常微分方程讲义

1、精品文档 你我共享常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法:1、可分离变量方程drg(x)h(dy 二 g(x)dx2、齐次方程（一般含有 仝或y的项）y xdy f (x,y)，令 y=ux，可消去右边的x dx则 x du u = f (x,ux)工 f (u) dx例：xy-y 二 xtgYx34例：虬算牛dx x- 2xy3例：dy ._2xr_,y（o）=1 dx 3x - y例：xdy .xy2dx3、一阶线性非齐次方程鱼=a（x） y b（x） dx常数变易法a(x) dxa(x)dx或 y = e b(x)e dx C例:例:例:xdy y _ex =o, y(i) = e

2、 dxdyx(x 1)- ny = e (x 1)dx1 _xy1 -x2例：1 x2sin2y齐 2xsin2y 八4、贝努利方程dy.ny dTa(x)y1 -n学=a(x)y b(x)yndx则空=(i_n)y巴，代入得：dxdx-J b(x)= = (1 n)a(x)z (1 n)b(x) dx可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例:虬 xy(1 x2y2)dx例:dy1dxx2 sin y - xy例：xdy -y xy3(1 ln x)dx = 0例：cosxdy-(ysi nx y4)dx = 0 例：叭y_y2dx x+1当b(x)为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为

3、一种一阶线性非齐次的特例5、全微分方程M (x, y)dx N (x, y)dy = 0第一种情况：若cyex贝U u(x, y) M ( ,y0)d N(x, )dX0Y0或 u(x, y) M ( ,y)d N(x0, )d%0方程解为u(x,y)二C,其中(x,y)在定义域内任取例：ydx xdy = 0、xdx 二 ydy = 0例：(1 ey)dx ey(1 -?)dy =0 y例: dxdy xdx=01-x y 1 -x y例：(x-y)dx (x y)dy =(x2 y2)dx例：(y -x5y4)dx (xx4y5)dy 二 0例：(2x2y 2y 5)dx (2x3 2x)

4、dy = 0第二种情况：若卫=型cyex则找积分因子1、 只存在与x有关的积分因子的充要条件是丄(型一込八(x)，积N cyex分因子叫X)二e (x)dx2、 只存在与y有关的积分因子的充要条件是丄(卫一型)J(y)，M excy积分因子E)=e dy例：4x2y2dx (2x3y -1)dy = 0例：(x4 y4)dx -xy3dy = 0例：(4xy 3y4)dx (2x2 5xy3)dy 二 0*微分方程解法的不确定性与灵活性:dy =1dx x可分离变量方程“分”的思路：齐次方程一阶线性非齐次方程 贝努力方程“凑”的思路：全微分 方程6、可降阶的二阶微分方程.2第一类：= f(x)

5、dx2例：(1 x2)y=1,y(0) =1,y(0)12 2第二类：d.f(x,)，令dy .p,则与=亚dx2dxdxdx dx例:yxy = yln -x例:(1 x2)y (y)21-0例:y_y = eX2 2第三类：y = f(y，dy)，令 dy = p,则 y = pdy例:ye2y =0,y(0) =0,y(0) =1例:y-yey = 0, y(0) = 0,y(0) = 2例:求方程(y)2 2yy0的在点(1,1)与直线y二x相切的积分曲线可降阶微分方程解法的灵活性:例:y y (y)3 -0，令? = p,则:y = P：Pdxdxdy例:y ,1(y)2 =0，令

6、dy =p,则今二鱼 dxdx2dx微分方程的近似解：Picca序列给定微分方程 齐f(x,y)，则有ylx* 二 y。(在(xo,y)处的第 1 次近似：yi = y + J f (x,y)dx 在(Xo，yo)处的第 2 次近似：y2 =y + f (x,yjdx在(Xo，y。)处的第 n次近似：yn =y + f(x, ynGdxx0dy =y例：求微分方程dx 一 x，当x = 2时，y= ?y(1)=1精确方法Picca近似：精度与误差理=ln(sin y)例：求微分方程 dx的Picca逼近数列y(i)二L 2微分方程的初值问题解的存在唯一性:乎二 f (x, y)“ dxy。=

7、yo定理1设函数f (x, y)在矩形区域R:(x, y): x Xo兰a, y y兰b上连续；且 对 R 上任意两点(x,yj,(x, y2)，满足 Lipschitz 条件：f (x, yj f (x, y?)兰 L % y?。 其中 L 是 Lipschitz 常数，令 h =min(a,2), M =max f (x, y)，则在区间 x xo 兰 h 上，M原方程的解存在且唯一。定理2：设函数f(x,y)在G上连续，且在 G内满足局部的Lipschitz条 件，则对G内任意一点，存在一个小区间X-X。，原方程的解存在且唯定理3：设函数f(x, y)在G上连续，fy(x, y)在G内存

8、在并且有界或连续， 则对G内任意一点，存在一个小区间|x-xo兰口，原方程的解存在且唯一。定理4： Picca序列的误差MLn(n 1)!出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠 志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气， 不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛 下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事， 事

9、无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰能”是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此 事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则 汉室之隆，可计日而待也 。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于 草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间, 尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡 泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还