高中数学抛物线练习题

1、高中数学抛物线练习题一、选择题：1. (浙江 )函数 yax21 的图象与直线 yx 相切，则 a()(A) 1(B) 1(C)1(D)18422. （上海）过抛物线 y 24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A 有且仅有一条B 有且仅有两条C有无穷多条D 不存在3.抛物线 x24 y 上一点A 的纵坐标为4，则点 A 与抛物线焦点的距离为()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 5y 24.（辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3 .若它的一条准线与抛物线4x 的准线重合，则该双曲线与抛物线y 24x 的交点到原点的距离是（）A2

2、3+ 6B 21C18 12 2D 215 .（江苏卷） 抛物线 y=4 x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是 ()1715( C )7(D)0( A )( B )816166.（湖北卷）双曲线x 2y 21(mn0) 离心率为2，有一个焦点与抛物线y 24x 的焦点重合，则 mnmn的值为（）A 3B 3C 16D 816833二、填空题：7顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为 6 的抛物线方程是.8若抛物线 y1x 22x m 的焦点在 x 轴上，则 m 的值是.29过（ 1， 2）作直线与抛物线y 24x 只有一个公共点，则该直线的斜率为.10抛物线 y2x 2为

3、一组斜率为2 的平行弦的中点的轨迹方程是.三、解答题：yM11. （江西卷） 如图， M 是抛物线上 y2=x 上的一点， 动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A 、BB 两点，且 MA=MB.O Ax（ 1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；E（ 2）若 M 为动点，且 EMF=90 ，求 EMF 的重心 G 的轨迹F12. （上海）本题共有 3 个小题 ,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分.已知抛物线y2=2px(p0) 的焦点为 F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点 ,A 到抛物线准线的距离等于5,过 A 作 AB

4、 垂直于 y 轴 ,垂足为 B,OB 的中点为M.(1) 求抛物线方程 ;(2)过 M 作 MN FA, 垂足为 N,求点 N 的坐标 ;(3)以 M 为圆心 ,MB 为半径作圆M. 当 K(m,0) 是 x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆 M 的位置关系 .当 m0)则直线 MF 的斜率为 k，方程为yy0k( xy02 ).由y y0k( x y02 )2yy0 (1 ky0 ) 0解得 yF1 ky0(1 ky0 ) 2y2x，消 x得 kyk, xF2kyEyF1ky01 ky021 kEFkkk(定值 )所以直线 EF 的斜率为定值xExF(1 ky0 ) 2(1ky0 ) 24

5、ky02y0k 2k 2k 2（ 2）当 EMF90时,MAB45,所以 k1,yy0 k( xy0 )oo直线 ME 的方程为2y y0 xy022y0 )同理可得 F (12(1y0 ).由x得 E(1 y0 ) ,1y0 ) ,y2xMxExFy02(1 y0 )2(1 y0 ) 22 3 y02设重心 G（ x, y），则有x333xMxExFy0(1 y0 ) (1 y0 )y0x333消去参数 y0 得 y21 x2 (x2).92734. 解 (1)抛物线 y2=2px 的准线为 x=-p ,于是 4+p =5, p=2.抛物线方程为y2 =4x.22(2)点 A 是坐标是 (4

6、,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2),又 F(1,0),4 kMN =-3 k FA=;MN FA,34则 FA 的方程为 y= 4(x-1),MN的方程为 y-2=-3 x,解方程组得x= 8,y=4, N的坐标(8, 4).345555(1) 由题意得 , ,圆 M. 的圆心是点 (0,2), 半径为 2,当 m=4 时 , 直线 AK 的方程为 x=4,此时 ,直线 AK 与圆 M 相离 .当 m 4 时 , 直线 AK 的方程为 y=4(x-m), 即为 4x-(4-m)y-4m=0,4m圆心 M(0,2) 到直线 AK 的距离 d=2m 8,令 d2,解得 m1当 m1 时

7、 , AK 与圆 M 相离 ;16(m4) 2当 m=1 时 , AK 与圆 M 相切 ; 当 m1 时 , AK 与圆 M 相交 .8.解：（） FlFAFBA、 B 两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是x 轴的平行线， y10， y20 ，依题意 y1，y2 不同时为 0上述条件等价于22yy2xx2xxxx20 x1x211121上述条件等价于x1x20即当且仅当 x1x20 时， l经过抛物线的焦点F 。（） 设 l 在 y轴上的截距为b ，依 题意得 l 的方程为y2xb ；过点A、B 的 直线方程可写为y1 xm ，所以 x1、 x2 满足方程 2x21 xm0得 x1x2

8、122141A、 B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式8m f0 ，即m f432xx1x2313.解：（ I）设 AOB的重心为G(x,y),A(x 1,y1),B(x 2,y2),则（ 1）y1y2y3OA OB kOAkOB1 ,即 x1 x2y1 y21，(2)又点 A ， B 在抛物线上，有y1x12 , y2x22，代入（ 2）化简得 x1 x21 yy1y21( x12x22 )1( x1x2 ) 22x1 x2 1(3x) 223x 22333333所以重心为 G 的轨迹方程为y3x 223（II） S AOB1 |OA|OB |1(x12y12 )( x22y22 )