高中数学知识点宝典汇总

1、第一章 集合与简易逻辑一、集合知识1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.3. 集合元素的特征：确定性、 互异性 、无序性 .4. 集合运算：交、并、补 .5.主要性质: A BA I BAAUB BCUAUB UC(AB)= (C A) ( CB) C(A B)= (CA)(CB)UUUUUU6.设集合 A 中有 n 个元素 , 则 A 的子集个数为 2 n ； A 的真子集个数为 2 n1 ； A 的非空子集个数为 2n1； A 的非空真子集个数为2n2 .7. 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集二含绝对值不

2、等式、一元二次不等式的解法1. 整式不等式的解法：一元一次不等式 axb的解集 （ 分 a 0或 a 0)一元二次不等式ax 2bx c 0(a 0)的解集 ：（ 大于取两边，小于取中间）一元高次不等式：穿根法（零点分段法）（记忆： x 的系数全化为正，从右到左、从上到下，奇（次幂）穿，偶（次幂）穿而不过）2. 分式不等式的解法f ( x)0f (x) g( x) 0; f ( x)0f (x) g( x) 0（移项通分，不能去分母）g ( x)g( x)g (x) 03. 含绝对值不等式的解法ax b c , 与 axb c(c 0) 型的不等式的解法 .（将 x 的系数化为正,大于取两边，

3、小于取中间 ）三简易逻辑1构成复合命题的形式：p 或 q( 记作“ p q” )(一真则真 ) ；p 且 q( 记作“ pq” ) （一假则假 ）；非 p( 记作“ q” ) （真假相反 ） 。2四种命题的形式：原命题：若 P 则 q； 逆命题：若 q 则 p；否命题：若 P 则 q；逆否命题：若 q 则 p。( 原命题逆否命题 )3、充要条件：原 命 题互逆逆 命 题若 p 则 q互若 q则 p否为互逆互否为逆否否互否 命 题逆否命题若 p则 q互逆若 q则 p4、反证法：从命题结论的反面出发（假设），引出( 与已知、公理、定理 ) 矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法

4、。1第二章函数一、函数与映射1 映射的性质：从A 到 B 的映射： A 中不能有剩余元素，B 中可以有剩余元素，允许多对一，不允许一对多。若A 有 3 个元素， B 有 4 个元素，则有43 个映射 。2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。二、函数的性质（ 1）奇偶性（在整个定义域内考虑定义域是否关于原点对称）奇函数： f (x)f ( x) 、图象关于 原点 对称，在两个对称区间具有相同 的单调性；偶函数： f (x)f ( x) 、图象关于 y 轴对称，在两个对称区间具有相反 的单调性；常用的结论：若f (x) 是奇函数，且0定义域 ，则 f ( 0)0或 f (1)f (1) ；若

5、f (x) 是偶函数，则f (1)f (1) ；反之不然。常见的奇函数：ylg( xx21) ylg 1x yexe x1x11ex11x 2 y y yx222 2 x1ex1非奇非偶函数：f （ x） = 1cosxsin x .1 cosx sin x（ 2）单调性 （在定义域的某一个子集内考虑）定义法步骤： a.设 x1, x2A且 x1x2 ； b.作差 f (x1 )f ( x2 ) ； c.判断正负号。掌握函数yax bx cabac(0);yxa(a0)的图象和性质；xb acxc函数图象单调性yaxbbacxa0）xaxy(accx(b ac 0)yyY=aoxX=-coX当

6、 b-ac0 时 :在 (,a和a ,)在 (,c)和 (c,) 上单调递减；上单调递增；当 b-ac0) 恒成立 ,则 y=f(x) 的周期为 2a；若 y=f(x) 是偶函数 ，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x) 的周期为2 a；若 y=f(x) 奇函数 ，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x) 的周期为4 a； y=f(x) 对 xR 时， f(x+a)= f(x)( 或 f(x+a)=1，则 y=f(x)的周期为2 a ；f (x)三、函数的图象1、基本函数的图象：（ 1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（ 4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。2、图象的变

7、换：（1）平移变换（先表示成y =f(x) ：左加右减，上加下减。）（ 2）对称变换： 函数函数yf (x) 与函数 yf (x) 的图象关于y 轴对称；yf (x) 与函数 yf ( x) 的图象关于x 轴对称；函数 yf (x) 与函数 yf ( x) 的图象关于 坐标原点 对称；如果对于函数y=f(x) 都有 f(x+a)=f(a-x) ，那么 y=f(x)的图象关于直线xa 对称。如果对于函数y=f(x) 都有 f(x+a)=f(b-x) ，那么 y=f(x)的图象关于直线xab2对称。 yf ( x)yf (x)（把 x 轴下方的图象翻折到上方 ） yf ( x)yf ( x )（擦

8、掉 y 轴左侧的图象，把右侧的图象对称到左侧） yf 1 ( x) 与 yf ( x) 关于直线 yx 对称。 性质： f (a) bf1 (b)a（ 3）伸缩变换 ： yf ( x)yf (ax), (a 0) 系数变小伸长；系数变大缩短。四、函数的反函数求反函数的步骤：求原函数yf ( x) ， ( x A) 的值域 B把 y f ( x) 看作方程，解出 x( y) ； x， y互换的 yf ( x) 的反函数为y f1 ( )， ( x B) 。x五、求函数的值域的常用解题方法：配方法。如函数yx4x21的值域，特点是可化为二次函数的形式；换元法：如 y= 1 2xx 单调性：如函数

9、y 2xlog 2 x x 1,2判别式法（法）如函数y= x22x3x22x33利用函数的图像：如函数y=|x+3|+|x 2| 利用反函数：如函数 y= 2sin x22sin x利用基本不等式：如函数y= .方程 k=f(x) 有解kD(D 为 f(x) 的值域 )；3x2 .a f(x)a f(x) max,min; af(x)a f(x) ;六、指数、对数的性质：0p1mnmm11. 指数运算： a1 (a0)， aa(a 0) ，a n(a 0)ap (a 0) , a nn am2.对数运算：log a M log a N M，N0log a ( MN )0log aMlog a

10、 Mlog a N ， log a n M1log a M ， log am bn n log a bNnm对数恒等式： a log axx ( x0) ， log a a kk (kR)log对数换底公式： log a blogccb,a3. log a b 的符号由口诀“ 同正异负 ”记忆 ;如： log 2 3 0.log 15 0 。2七、复合函数单调性： yf g x ， f (x)与 g ( x) ：同增同减为增，一增一减为减 。4第三章数 列一数列及数列的通项公式1.数列的前 n 项和：Sna1 a2a3an2.数列的通项公式：ana1S1 (n 1)SnSn 1 (n2)3.递

11、推公式：已知数列an的第一项（或前几项），且任一项an 与它的前一项 an 1 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。二等差数列1.定义： 即： anan1d (n2, an0, q0) an 成等差数列2.判定方法：定义法：an 1and (常数 )； 等差中项法：2an 1anan 2 。3.通项公式：若首项是a1 ，公差是 d ，则通项为 ana1(n1)d 。是关于 n 的一次函数。4.等差数列的前 n 项和： Snn(a1a n )Snna1n(n1)d22对于公式整理后是关于n 的没有常数项的二次函数（充要条件）。5.等差中项 ：如果 a ， A

12、 ， b 成等差数列，则有Aab或 2 Aab26.等差数列的性质：等差数列任意两项间的关系：如果an 是等差数列的第n 项，am 是等差数列的第m 项，且 mn ，公差为 d ，则有 anam(nm) d .若 n mp q ，则 anama paq 。 . Sn 是其前 n 项的和， kN * ，那么 Sk ， S2 kSk ， S3 kS2 k 成等差数列。 . S奇 是奇数项的和，S偶 是偶数项的和，Sn 是前 n 项的和，结论： (i) 若有偶数项 2n项，则 S奇a1a2n 1nn an ； S偶a2a2 n nn an 122所以有 S偶S奇a2a1a4a3a2na2n 1nd（

13、 ii ）若有奇数项2n项，则S奇a1a2n1(n1)an 1(n1)12S偶a2a2nnan 1nS奇S偶an1 (2n1)(2n1)a中2S奇S偶an1a中S奇n 1；SnS奇S偶2n1S偶nS奇S偶S奇S偶若等差数列an的前 2n1项的和为 S2n 1 ，等差数列bn的前2n 1项的和为 T2n 1 ，则 anS2n 1 。 (比如： a9S17； a10S19)bnT2n 1b9T17b10T195三等比数列anq( n2, an0, q0) an 成等比数列1定义：an 1a ，GbGb2。2.，成等比数列，那么，即Gab等比中项 ：如果aG3.等比数列的判定方法：a n 1 定义法

14、 ：对于数列an，若q(q0)，则数列 an是等比数列。a n 等比中项 ：对于数列an，若 an an 2an21 (an0) ，则数列an 是等比数列。4.等比数列的 通项公式 ： ana1 qn 1 。na1 ( q 1)5.等比数列的 前 n项和： Sna1 (1qn )a1an q1)1q1(qq6.等比数列的性质：如果 an 是等比数列的第 n 项， am 是等差数列的第m项，且 mn ，公比为 q ，等比数列任意两项间的关系：则有 a n am qn m .对于等比数列an，若 nmpq ，则 an ama paq若数列 an是等比数列，S 是其前 n 项的和， kN* ，那么

15、S， SS ， SSnk2kk3k2k成等比数列。四数列的通项求法：(1)等差，等比数列的通项公式；(2)已知 Sn求 an ,则有 ana1 , (n 1)（3）累乘法： 形如ang (n)Snan 1Sn 1 ,( n 2)(4)累加法 ： 形如 anan 1f (n), (n 2)；(5)构造法 ： 形如 an 1pa nq.五数列的求和方法：(1) 公式法：即等差与等比数列的公式；(2)裂项相消法：如： an 1111n(n1) nn 1(3)错位相减法： an bn cn ,bn为等差数列， cn 为等比数列倒序相加法：如an= nC100n;分组求和法： anbncn 如： an=

16、2n+3 n六其他结论：1、 an 成等差数列anAnBSnAn2Bn(1)a成等差数列ban成等比数列nanank 成等比数列 ； an 成等比数列an 0(2)成等比数列log b an 成等差数列62、在等差数列an 中 ,(1) 当 a1am00 ,d0 时，满足的项数 m使得 Sm 取最小值。am 103、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d4、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；第四章三角函数一、基本概念和知识要点1三角函数定义： sin= y ，cos = x ， tan= y ， cot= x ， sec= r ， c

17、sc= r 。rrxyxy2同角三角函数的关系中，平方关系是：sin 2cos21； cos21；1 tan2倒数关系是：tancot1，商数关系是： tansincos。， cotsincos3 诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限（的奇、偶数倍）。如： sin( 3， cot(152)cos) = tan ， tan(3)tan 。224、 三角函数的图象：ysinxycosxytan x （略）5 函数 y Asin( x) B（其中 A0，0）的最大值是 AB ，最小值为 BA ，周期是 T2，频率是f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线xk(kZ ) ，对称中心为（x

18、0 ，0），22其中横坐标满足x0k(kZ ) 。6 三角函数的单调区间：ysin x 的递增区间是2k，2k(kZ ) 递减区间是2272k3Z ) ； y cosx 的递增区间是2k，2k(k Z ) ，递减区间是，2k(k222k ，2k( kZ ) ， y tan x 的递增区间是k， k2，27 y Asin( x ) 五点法作图： 依次取 x 0, ,3,2.8 三角变换： (A0 ， 0)22 先平移变换，再伸缩变化 先伸缩变化，再平移变化。（注：平移多少个单位，一定要把解析式中x 的系数提出 ）如将函数 y2 sin(3x)3 的图象按 a 平移后得函数 y2sin 3x的图象

19、，则 a 39两角和与差公式：sin()sin coscossincos() cos cossin sintan()tantan1tantan10、二倍角公式是：sin2= 2sincoscos2= cos2sin 2= 2 cos21= 12 sin 2tan 22 tan。tan1cossin。=2=sin=cos1 tan2111、升幂公式是： 1cos2 cos21cos2 sin 2。2212、降幂公式是： sin 21 cos2cos21cos 2。222 tan13、万能公式：sin =21 tan22 tancos =2tan =21 tan21 tan21tan222214、

20、特殊角的三角函数值：（自己总结）15、正弦定理：（其中abc2RR 表示三角形的外接圆半径）：sin Bsin Csin A16、余弦定理第一形式：b 2 = a2c 22ac cos B ；第二形式： cosB= a 2c 2b 22ac17、 ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，则： S1 a ha； S1 bc sin A； S2R2 sin A sin B sin C ；22 Sabc1； Spr （ p 为 ABC 的周长）4R2818、在 ABC中， b a cosCc cos A ， AB sin A sin B （充要条件 ） sin(A +

21、B) = sinCcos(A + B)-cosCtan(A + B)-tanC sin ABcosCcos ABsin Ctan A Bcot C222222 tan Atan Btan Ctan Atan B tanC19解斜三角形的常规思维方法是：（ 1）已知两角和一边，由正弦定理求；（ 2）已知两边和夹角，应用余弦定理求c 边；（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a、 b、A ），应用正弦定理求B ，（ 4）已知三边a、 b、 c，应用余弦定理求A、 B ，再由 A+B+C = ，求角 C20.弧度制：|l ，弧长公式： l r； 扇形面积公式：s1 lr 1 r 2 ；r2221几个重

22、要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式；1 cos可用升幂公式；a sinb cosa2b2 sin（其中tanb ）这一公式应用广泛。a22函数 y = sin ( x )：奇函数kkZ 偶函数kkZ2函数 y =cos ( x )：奇函数kkZ偶函数kkZ 29第五章平面向量1.向量的概念（ 1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。（ 2）几种向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。向量的坐标表示：AB =(x 2-x1,y2-y1)，其中 A(x 1,y1),B(x 2,y2 )（ 3）向量的运算 向量的加法与减法：

23、定义与法则（如图5-1）： 坐标运算 ： a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x 1-x2,y1-y2)。其中 a=(x1，y1),b=(x2,y2)。2.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：向量的夹角 ： （ 001800 ）两个向量的数量积：a b = a b cos 其中 b cos 称为向量 b 在 a 方向上的投影 向量的数量积的性质：若 a =（ x1, y1 ） , b =（ x2 , y2 ）则 a b = x1 x2y1 y2a ba b =0x1 x2 y1 y20a 与 b 夹角为锐角x1x2y1 y20; a 与 b 夹角为钝角x1 x2y1 y2 0(

24、 x1 , y2 )( x2 , y2 )(x1 , y2 )(x2 , y2 )3.定理与公式 共线定理 ：向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得b = a 。结论： a b( b0 )的充要条件是x1y2-x 2 y1=0平面向量基本定理 ：如果 e ， e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有12一对实数 1, 2使 a = 1e1 +2e2两向量垂直的充要条件(i)a ba b =0(ii) a b1212x x +y y =0三点共线定理 ： 平面上三点 A、 B、 C 共线的充要条件是：存在实数、,使 OA = OB +

25、 OC ，其中 + =1， O 为平面内异于 A 、 B、 C 的任一点。两点间的距离公式 ： | P1 P2 |=( x2x1 ) 2( y2y1 )2 ，其中 P1(x 1,y1),P2(x2,y2)xxh,点的平移公式：若点 P0 (x,y) 按向量 a =(h,k) 平移至 P(x,y )，则yyk.10x1 x2x定比分点公式 ：若 P1P =P P2 ； P1 , P, P2 的坐标分别为 （ x1 , y1 ）, （ x , y）, （ x2, y2）；则：1y1 y2y1x1x2x1x2x3x2x3中点坐标公式：重心公式：y2y2y3y1y1y2y3第六章不等式一、不等式的性质

26、(3)a ba c b c( 加法单调性 ) (5)a b ca c b( 移项法则 )a ba b 0ac bd(同向正数不等式可乘 )(6)ac b d( 同向不等式可加 ) (8)c dc d 011)(12)a b 0(正数不等式两边取倒数ab二、常用的基本不等式和重要的不等式：（ 1） a, bR,则 a 2b22ab ，当且仅当 ab 时取“”号；（ 2） a, bR ，则 ab 2ab ；当且仅当 ab时取“”号；注： ab算术平均数， ab几何平均数2（ 3） a2b2( ab ) 2； 2abababa 2b 2( ,R) ；22ab22a b（ 4）若 a、 b、m R+，

27、且 ab，则 ama 或 bmb ；bmbama三、最值定理（均值不等式）（ 1）如积 xyP(定值），则和 xy有最小值 2 P（ 2）如和 xyS(定值），则积 xy有最大值（S2）2即；积定和最小，和定积最大。注；运用最值定理求最值的三要素：“一正、二定、三相等”四、恒成立问题如：关于 x 的不等式 ( a2) x 22(a2) x40 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围。11五、不等式的同解性(1) 当 a 1时， af(x) ag(x) 与 f(x) g(x) 同解，当 0a 1时， af(x) ag(x)与 f(x) g(x) 同解当时，（）（ ）与 f（）g（ ）xx(2) a

28、 1 log a fxlog a g x（ ）同解 .gx0f(x) g(x)当0a1时， log a f(x) loga g(x)与 f(x) 0同解g(x) 0第七章直线和圆的方程一、解析几何中的基本公式1、 两点间距离：若A (x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ，则 AB( x2x1) 2( y2y1 ) 22、 平行线间距离 : 若 l1 : Ax ByC10,l 2 : AxByC 20则 dC1C2A 2B 23、 点到直线的距离：若P(x , y ),l :AxByC0， 则 dAxByCA 2B24、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：ykxm消 y： ax 2bx c0 ，注意0.F (x, y)0若 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则： AB(1 k 2 )( x2x1 ) 21 k 2x x224x x2115、 若直线 l的斜率为 k，直线 l的斜率为 k ， k1， k都存在且 kk2 1112221则 l 1 到 l 2 的角为 ,(0, ) ， tank 2k11 k1 k2若 l 1 与 l 2 的夹角为，则 tank1k2 ，(0,1 k1 k2