跨长的比值f/l作为标准。以f表示梁的最 大挠度，其刚度条件可表达为 n f/l f/l nf/l的值一般限制在1/2501/1000范围内。根据构 件的不同用途，在有关规范中有具体规定。 n梁必须同时满足强度

16、和刚度条件，通常是先按强 度条件设计，然后用刚度条件校核。 建筑力学梁变形 n【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用，如 图10.7所示。已知材料的E=210GPa，=150MPa，f/l =1/400。试校核梁的强度和刚度。 n【解】(1) 由型钢表查得18号工字钢 n Wz=185cm3=185103mm3 n Iz=1660cm4=1660104mm4 n(2) 强度校核 n Mmax= ql2/8 = 2432/8kNm=27kNm n max= Mmax/Wz n = 27106/185103MPa=146MPa 建筑力学梁变形 图10.7 建筑力学梁变形 n(

17、3) 刚度校核 n由表11.1查得梁的最大挠度为 nf= 5ql4/384EIz n所以 n f/l = 5ql3/384EIz n= 524(3103)3/3842101031660104 n=0.00242f/l n此梁满足强度和刚度要求。 建筑力学梁变形 11.5 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施 n从表10.1可以看出，梁的变形不仅与梁的支承和载 荷有关，还与梁的材料、截面形状和跨长有关。以上 诸因素可以概括为 n变形 载荷(跨长)n/抗弯刚度 n因此，要提高梁的弯曲刚度可以从以下几个方面 考虑： n(1) 增大梁的抗弯刚度EI n它包含两个措施：增大材料的弹性模量和增大截 面

18、的惯性矩。工程中常采用工字钢等型钢、组合截面 及空心截面等。 建筑力学梁变形 n(2) 减小梁的跨度 n梁的变形与其跨度的n次幂成正比。因此减小梁的 跨度，能显著地增加梁的刚度。 n减小梁的跨度有两个办法：一种方法是采用两端 外伸的结构形式，如图10.8(a)所示；另一种方法是增 加支座数目，如图10.8(b)所示。显然，增加支座的梁 变成了超静定梁，有关超静定梁的问题将在以后讨论。 建筑力学梁变形 图10.8 建筑力学梁变形 n（3） 改善荷载的作用方式 n在结构允许的条件下，合理地调整荷载的作用方 式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图10.9所示， 将集中力P分散作用在全梁上，最大弯矩Mmax就由 Pl/4 降低为 Pl/8 ，最大挠度f就由 Pl3/48EI 减小为 5Pl3/384EI。 建筑力学梁变形 图10.9 建筑力学梁变形 n提高梁刚度的措施 1，弯剪关系的分析 1）长跨轻载，弯矩控制作用， 2）短跨重载，剪力控制作用， 2，弯挠关系的分析 1）材料的高强度可使强度满足要求，从而减少材料的用量，但挠度且需要高的 E，所以在材料的选择上，要求强度和E相适应。 2）荷载与挠度的关系对于