线性空间及线性变换（经典实用）

1、第六章第六章 线性空间及线性变换线性空间及线性变换 一、基本概念和重要结果一、基本概念和重要结果 1.空间的直和空间的直和 我们用我们用W=V1+V2记子空间记子空间V1与与V2的和的和,用用 W=V1V2记记W是是V1与与V2的直和的直和. (1) W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2,对任意的对任意的 有有 ,其中其中 ,i=1,2,且表示法是唯一的且表示法是唯一的. W 21 ii V (2) W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2且零向量的表示且零向量的表示 法是唯一的法是唯一的. (3) W=V1V2当且仅当当且仅当W=V1+V2且且V1V2=0. (4) W=V1V2当且

2、仅当当且仅当W=V1+V2且且W的维数的维数=V1的的 维数维数+V2的维数的维数. (5) 若若 是线性空间是线性空间V的一组基的一组基,则则 其中其中 表示由表示由 生成生成 的子空间的子空间. n , 21 ),(),( 2121nrrr LLV ),( 21r L r , 21 (6) 若若W=V1+V2且且V1与与V2正交正交,则则W=V1V2. 上面的结论可推广到多个子空间的情况上面的结论可推广到多个子空间的情况. (7) 设线性变换设线性变换/A的特征多项式为的特征多项式为: 则则V可分解为可分解为A的不变子空间的直和的不变子空间的直和 V=V1 V2Vs,其中其中: 是是A属于

3、属于 的根子空间的根子空间. s r s rr f)()()()( 21 21 , 0)( |VXXAIXV i r ii i 2.子空间的性质子空间的性质 我们用我们用dimV表示线性空间表示线性空间V的维数的维数. (1) 设设V1和和V2是线性空间是线性空间V的子空间的子空间,则则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2). (2) 设设V1,V2,Vm是线性空间是线性空间V的真子空间的真子空间,则必存则必存 在在 ,使使 ,VmiVi1 , (3) 设设V1=L(u1,u2,um),v1,v2,vr是是V1中的中的r个线性个线性 无关的向量无关的向量,且且r0,

4、且且 的首项系数为的首项系数为1.). )(f)()(hf k )(h 若若 =1,那么那么 ,于是于是f(A)=An=0,知知A必为必为 幂零矩阵幂零矩阵,导致矛盾导致矛盾.可见可见 ,于是将于是将 分解分解 为一次因式的乘积为一次因式的乘积,可得可得A的所有的初等因子的所有的初等因子,将将A的的 所有的对应于特征值零的所有的对应于特征值零的Jordan块组成块对角矩阵块组成块对角矩阵 B,显然显然B是个幂零矩阵是个幂零矩阵,而将而将A的所有的对应于非零特的所有的对应于非零特 征值的征值的Jordan块组成对角矩阵块组成对角矩阵C,由于上三角阵由于上三角阵C )(h n f)( 1)(h )

5、(h 显然显然J为为A的的Jordan标准形那么存在可逆矩阵标准形那么存在可逆矩阵P,使使 得得: 的主对角线上没有零元的主对角线上没有零元,显然显然C可逆可逆,令令 C B J 0 0 C B JAPP 0 0 1 例例6.3.3 (浙江大学浙江大学,2004年年)设设V=Pn n是 是P上的线性上的线性 空间空间.取定取定A,B,C,DPn n,对任意 对任意XPn n,令 令 (X)=AXB+CX+XD.求证求证: (1) 是是V的线性变换的线性变换.(2) 当当C=D=0, 可逆的充要条件是可逆的充要条件是|AB|0. (2)充分性充分性 证明证明: (1)显然有显然有 (X)V,知知

6、 是是V上的线性变换上的线性变换, 下面证明它必是线性的下面证明它必是线性的. 有PkVYX, )()( )()( )()()()( YX YDCYAYBXDCXAXB DYXYXCBYXAYX )()( )()()()( XkXDCXAXBk DkXkXCBkXAkX 即即 为为V上的线性变换上的线性变换. 若若|AB|0,那么有那么有|A|0且且|B|0,则矩阵则矩阵A,B都可逆都可逆.若若 令令Y=AXB,那么有那么有X=A-1YB-1,于是可令于是可令 -1(X)=A-1XB-1,易验证 易验证 ,即有即有 可可 逆逆. I 11 特别地特别地,取取Y=In代入代入(I)式并在两边取行

7、列式有式并在两边取行列式有 |AXB|=10,显然可得显然可得|AB|0. 证明证明:必要性必要性. 必要性必要性:若若 可逆可逆,那么显然有那么显然有 为为V上的双射上的双射,且且 是满射是满射,那么任取那么任取YV,存在存在XV使得使得AXB=Y (I) 例例6.3.4 (华中科技大学华中科技大学,2006年年) 设设 是数域是数域P上的上的 n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换,W1,W2是是V的子空间的子空间,并且并且 V=W1W2,证明证明: 有逆变换的充分必要条件是有逆变换的充分必要条件是: )()( 21 WWV 若若 有逆变换有逆变换,那么那么 是个是个V上的双射上的双

8、射,显然也是显然也是 V上的同构变换上的同构变换,注意到同构变换不改变向量组的线注意到同构变换不改变向量组的线 性相关性那么显然有性相关性那么显然有: 2211 dim)(dim,dim)(dimWWWW .即有即有 ,由由 是个单射是个单射 知知 ,即有即有 ,由由V是是W1与与W2的的 直和知直和知 .即有即有 ,知知 , 于是比较维数有于是比较维数有: 而若而若 ,那么存在那么存在 使得使得:)()( 21 WW 2211 ,WW )()( 21 0)( 21 0 21 2121 WW 0 21 00)()( 21 WW ).()( 21 WWV 也即有也即有: ).()( 21 WWV

9、 充分性充分性:若若 且且V=W1W2,下面证下面证 明明 必可逆必可逆. )()( 21 WWV 由由V=W1W2,不妨设不妨设dimW1=r,取取W1的一组基的一组基 和和W2的一组基的一组基 合合 起来构成起来构成V的一组基的一组基.若一个空间中的一组向量线性若一个空间中的一组向量线性 相关相关,那么这组向量在那么这组向量在 下的象也必线性相关下的象也必线性相关,那么那么 显然有显然有 .若若 或或 ,将导致将导致 的的 矛盾矛盾,于是必有于是必有 . r , 21 nrr , 21 2211 dim)(dim,dim)(dimWWWW 11 dim)(dimWW 22 dim)(dim

10、WW )(dim)(dimdim 21 WWV 2211 dim)(dim,dim)(dimWWWW 例例6.3.5 (武汉大学武汉大学,2003年年)设设V1和和V2是向量空间是向量空间V 的子空间的子空间,且且V=V1V2(即即V是是V1与与V2的直和的直和),若定义若定义 映射：映射： 注意到注意到 张成了空间张成了空间 , 由由 知知 必线必线 性无关性无关,那么就构成了那么就构成了 的一个基的一个基.同理同理 构成了构成了 的一个基的一个基,由由 V=W1W2 知这两组基合起来就构成了知这两组基合起来就构成了V的一组基的一组基, 于是取于是取V上的变换上的变换 如下如下: 将将V上的

11、基上的基 依次映射到基依次映射到基 )(,),(),( 21r )( 1 W rWW 11 dim)(dim )(,),(),( 21r )( 1 W )( 2 W)(,),(),( 21nrr 1 1 )(,),(),( 21n ., 21n 显然易验证显然易验证 . V I 11 即有即有 是是 的逆变换的逆变换. 1 , : : 2211 2212 1211 VVV f f 其中 证明证明: (1)f1,f2是是V的线性变换的线性变换. (2)f12=f1,f22=f2. (3)f1f2=f2f1=0(零变换零变换),f1+f2=idV(V的恒等变换的恒等变换). 知知f1,f2都是都是

12、V的线性变换的线性变换. 证明证明: (1)对对 V和常数和常数k有有: , )()( )()( )()()( )()()( 222 111 22222 11111 kfkkf kfkkf fff fff 即知即知f12=f1,f22=f2. 即有即有:f1f2=f2f1=0,f1+f2=idV. (2) ,有：有： 21 ,V 222 2 222 111 2 111 )()(,)( )()(,)( fff fff (3) ,有：有： 21 ,V 0)()(, 0)()( 12122121 ffffff 且有：且有： 212121 )()()(ffff 下面证这个线性变换是唯一的下面证这个线性

13、变换是唯一的. 可见有可见有S=T,即得唯一性即得唯一性. 例例6.3.6 (重庆大学重庆大学,2003年年)设设e1,e2,en是是n维线性维线性 空间空间Vn的一组基的一组基,对任意对任意n个向量个向量 , 证明证明:存在唯一的线性变换存在唯一的线性变换T使得使得 . nn V, 21 nieT ii , 2 , 1,)( 证明证明:显然显然 ,由于由于e1,e2,en是它的一组基是它的一组基, 那么那么 可写为可写为 =l1e1+l2e2+lnen (I) n V 作作Vn上的线性变换上的线性变换T为为 ,那么那么 显然有显然有T( )=l1T(e1)+l2T(e2)+lnT(en) n

14、ieT ii , 2 , 1,)( : 2211nn lll 若还有一个线性变换若还有一个线性变换S满足满足 ,那那 么对于么对于(I)中任取的中任取的 有有 S( )=l1S(e1)+l2S(e2)+lnS(en) nieS ii , 2 , 1,)( )( 2211 Tlll nn 例例6.3.7 (重庆大学重庆大学,2004年年)已知全体实的已知全体实的2维向量维向量 关于下列运算构成关于下列运算构成R上的线性空间上的线性空间V: (a1,b1)+(a2,b2)=(a1+a2,b1+b2+a1a2); k(a,b)=(ka,kb+k(k-1)/2a2) (1)求求V的一组基的一组基. (

15、2)定义变换定义变换/A(a,b)=(a,a+b),证明证明:/A是一个线性变换是一个线性变换, 并求并求/A在在V的一组基下的矩阵表示的一组基下的矩阵表示. 解解: (1)显然显然dimV=2,那么只要找到那么只要找到V中的两个线性中的两个线性 无关的向量即可组成无关的向量即可组成V的一组基的一组基,考查考查V中的两个向中的两个向 量量:e1=(1,0),e2=(0,1). 下面证明它们是线性无关的下面证明它们是线性无关的,令它们的线性组合为令它们的线性组合为 零零,有有:k1(1,0)+k2(0,1)=(0,0). 于是有于是有: (k1,k1(k1-1)/2+k2)=(0,0). 即有即

16、有e1,e2线性无关线性无关,并并 组成组成V的一组基的一组基. (2)任取任取(a,b),(c,d)V,kR,有有 /A(a,b)+(c,d)=/A(a+c,b+d+ac)=(a+c,a+b+c+d+ac), /A(a,b)+/A(c,d)=(a,a+b)+(c,c+d)=(a+c,a+b+c+d+ac) 即知即知/A(a,b)+(c,d)= /A(a,b)+/A(c,d). 那么有那么有: 0 2 )1( 0 2 11 1 k kk k 易推得易推得: 0 0 2 1 k k 而而 ) 2 ) 1( ,(),(),(/ ) 2 ) 1( ,() 2 ) 1( ,(/),(/ 2 22 a

17、kk kbkakabaakbaAk a kk kbkakaa kk kbkaAbakA 显然有显然有:/A(k(a,b)=k/A(a,b). 即知即知/A是个线性变换是个线性变换. 由由(1)知知e1,e2是是V的一组基的一组基,下面求线性变换下面求线性变换/A在这在这 组基下的矩阵表示组基下的矩阵表示. 由由/A(e1)=/A(1,0)=(1,1),不妨设不妨设(1,1)=l1e1+l2e2 解得解得:l1=l2=1. 而显然而显然: /A(e2)=/A(0, 1)=(0,1)=1(0,1), 那么可得那么可得 ) 2 )1( ,()1 , 1( 2 11 1 l ll l 于是有于是有:

18、11 01 ),(),(/ 2121 eeeeA 即即为为/A在基在基e1,e2下的矩阵表示下的矩阵表示. 11 01 例例6.3.8 (北京科技大学北京科技大学,2004年年) 如果如果 都是幂都是幂 等等 的线性变换的线性变换.证明证明: (1)如果如果 ,则则 也是幂等变换也是幂等变换. (2)如果如果 是幂等变换是幂等变换,则则 . , ),( 22 0 证明证明: (1)若若 ,那么那么 43 222 )()( 222222 2 即即 也是幂等变换也是幂等变换. (2)(大连理工大学大连理工大学,2007年考过年考过) 如果如果 是幂等变换，则是幂等变换，则 . 2 )( 设全空间为

19、设全空间为V,且不妨设且不妨设 为为 的某个特征值的某个特征值,且且 对应于这个特征值的一个特征向量对应于这个特征值的一个特征向量(是非零向量是非零向量)为为 , 那么由那么由 ,有有 . 2 )()( 2 也即有也即有 ,于是于是 ,那么那么 或或 . 0)( 2 0 2 0 1 于是于是 的特征值只能为的特征值只能为1或或0,那么记那么记V1和和V0分别分别 为线性变换为线性变换 的对应于特征值的对应于特征值1和特征值和特征值0的特征的特征 子空间子空间,那么那么 ,有有: V .:)()( 由由 知知 于是于是V=V1+V0. 0)()()(,)()()( 22 ., 01 VV 而若而

20、若 ,那么有那么有 01 VV . 001)( 于是有于是有V=V1V0. 即有即有 ,那么那么V1V0=0. 0 由由 易得易得 2 )( )( I ,存在存在 ,使得使得V 0011 ,VV . 21 等式等式(I)两边同时作用两边同时作用 有有)()( 2121 II 注意到注意到 ,且且(I)式两边同时作用式两边同时作用 有有 0)0()( 2 2 .0)( 22 那么由那么由(II)易推得易推得).()( 11 注意到注意到 的特征值只能有的特征值只能有1和和0,那么必有那么必有 (否否 则则 就有特征值为就有特征值为-1,导致矛盾导致矛盾),于是就有于是就有: 0 1 00)()(

21、 12121 即有即有: . 0 例例6.3.9 (华东师范大学华东师范大学,2002年年)设设/A为数域为数域K上的上的n 维线性空间维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换,满足满足/A2=/A,C为为/A在在V 的某组基下的矩阵的某组基下的矩阵,且有且有r(C)=r. (1)证明证明: (i)A+E为为V的可逆线性变换的可逆线性变换;(ii)r(C)=tr(C). (2)试求试求|2E-C|.(E为单位矩阵或恒等变换为单位矩阵或恒等变换) 证明证明: (1)(i)显然只要证明显然只要证明C+I是个可逆阵即可是个可逆阵即可. 由由/A2=/A可知可知C2=C.由对矩阵由对矩阵 作分块矩作分

22、块矩 阵的初等变换可得阵的初等变换可得r(C)+r(I-C)=n.若设若设r(C)=r,那么矩那么矩 阵阵C对应于特征值对应于特征值1的线性无关的特征向量的个数为的线性无关的特征向量的个数为 r个个,对应于特征值对应于特征值0的线性无关的特征向量的个数为的线性无关的特征向量的个数为 n-r个个,将这些特征向量合并成可逆矩阵将这些特征向量合并成可逆矩阵P,有有: CI C 0 0 )( 00 0 1 IP I PC r 即知即知C+I可逆可逆,那么那么/A+/E为为V上的可逆线性变换上的可逆线性变换. (ii)显然由显然由(I)式可得式可得: (2)由由(I)知知: 那么有那么有: 11 0 0

23、2 00 0 P I I PIP I PIC rn rr 显然有显然有: 02| r IC )() 00 0 () 00 0 ()( 1 Crr I trP I PtrCtr rr rn rn rr P I I PP I PICI 2 20 0 00 0 2|2| 11 考点考点4:特征值、特征向量、矩阵的对角化与矩阵的特征值、特征向量、矩阵的对角化与矩阵的 幂幂 考点点拨：对矩阵的特征值、特征向量的定义和性考点点拨：对矩阵的特征值、特征向量的定义和性 质，以及利用矩阵的完全的特征向量系对角化并利质，以及利用矩阵的完全的特征向量系对角化并利 用对角化形式计算矩阵的幂的考查用对角化形式计算矩阵的

24、幂的考查,包含了将矩阵看包含了将矩阵看 成是线性变换的情形成是线性变换的情形. 例例6.4.1 (上海交通大学上海交通大学,2004年年)对于数域对于数域P上的上的n维维 线性空间线性空间V, 假设存在假设存在V上的线性变换上的线性变换 ,满足满足 (1) ; (2) 的秩小于的秩小于 的秩的秩. 试证明试证明: 与与 至少有一个公共的特征向量至少有一个公共的特征向量. , 0 分析分析:注意将线性变换转换成矩阵的形式以简化条件注意将线性变换转换成矩阵的形式以简化条件. 那么由题目条件可知那么由题目条件可知:CB=0,r(A)r(B). 下面找出下面找出A和和C的一个公共的特征向量的一个公共的

25、特征向量. 由条件由条件CB=0知知,B的列向量全属于线性方程组的列向量全属于线性方程组 Cx=0的解空间的解空间,那么显然有那么显然有B的列秩满足的列秩满足r(B)n-r(C). 由由r(A)r(B)知知r(A)+r(C)n. 证明证明:取定取定V中的一组基中的一组基e1,e2,en,不妨设不妨设 在这组基下的矩阵表示分别为在这组基下的矩阵表示分别为A,B,C. , 注意到注意到V1+V2 V,显然有显然有dim(V1+V2)dimV=n. 利用维数公式利用维数公式 dim(V1V2)=dimV1+dimV2-dim(V1+V2)0 证明证明:必要性显然必要性显然,下证充分性下证充分性. 即

26、存在非零向量即存在非零向量 V1V2,显然显然 就是属于就是属于A和和C 的特征值为零的公共的特征向量的特征值为零的公共的特征向量.那么以那么以e1,e2,en为为 基基,以以 为坐标的为坐标的V中的向量即为中的向量即为 与与 的一个公的一个公 共的特征向量共的特征向量. 例例6.4.2 (浙江大学浙江大学,2006年年)设设A为实矩阵为实矩阵,证明存在证明存在 正交矩阵正交矩阵G,使得使得G-1AG为上三角矩阵的充要条件是为上三角矩阵的充要条件是A 的特征值均为实数的特征值均为实数. 若若A的特征值全为实数的特征值全为实数,对对A的阶数的阶数n使用数学归纳使用数学归纳 法法. n=1时结论显

27、然成立时结论显然成立. 假设在假设在n-1时结论成立时结论成立,那么在那么在A的阶数为的阶数为n时时,取取A 的一个特征值为的一个特征值为 所对应的一个单位特征向量所对应的一个单位特征向量 , 显然有显然有 ,那么将那么将 扩充为扩充为n维列向量空间维列向量空间V 的一组标准正交基为的一组标准正交基为 ,将将A看成是看成是V上上 的线性变换的线性变换,有有: 1 11 A 1 n , 21 1 2121 0 ),(),( A b A nn 令正交阵令正交阵 ,那么那么 . Q n ),( 21 1 1 0A b AQQ 显然有矩阵显然有矩阵 与矩阵与矩阵A相似相似,那么它们有那么它们有 着相同

28、的特征值着相同的特征值,于是于是n-1阶矩阵阶矩阵A1的特征值必全为的特征值必全为 实数实数.利用归纳假设利用归纳假设,存在正交矩阵存在正交矩阵P1使得使得P1-1A1P1=D 为上三角矩阵为上三角矩阵,若令若令 ,显然显然G-1AG为上三为上三 角矩阵角矩阵. 1 0 * A 1 1 0 01 P QG 例例6.4.3 (北京航空航天大学北京航空航天大学,2004年年)设设T是是n维线性维线性 空间空间V的一个线性变换的一个线性变换, 是是T的一个特征值的一个特征值, 是是 T的关于特征值的关于特征值 的特征子空间的特征子空间,证明证明: 的维数的维数的的 重数重数 0 0 0 0 V 0

29、V 分析分析:也即特征值也即特征值 的几何重数不超过其代数重数的几何重数不超过其代数重数, 在一般的高代书上都有解答在一般的高代书上都有解答. 0 证明证明:设设dim =t,且有且有e1,e2,et是是 的一组基的一组基,由由 于于 中的元素都是中的元素都是T的关于的关于 的特征向量的特征向量,那么有那么有: 0 V 0 V 0 V 0 ), 2 , 1()( 0 tieeT ii 将将e1,e2,et扩充为扩充为V的一组基的一组基,记为记为e1,et,et+1,en, 那么那么T在这组基下的矩阵表示为在这组基下的矩阵表示为: B I A t 0 * 0 注注:几何重数和代数重数的定义几何重

30、数和代数重数的定义: 显然显然n维空间维空间V上的线性变换上的线性变换 有完全的特征向有完全的特征向 量系当且仅当量系当且仅当 有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 设设 是是V上的线性变换上的线性变换, 是是 的一个特征值的一个特征值, V0是关于是关于 的特征子空间的特征子空间,则称则称dimV0为为 的度数的度数 (或几何重数或几何重数), 作为作为 的特征多项式根的重数称的特征多项式根的重数称 为为 的重数的重数(或代数重数或代数重数).若若 的任一特征值的重数的任一特征值的重数 等于度数等于度数,则称则称 有完全的特征向量系有完全的特征向量系. 0 0 0 0 0 其中其

31、中,B是一个是一个n-t阶的方阵阶的方阵,而而A的特征多项式为的特征多项式为: 这表明这表明 的重数至少为的重数至少为t,即即 的维数的维数 的重数的重数 0 V 0 0 )()( 0 g t 例例6.4.4 (北京航空航天大学北京航空航天大学,2005年年)设设A,B为为n阶矩阶矩 阵阵,且且A有有n个互异的特征值个互异的特征值,则则A的特征向量恒为的特征向量恒为B的的 特征向量的充要条件是特征向量的充要条件是AB=BA. 解解: (1)必要性必要性 注意到注意到A有有n个互异的特征值个互异的特征值,那么意味着那么意味着A有完全有完全 的特征向量系的特征向量系,不妨设不妨设A的一个完全特征向

32、量系为的一个完全特征向量系为 e1,e2,en,那么由题知那么由题知e1,e2,en也为也为B的特征向量的特征向量,那那 么不妨设么不妨设: 若令若令P= (e1,e2,en),可得可得: ,),(),( ,),(),( 212121 212121 nnn nnn diageeeeeeB diageeeeeeA 1 21 1 21 , PPdiagBPPdiagA nn 显然有显然有: 1 2211 , PPdiagBAAB nn (2)充分性充分性 若若AB=BA ,不妨设不妨设A的某个特征值的某个特征值 的某个特征的某个特征 向量为向量为 ,那么显然那么显然A的特征子空间可写为的特征子空间

33、可写为 , 下面证明下面证明 必是必是B的一个特征向量的一个特征向量 V 由由AB =BA =B = B 知必有知必有 , 注意到注意到 是个一维的空间是个一维的空间,那么存在某个数那么存在某个数 使得使得 即即 必为必为B的一个特征向量的一个特征向量. VB V B 例例6.4.5 (武汉大学武汉大学,2006年年)设矩阵设矩阵A= ,其中其中 是是n维列向量维列向量, 是是 的转置的转置.又已知又已知 . (1)证明证明:A2=A. (2)证明证明:B=E+A+A2+An是可逆矩阵是可逆矩阵,并求并求B-1,这里这里 E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵. T T 1 T (2)显然可求得显然可求

34、得A为对称阵为对称阵, 且且A的全部特征值为的全部特征值为 0(n-1重重),1(一重一重).那么不妨设可逆阵那么不妨设可逆阵P使得使得 A=Pdiag1,0,0P-1. 于是有于是有B=E+A+A2+An=Pdiagn+1,1,1P-1 显然显然B为可逆阵为可逆阵,且有且有: 证明证明:(1)显然有显然有: AA TTTTT 1)()( 2 A n n I PPdiag n n I P n PdiagB 1 0,0,1 1 1 ,1 , 1 1 1 11 例例6.4.6(中山大学中山大学,2007年年)设设A是一个是一个nn实对称实对称 矩阵矩阵, 是是A的最大特征值的最大特征值.证明证明:

35、 n ji ij a n 1, 1 证明证明:不妨设对称阵不妨设对称阵A的的n个特征值为个特征值为., 21n 由题知由题知, ,而由而由A是对称阵显然存在正交是对称阵显然存在正交 矩阵矩阵Q使得使得:AQ=Q i ni 1 max ., 21n diag 设设Q= ,并取并取),( 21n 1 1 1 1 n 显然有显然有 构成构成n维列向维列向 量空间的一组基量空间的一组基,那么向量那么向量 可由它线可由它线 性表出性表出,不妨设为不妨设为: n , 21 n nn a a a Qaaa 2 1 2211 注意到注意到: 那么有那么有: n i i n T n T a a a a QQaaan 1 22 1 21 ),( T n TT n ji ij QdiagAa, 21 1, 把把 代入上式可得代入上式可得: n a a a Q 2 1 naaa a a a diagaaaAa n i i n i i n i ii n nn T n ji ij 1 2 1 2 1 2 2