正定二次型与正定矩阵（经典实用）

1、正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 正定二次型和正定矩阵的概念正定二次型和正定矩阵的概念 判别二次型或矩阵正定的方法判别二次型或矩阵正定的方法 7 正定二次型正定二次型 正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念，结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 二次型的标准形不是唯一的。二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的标准形中所含项数是确定的( 即是二

2、次型的秩即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。不变的。 正定二次型和正定矩阵的概念正定二次型和正定矩阵的概念 定理定理11 ( 惯性定理惯性定理 ) 设有实二次型设有实二次型 , xAxf T 它的秩是它的秩是 r ，有两个实的可逆变换，有两个实的可逆变换 , zPxyCx 与与 . , )0(, )0(, 2121 22 22 2 11 22 22 2 11 个数相等个数相等 中正数的中正数的中正数的个数与中正数的个数与则则 及及 使使 rr irr irr kkk zzz kykykyk 正数的个数称为正数的个数

3、称为正惯性指数正惯性指数，负数的个数，负数的个数 称为称为负惯性指数负惯性指数 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 对任何对任何 x 0 , 都有都有 f(x) 0 , 则称则称 f 为为负定二次型负定二次型， 并称对称阵并称对称阵 A 是是负定的负定的 ，记作，记作 A 0,（显然（显然 f(0) = 0 ），则称），则称 f 为为正定正定 二次型二次型，并称对称阵，并称对称阵 A 是是正定的正定的。记作。记作 A 0 ；如果；如果 定理定理12 实二次型实二次型xAxf T 为正定的充分为正定的充分 必要条件是：它的标准形的必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。个系数全为正。

4、证证 设可逆变换设可逆变换使使yCx 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 先证充分性先证充分性 . 0)( , 0, 0)., 2 , 1(0 1 2 1 n i ii i ykxf xCxnik 故故则则任任给给设设 推论推论 对称阵对称阵 A 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：A 的特的特 征值全为正。征值全为正。 再证必要性：用反证法。假设有再证必要性：用反证法。假设有 ks 0 , 则则 ,时时当当 s ey ( 单位坐标向量单位坐标向量 ) 时，时，, 0)( ss keCf . 0 s eC显显然然这与假设这与假设 f 正定矛盾，正定矛盾， . 0 i k故故

5、正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 定理定理13 对称阵对称阵 A 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即的各阶主子式都为正。即 ; 0, 0, 0 1 111 2221 1211 11 nnn n aa aa aa aa a 对称阵对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为 负，而偶数阶主子式为正。即负，而偶数阶主子式为正。即 )., 2 , 1( , 0)1( 1 111 nr aa aa rrr r r 这个定理称为这个定理称为霍尔维兹定理霍尔维兹定理。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 注意

6、：对于二次型，除了有正定和负定以外，注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。还有半正定和半负定及不定二次型等概念。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 判别矩阵正定的方法判别矩阵正定的方法 根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。的正定性有两种方法。 一是求出一是求出A 的所有特征值。若的所有特征值。若A 的特征值均为的特征值均为 正数，则正数，则A 是正定的；若是正定的；若A 的特征值均为负数，则的特征值均为负数，则A 为负定的。为负定的。 二是计算二是计算A 的各阶主子式。若的各阶主子

7、式。若A 的各阶主子式的各阶主子式 均大于零，则均大于零，则A 是正定的；若是正定的；若A 的各阶主子式中，的各阶主子式中， 奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。为负定的。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 例例16 判定对称矩阵判定对称矩阵 300 031 013 A正定性。正定性。 解解 方法一方法一, 03 11 a因为因为 , 08 31 13 2221 1211 aa aa , 024 300 031 013 | A 所以所以A 是正定的。是正定的。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 ),4)(3)(2( 300 031 01

8、3 | EA 方法二：方法二：A 的特征多项式为的特征多项式为 . . 4, 3, 2 321 正正定定的的 是是从从而而知知的的特特征征值值为为故故AA 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型的正定性。若二次型 f 的的 对称矩阵对称矩阵A 是正定的，则是正定的，则f 是正定二次型；若是正定二次型；若A 是是 负定的，则负定的，则 f 也是负定二次型。也是负定二次型。 二是

9、将二是将 f 化为标准形。若其标准形的化为标准形。若其标准形的 n 个系数个系数 全为正，则全为正，则 f 是正定的；若是正定的；若 f 的标准形的的标准形的 n 个系数个系数 全为负，则全为负，则 f 是负定的。是负定的。 由于将由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。法一般不用。 判别二次型正定的方法判别二次型正定的方法 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 解解f 的矩阵是的矩阵是, 402 062 225 A , 080 , 026 62 25 , 05 2221 1211 11 A aa aa a 所以所以 f 是负定的。是负定的

10、。 例例1717判别二次型判别二次型 xzxyzyxf44465 222 的正定性。的正定性。 A 的各阶主子式为：的各阶主子式为： 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 例例18 设二次型设二次型 ., 42244 323121 2 3 2 2 2 1 为为正正定定二二次次型型取取何何值值时时问问f xxxxxxxxxf 解解f 的矩阵是的矩阵是 , 421 24 11 A , 0)2)(1(4 , 04 4 1 , 0 2 2221 1211 11 A aa aa a A 的各阶主子式为：的各阶主子式为： .,12二次型为正定的二次型为正定的时时解得解得 正定二次型与正定矩阵正定二次型

11、与正定矩阵 Ex.11判别二次型判别二次型 2 33121 2 1 42xxxxxxf 解解f 的矩阵是的矩阵是 , 102 001 211 A , 01 102 001 211 , 01 01 11 , 01 2221 1211 11 A aa aa a 所以所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次既不是正定的，也不是负定的，即不定二次 型。型。 的正定性。的正定性。 A 的各阶主子式为：的各阶主子式为： 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 例例19 设设C 是满秩矩阵，实对称矩阵是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的，是正定的， 则则C TAC是正定的。是正定的。 证证因为因为A

12、 为正定，所以对任意为正定，所以对任意, 0 x , 0 xAxf T 有有, yCx 作作 ,)(yACCyf TT 则则 , 0,0 1 xCyCx 得得可可逆逆及及由由 , 0)( yACCyxAxf TTT 从从而而 即即C TAC是正定的。是正定的。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 Ex.12 证明：若实对称矩阵证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵，为正定矩阵， 则则 aii 0 ( i =1, 2, , n ). 证证因为因为A 为正定，所以对任意为正定，所以对任意, 0 x , 0 xAxf T 有有),0 , 1 , 0( T i ex取取 )., 2

13、 , 1(0niaxAx ii T 则则 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 第五章小结第五章小结 本章通过向量的内积，从而给本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度维向量建立了度 量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩 阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵 所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似对角 化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型 提供了一种重要方法：正交变换法。由二次型与实提供了

14、一种重要方法：正交变换法。由二次型与实 对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为 矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 第五章主要方法第五章主要方法 一一) 方阵的特征值与特征向量的求法方阵的特征值与特征向量的求法 |;|)().1(EAfA 的的特特征征多多项项式式计计算算 ;,0)().2(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出Af . , , 0)( ).3( 的的全全部部特特征征向向量量于于特特征征值值 的的属属线线性性组组合合就就是是则则这这个个基基础础

15、解解系系的的非非零零系系 个个基基础础解解并并求求出出这这个个方方程程组组的的一一 线线性性方方程程组组的的特特征征值值逐逐个个代代入入齐齐次次把把 A xEA A 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 二二 ) 用正交方阵将方阵化为对角阵的方法用正交方阵将方阵化为对角阵的方法 (1).求求A 的特征值；的特征值； (2).求求A 的特征值对应的的特征值对应的n 个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单 特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征特征值所对应的特征向量一起就得到两两正交的特征

16、 向量；向量； (4). 将将 (3) 中中 n 个特征向量单位化，得到个特征向量单位化，得到 n 个两两个两两 正交的单位特征向量；正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的 正交矩阵，且有正交矩阵，且有 . 1 APP 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 三三) 化二次型为标准型的方法化二次型为标准型的方法 (1).正交变换法正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵写出二次型对应的矩阵A . 2 .将将A化为对角阵，求出正交阵化为对角阵，求出正交阵P . 3 .写出标准型，且正交变换为写出标准型，且正交变换为X=PY . (2).配方法配方法 1.含有平方项，直接配方；含有平方项，直接配方； 2.不含有平方项不含有平方项,化成含有平方项化成含有平方项,再配方再配方; 正定二次型与正