矩阵运算法则（经典实用）

1、矩阵运算法则 矩阵的 转置、乘法（初等变换）、逆 矩阵运算法则 内容提要 矩阵的下列运算的性质与应用 乘法 转置 初等变换 逆 矩阵运算法则 定义定义 ，那么，那么，设矩阵设矩阵 ns ij nm ij bBaA 由定义，一个由定义，一个行矩阵与一个行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是列矩阵的乘积是一个一阶方阵，也就是一个数一个数： 并把此乘积记作并把此乘积记作），；，（ ，其中，其中 .2121 1 2211 njmi babababacc kjiksjisjijiij nm ij CnmB矩矩阵阵的的乘乘积积是是一一个个矩矩阵阵与与矩矩阵阵 乘法 矩阵运算法则 定义中矩阵定义中

2、矩阵(=AB)的元素的元素cij是矩阵是矩阵A 的的 第第i 行行元素与矩阵元素与矩阵B的的第第j 列列对应元素乘积之和对应元素乘积之和. 注意注意 只有当第一个矩阵只有当第一个矩阵(左左矩阵矩阵)的的列列数等数等 于第二个矩阵于第二个矩阵(右右矩阵矩阵)的的行行数时，数时，两个矩阵才两个矩阵才 能相乘能相乘. sjisjiji sj j j isii bababa b b b aaa 2211 2 1 21 , n k ijkjik cba 1 矩阵运算法则 矩阵的乘法满足下述运算规律矩阵的乘法满足下述运算规律 结结合合律律)()(.BCACAB1 ACABCBA2 )(. ).()()(.

3、BABAAB3 分分配配律律CABAACB )( 矩阵运算法则 矩阵的幂矩阵的幂 A 是一个是一个n 阶矩阵阶矩阵, k 是一个正整数是一个正整数,规定规定 个个k k AAAA 矩阵的幂满足规律矩阵的幂满足规律 ., lklklklk AAAAA 其中其中 k , l 为正整数为正整数.对于两个对于两个 n 阶矩阵阶矩阵 A与与 B，一般说，一般说 .)( kkk BAAB k n 2 1 00 00 00 k n k 2 k 1 00 00 00 例例 8 矩阵运算法则 矩阵的转置 定义 把矩阵A的行列（按原顺序互换）互换所 得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵，以AT表示。 即 A(aij)m

4、n，AT(aji)nm 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 11211 12222 12 m mT nnmn aaa aaa A aaa 矩阵运算法则 11 01, 23 A 例若 T A则则 矩阵的转置满足下述运算规律矩阵的转置满足下述运算规律 AA1 TT )(. TTT BABA2 )(. TT AA3 )(. . 311 201 T AB4)(. TT AB (ABC)TCTBTAT 对于多个矩阵相乘，有 1221 T TTT tt A AAAAA 矩阵运算法则 证明：设 , ns ij sm ij bBaA 记 ., mn ij TT nm i

5、j dDABcCAB 由矩阵的乘法定义，有 , 1 s k kijkji bac 而BT的第i行为, 1sii bb AT的第j列为 , 1 js j a a 因此 s k s k kijkjkkiij baabd 11 , 所以 ,2, 1;,2, 1mjnicd jiij 即D=CT，亦即BTAT=(AB)T. 方阵的行列式运算满足下述规律方阵的行列式运算满足下述规律 : AA1 T . AA2 n . BAAB3 . 定义定义 由由 n 阶矩阵阶矩阵 A 的元素（按原来的位置）的元素（按原来的位置） .A记记作作 称为方阵称为方阵 A 的行列式的行列式, 为数）为数）阶矩阵，阶矩阵，是是

6、其中其中 nBA,( 构成的行列式，构成的行列式， 方阵的行列式方阵的行列式 T T AA .A ，设设 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A1. ， 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 那么那么 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A 于是于是 矩阵运算法则 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa 333231 232

7、221 131211 aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 2. 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵, 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A .A 3 那么那么 于是于是 ,为为数数 矩阵运算法则 初等矩阵初等矩阵 1 ()( 1 1 k iEkiE k rkr ii 则则 ，的的逆逆变变换换为为变变换换 . )()( )( 1 kijEkijE rkrkrr jiji 则则 ，的的逆逆变变换换为为变变换换 矩阵运算法则 定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等为可逆方阵，则存在有限个初等

8、方阵方阵., 2121ll PPPAPPP 使使 证证 , EA 使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵, 21l PPP APEPPPP lrr 121 .PPPA l 21 即即 ., : BPAQQnPm BAnm 使使阶可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵 存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论 ,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故 矩阵运算法则 利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法： ，有，有时，由时，由当当 l PPPAA 21 0 , 1 1 1 1 1 EAPPP ll , 11 1 1 1 1 AEPPP ll 及及

9、 EPPPAPPP llll 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 AE EAPPP ll 1 1 1 1 1 . )(2 1 AEEA EAnn 就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把 施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对 矩阵运算法则 . 1B A 矩阵矩阵 的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵 E )()( 11 BAEBAA )(BA BA 1 即即 初等行变换初等行变换 矩阵运算法则 例例 . 34 13 52 , 343 122 321 , BA BAXX，其其中中使使求求矩矩阵阵 解解. 1B AXA 可可逆逆，则则若

10、若 34343 13122 52321 )(BA 矩阵运算法则 122620 91520 52321 31100 91520 41201 31100 64020 23001 12 2rr 13 3rr 21 rr 23 rr 31 2rr 32 5rr 矩阵运算法则 ， 31100 32010 23001 . 31 32 23 X ）（2 2 r ）（1 3 r 31100 64020 23001 31 2rr 32 5rr 矩阵运算法则 . 1 CAY即即可可得得 作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),( TT CA , 1 作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果

11、果要要求求 C A CAY , C A 1 CA E列变换列变换 ),)( ,(), 1TTTT CAECA （ 列变换列变换 TT1 C)( AY T 即可得即可得,C)( T1 T A .Y即可求得即可求得 矩阵运算法则 . , 1000 1100 1110 2222 A 1, n ji ij AA n 式之和式之和中所有元素的代数余子中所有元素的代数余子求求 方阵方阵已知已知 解解 例例3 3 , 02 A.可逆可逆A . 1* AAA且且 矩阵运算法则 10001000 01001100 00101110 00012222 EA 10001000 11000100 01100010 0

12、01 2 1 0001 矩阵运算法则 例1. 3 -1 设A ，求A-1 2 -1 解： 3 -1 1 0 +(-1) 1 0 1 -1 +(-2) 2 -1 0 1 2 -1 0 1 1 0 1 -1 (-1) 1 0 1 -1 0 -1 -2 3 0 1 2 -3 1 -1 则A-1 2 -3 这表明A不是满秩矩阵，则A不可逆，A-1不存在， 因为AI的左边不能化为单位矩阵。 所以，如果在阶梯化的过程中出现了0行， 则表示矩阵不可逆。 矩阵运算法则 二、解矩阵方程 解矩阵方程AXB，即求矩阵X满足此等式。 如果矩阵A可逆,把等式两边左乘A-1，即得 A-1AXA-1B，于是XA-1B 因此

13、，先求出A-1，再做矩阵的乘法即可。 例4. 解矩阵方程AXB，其中 -2 1 0 5 -1 A 1 -2 1 ，B -2 3 0 1 -2 1 4 矩阵运算法则 解： -2 1 0 1 0 0 1 -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 1 -2 1 0 1 0 0 1 -2 0 0 1 0 0 -4 1 2 3 1 0 0 -3/4 -1/2 -1/4 0 1 0 -1/2 -1 -1/2 0 0 1 -1/4 -1/2 -3/4 3 2 1 A-1-1/4 2 4 2 1 2 3 矩阵运算法则 3 2 1 5 -1 XA-1B-1/4 2 4 2 -2 3 1 2 3 1 4 12 7 1/4 4 18 4 17 矩阵运算法则 矩阵运算法则 练习 2 个 Page 174. 5 请用三种方法 先求系数矩阵的逆矩阵, 用伴随矩阵的方法 求逆矩阵 也先