计量经济学的统计学基础知识

1、第一节 常用的统计量平均数、方差 第二节 常用的概率分布 复习： 什么是计量经济学？ 计量经济学与其他学科有什么关系？ 计量经济学研究现实问题的程序是什么？ 第一节 常用的统计量平均数、方差 一、算术平均 算术平均（arithmetic mean）就是我们日 常生活中使用的普通的平均数，其定义如 下式： n X n XXX X n 21 二、加权算术平均 n加权平均（weighted arithmetic mean）是将 各数据先乘以反映其重要性的权数（w），再 求平均的方法。其定义如下式： w Xw www XwXwXw X ii n nn w 21 2211 三、变化率 n变化率的定义如下

2、式： ), 3 , 2( 1 1 nt X XX t tt 四、几何平均 几何平均（geometric mean）是n个数 据连乘积的n次方根，其定义如下式： n n XXXG 21 五、移动平均 n 所谓移动平均（movingaverage）， 就是对时间序列数据的前后数据求平均， 将不必要的变动（ 循环变动、季节变动 和不规则变动）平滑（smoothing），也 即剔除这些变动，从而发现长期变化方向 的一种方法。 n通常，移动平均大多用简单的奇数项来计算，下面 是3项移动平均和5项移动平均的定义。 n3项移动平均： 3 11 ttt t XXX X 5项移动平均： 5 2112 ttttt

3、 t XXXXX X EXCEL演示 三项移动平均 五项移动平均 六、方差与标准差 n为了了解数据的结构，有必要考察数据的集 中趋势和分散的程度。对于集中的趋势，我们 从前面学习过的算术平均中已经大体有所了解 ，而对于分散的程度，通过对方差（variance ）与标准差（standard deviation），以及下 一节将要介绍的变动系数的计算，能够得到很 多信息。 方差的计算方法是，先将每个数据与算术平 均数之差（即离差）的平方相加求和，再除于样 本数减一。而标准差是方差的正的平方根。由于 方差是通过平方计算的，它与原数据的次数有所 不同，而标准差由于是方差的平方根，因而又与 原数据的次数

4、相同。因此，标准差与原数据的单 位相同，而方差则不附加单位。 方差S2的定义分别如下式（样本）： 1 )()()( 22 2 2 12 n XXXXXX s n 2 )( 1 1 XX n i 标准差S的的定义分别如下式： 2 SS方差 七、变动系数 变动系数（coefficient of variation）又称变异 系数，它用标准差S除于算术平均数的商来表示。 变动系数CV的定义如下式： X S CV 算术平均数 标准差 八、标准化变量 标准差变量（standardized variable）,又称基准化 变量，它是用来测量某个数据的数值与算术平均数的 偏离程度，是标准差s的多少倍。借此可

5、以看出该数 据在全体数据所处的位置。标准化变量z的定义如下 式： s XXX z 标准差 算术平均数 九、相关系数 所谓相关系数（correlation coefficient）是 用来测量诸如收入与消费、气温和啤酒的消费 量、汇率与牛肉的进口价格等两个变量X、Y之 间的相互关系的大小和方向（正或负）的系数。 通过计算相关系数，可以知道X与Y之间具有多 大程度的线性（linear）关系。相关系数R的定 义如下式： 相关系数的R的取值范围为，R的取值具有以下 的不同含义： （1）R=1完全正相关 （perfect positive correlation） （2）R0 正相关（positive

6、correlation） （3）R=0 不相关（no correlation） （4）R0 负相关（negative correlation） （ 5 ） R = - 1 完 全 负 相 关 （ p e r f e c t negative correlation） 为什么会有上述结果？请结合公式思考。 第二节 常用的概率分布 经济计量模型研究具有随机性特征的经济变量关 系。本节将对数理统计中常用的随机变量分布及 一些概念作一简单回顾。 一、概率分布 二、总体与样本 三、正态分布 四、抽样分布 一、概率分布 随机变量在各个可能值上出现的概率的大小的情况， 叫概率分布。概率分布可用概率函数描述。

7、 离散性随机变量X的可能取值为xi，P为概率，则概 率函数为 P（X= xi ） i=1,2,3, n 概率函数满足 P（X= xi ）0； 1)( 1 n i i xXP 一、概率分布 连续性的随机变量概率函数 1)(0)( )( )( dxxfxf xf xdxxfbXaP b a b a ； 函数满足条件为概率密度函数。密度其中 ）（ dxxfxXPxF xXPxF xFxxX x i xx i i )()()( )()( . 连续性随机变量， 离散性随机变量， ）（的函数，记为值的累积概率是取小于某个随机变量 率的累积，即数表示。分布函数是概概率分布还可用分布函 二、总体与样本 数理统

8、计中把所研究对象的全部单位所组成的 集合，叫做总体。从总体中抽出的部分单位所 组成的集合，叫做样本。 三、正态分布 当连续的随机变量的概率密度函数形式为 时，称X的分布为正态分布,记为X ， 密度函数中 和 是X的数学期望和方差。 2 2 2 )( 2 1 )( x exf ），（ 2 N 2 三、正态分布（总体分布） 当 和 时，称X服从标准正态 分布，记为X 。 对于非标准正态分布的X，总可以作如下变 换， ，使Z服从标准正态分布。 0 1 2 ），（ 10N X Z 四、抽样分布 1、 分布 2、 t 分布 3、 F 分布 注：正态母体子样分布性质： 2 i i ii i aUD aUE

9、 XaU X 22 )( )( 子样是来自正态母体的随机 1、 分布 2 2 n i i X 1 22 )(统计量定义为 Xi符从正态分布。 xi服从标准正态分布， 服从自由度为n的卡方分布，卡方分布其实 就是残差平方和。 n i i x 1 2 2 2 2 00 0)( ) 2 (2 1 )( 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 当 当 n n n n e n g 分布的密度函数为： nnE 22 ）（ nnD22)( 22 其数学期望 其方差为 ， 2 S 2 统计量的条件，所以 服从自由度为n-1的分布。 2 S 2 样本方差符合 N=4 N=15 如果随机变量X服从标准正态分布N（

10、0，1）；随机 变量 服从自由度为n、方差为2n的 分布。并且 X和 相互独立，则统计量： 2 2 2 n X t 2 服从t分布（注：可以 将分子理解为符合正 态分布的参数，分母 看作其标准差。 2、 t分布 t分布的密度函数为 2 1 2 )1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( )( n n n t n n n tf 其数学期望E（t）=0，方差 2 2 n n t分布的特点是： 左右对称；当n很大时，非常接近正态分布。 对于从标准正态分布中的总体中抽的容量为n的简 单随机样本，其样本均值 与样本标准差S构成如 下统计量。 x 1/ nS x t 服从自由度为n-1的t分布，记为tt(n-1

11、)。 注意：这里的分母是子样标准差除以自由度 ，实际上是子样均值的标准差！只有这样才 与分子保持一致性。分子被平均了，分母当 然也要平均！ t分布在小样本（n30）统计推断中占有重要的地位。 T分布图形：正态分布相当于标准差为1的t分布。 而t分布的标准差多小于1。因而出现这种尾部肥 大的现象。 正态分布 T分布 如果随机变量Xi(i=1,2,3,n),Yi(i=1,2,3,n)是相互 独立的，而且服从相同的正态分布 。 令 3、F分布 ），（ 2 N 2 2 2 2 1 2 2 1 3 , 2 , 1,)( 3 , 2 , 1,)( niYYS niXXS i i ) 1/( ) 1/( 2

12、 2 2 1 2 1 nS nS F 1 1 n 1 2 n 1 1 n1 2 n 则统计量 服从第一自由度 、第二自由度 的F分布。记为FF(,) 3、F分布 注：F分布在方差分析中有着重要的作用。例如判断 两个正态分布总体的方差是否有显著差异，需要利 用F分布。其分子与分母其实是两个方差，在进行回 归检验时正是利用F函数这个特点。 F分布图形 例1：正态分布检验 设甲、乙两台机床生产同类型产品，其产品重 量分别服从方差为70克（ ）与90克 （ ） 的正态分布。从甲机床中随机地取出35件，其 平均重量是137克，独立地从乙机床随机取出 45件，其平均重量130克，问在显著性为0.01 时，

13、两台机床的产品就重量而言有无显著差异？ 2 1 2 2 解： 理论： 1 222 2 2 1 1 0 2 2 1 1 21 2 2 1 1 21 2 2 2 1 1 1 211210 2 2 1 1 2 22 1 11 )1 ,0( , )1 ,0( )( ),( ),(),( :;: , ),( ),( H，uU，uuUP N nn YX U rightHif N nn YX U nn NYX n Y n NX HH if NY NX 则接受如果查附表知 已知 例2：比较两种安眠药A、B的疗效， 以10个患者为实验对象，数据如下： 患者12345678910 X0.1-0.

14、4.63.4 Y 0.7-1.6-0.2-1.2-0.802 z=x- y 1.301.4 问：在显著性水平为0.01时，两种药的 疗效是否相同？（T分布） 解：由于患者相同，可以建立z变量， 然后假设z的均值是0，对其进行t单 侧检验 即两种药效不同接受拒绝, 062. 425. 3)9( 062. 4 39. 0 58. 1 1/ ,01. 0 0: 0: ),( 10 01. 0 1 0 2 H，H t ns z t H H Nz YXz 例3（卡方分布）：设已知维尼纶纤度在正常 生产条件下服从正态分布N（1.4

15、05, 0.002304)。在生产某段时间，抽取了5根纤 维，测得其纤度为1.32, 1.55, 1.36, 1.4, 1.44. 问该段时间母体方差是否正常？（显著性水平是0.1） 解： 纤度方差有变化拒绝，H xx ns xn H i 2 2 0 2 0 2 95. 0 2 2 95. 0 2 05. 0 22 0 2 2 0 2 2 2 2 0 2 0 048. 0: )4( 488. 9)4(,711. 0)4( 5 .13 048. 0 0312. 0 )( 414. 1, 5 048. 0: 9.4913.5 例4（F）：甲乙两台机床加工同一种轴。 从这两台机床加工的轴中随机抽取若干 根，没得直径（单位为毫米）为： 假定各台机床加工轴的直径分别服从正态分布，试 比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异。显 著性取0.05（拒绝原假设水平）。如果是单侧检 验呢？ 机床 甲20.519.719.820.420.1201919.9 机床 乙9.720.820.519.819.420.619.2 解： 0025. 0 025. 0 1 2* 2 2* 12 1 2* 2 2* 2 2* 22 1 2* 11 2 2 2 10 ),7 , 6( 17. 5)