2019年上海市崇明区高考数学一模试卷

1、2019 年上海市崇明区高考数学一模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4 小题，共 20.0 分）1.若 a0 b，则下列不等式恒成立的是（）A.B. -a b2b233C. aD. a b2.“ p 2”是“关于x 的实系数方程x2+px+1=0 有虚数根”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知满足，且，则中最小的值是 （）A.B.C.D. 不能确定4. 函数 f（ x）=x，g（ x）=x2-x+2若存在 x1，x2， ， xn0， ，使得 f（ x1）+f（ x2）+f（ xn-1 ）+g（ xn）=g（ x1）+

2、g（x2）+g（ xn-1）+f（xn ），则 n 的最大值是 （）A. 11B. 13C. 14D. 18二、填空题（本大题共12 小题，共 54.0 分）5.=_6.已知集合A= x|-1 x 2 ， B=-1， 0， 1， 2， 3 ，则 AB=_ 7. 若复数 z 满足 2z+ =3-2i ，其中 i 为虚数单位，则 z=_8. （ x2- ） 8 的展开式中 x7 的系数为 _（用数字作答）9.角 的终边经过点P（ 4， y），且，则 tan =10.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y2=4 x 上一点 P 到焦点的距离为5，则点 P的横坐标是 _11.223x+4 y+5=0

3、 的距离等于 _圆 x +y -2x+4y=0 的圆心到直线12.设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于_13.若函数fx =log 2的反函数的图象过点（ -3， 7），则 a=_（ ）14. 2018 年上海春季高考有 23 所高校招生，如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取，那么不同的录取方法有 _种15. 设 f（ x）是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 0， 1上单调递减，且满足f（ ） =1， f （2） =2，则不等式组的解集为 _16. 已知数列 an 满足： a1=0，对任意的 nN* 都有 an+1 an 成立函数 f n（x） =|

4、sin （ x-an）|， xan，an+1满足：对于任意的实数 m0， 1），f n（ x）=m 总有两个不同的根，则 an 的通项公式是_三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）第1页，共 16页17.如图，设长方体ABCD -A1B1C1D1 中， AB=BC =2，直线 A1C 与平面 ABCD 所成角为（ 1）求三棱锥 A-A1BD 的体积；（ 2）求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小18. 已知函数f x）=cosxsinx+（?（ 1）求函数f（ x）的单调递增区间；（ 2）在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 f（ A）= ，a=3，b=

5、4求ABC 的面积19.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25 万元 1600 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%（即：设奖励方案函数模型为y=f（ x）时，则公司对函数模型的基本要求是：当 x25，1600时， f（ x）是增函数； f（ x）75恒成立； （ 3）恒成立）（ 1）判断函数是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（ 2）已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围第2页，共 16页20. 已知椭圆，B，B

6、 分别是椭圆短轴的上下两个端点，F 是121：椭圆的左焦点， P 是椭圆上异于点B1，B2 的点，若 B1F 1B2 的边长为4 的等边三角形（ 1）写出椭圆的标准方程；（ 2）当直线 PB 1 的一个方向向量是 （ 1，1）时，求以 PB1 为直径的圆的标准方程；（ 3）设点 R 满足： RB1PB1， RB2PB2，求证： PB1B2 与 RB1B2 的面积之比为定值21. 已知数列 an ， bn 均为各项都不相等的数列，Sn 为 an 的前 n 项和，（ 1）若，求 a4 的值；（ 2）若 an 是公比为q（ q1）的等比数列，求证：数列为等比数列；（ 3）若 an 的各项都不为零，

7、bn 是公差为 d 的等差数列， 求证： a2，a3， ，an， 成等差数列的充要条件是第3页，共 16页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：a0b，若 a=-1，b=1，则 A ，B，C 不正确，对于 D，根据幂函数的性 质即可判断正确，故选：D若 a=-1，b=1，则 A ，B，C 不正确，对于 D，根据幂函数的性 质即可判断正确本题考查了不等式的大小比 较，特殊值法是常用的方法，属于基 础题2.【答案】 B【解析】解：关于x 的实系数方程 x2+px+1=0 有虚数根的充要条件 为：=p2-4 0，即 -2p2，又 “p2”不能推出 “-2 p 2”，“-2p2”能推出 “p2”，即

8、“p2”是 “关于 x 的实系数方程 x2+px+1=0 有虚数根 ”的必要不充分条件，故选：B先求出关于 x 的实系数方程 x2+px+1=0 有虚数根的充要条件 为：=p2-4 0，即 -2p2，再由“p 2”与“-2p2”的关系得解，本题考查 了充分条件、必要条件、充要条件及 简易逻辑 知识 ，属简单题3.【答案】 B【解析】解：， =-（），两边同时平方可得，=，同理可得，=，=，第4页，共 16页22即22故最小的 为故选：B由已知可得 =-（），两边同时平方可得=，同理可得，=，=，结合，即可判断本题主要考查了向量的数量 积的性质的简单应用，属于基础试题4.【答案】 C【解析】解：

9、f（x 1）+f（x2）+f （xn-1）+g（xn）=x1+x2+xn-1+xn2-xn+2，g（x1）+g（x2）+g （xn-1）+f（xn）=x12+x22+xn-12-（x1+x2+xn-1）+2（n-1）+x n，2222+ +（x）（）（），（x1-1）+（x2-1）n-1-1 + n-2 = xn-1n-2=（x2222） （） （）+ +（x）n-1 - x1-1+ x 2-1n-1-1 当x =x= =x=1，x =时，（n-2）=（ -12=，）1 2n-1nmaxn-2，又nN，nmax=14故选：C由已知得 n-2=（x2222，x ， ，xn-1） （） （）+ +

10、（x） ，又n0，- x1-1+ x2-1n-1-1 x1 2，可求 n 的最大 值本题考查参数的最 值，配方是关键，考查推理能力和 计算能力，属中档题5.【答案】【解析】解：=第5页，共 16页=，故答案为： 将分式分子、分母同时除以 n，再利用，可求解本题考查了极限的运算，属简单题6.【答案】 0 ， 1【解析】解：AB=0 ，1 故答案为：0 ，1 直接利用交集运算得答案本题考查了交集及其运算，是基 础题7.【答案】 1-2i【解析】解：设 z=a+bi，（a、b 是实数），则=a-bi，2z+=3-2i，2a+2bi+a-bi=3-2i，3a=3，b=-2，解得 a=1，b=-2，则

11、z=1-2i故答案为：1-2i设复数 z=a+bi，（a、b 是实数），则=a-bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得 a、b 的值，从而得到复数 z 的值本题给出一个复数乘以虚数 单位后得到的复数，求 这个复数的 值，着重考查了复数的四 则运算和复数相等的含 义，属于基础题8.【答案】 -56【解析】T16-3r解： r+1=x，令 16-3r=7，解得 r=32-87的系数为=-56（x）的展开式中 x故答案为：-56第6页，共 16页利用通项公式即可得出本题考查了二项式定理的应查计算能力，属于基础题用，考 了推理能力与【答案】9.【解析】解：角的终边经过 点 P（4，y），且=，则

12、tan =- ，y=-3，故答案为：-由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 tan 的值本题主要考查任意角的三角函数的定 义，属于基础题10.【答案】 4【解析】2解：抛物线 y =4x=2px，由抛物 线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，|PF|=x+1=5，x=4，故答案为：4由抛物 线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知 |PF|=5，则 P 到准线的距离也 为 5，即 x+1=5，即可求出 x考查了抛物线的定义、焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题11.【答案】 0【解析】解：由已知得圆心为：P（1，-2），由点

13、到直 线距离公式得：d=0，故答案为：0先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题第7页，共 16页12.【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径圆锥的高 h= 圆锥的体积 V=故答案为：为 r，则 2r=2，r=1= = 根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥 底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可本题考查了圆锥的结构特征，侧面展开图，属于基础题13.【答案】 6【解析】解：f（x ）的反函数图象过点（-3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，-3），f（7）=-3，即log2=-3，=2-3，a=6故

14、答案为：6f（x ）的反函数图象过点（-3，7），所以原函数f（x）的图象过（7，-3），然后将点（7，-3）代入f （x）可解得本题考查了反函数属基础题14.【答案】 1518【解析】解：由题意知本题是一个分步 计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从 23 所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A 232=1518，故答案为：1518解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两 组，第二步从 23 所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解第8页，共 16页本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成 题

15、目分成三步，看清每一步所包含的 结果数，本题是一个基 础题15.【答案】 -2， 8-2【解析】解：f（x ）是以2 为周期的偶函数，且 f（x）在0，1上单调递减；由 f（）=1，f（2）=2 得，f （4-）=1，f （2-6）=2，且4-，2-60，1；由 1x2得，02-x1；由得，；解得 -2x8-2；原不等式 组的解集为 -2，8-2故答案为：-2，8-2根据 f （x）是以2 为周期的偶函数，并且在 0，1上单调递减，便可由 f （）=1，f（2）=2 得出 f （4-）=1，f （2-6）=2，并且由 1x2得出 02-x1，从而由 1f（x）2得出 f（4-）f（2-x）f（

16、2-6），进而得出，解该不等式组即可考查周期函数和偶函数的定 义，以及减函数的定义，不等式的性质16.【答案】 an=【解析】解：a1=0，当n=1 时，f1（x）=|sin（x-a1）|=|sinx|，x0，a2，对（x）=m总有两个不同的根， a =，又 任意的 m0，1），f12f1（x）=sinx，x0，a2=，又 f2（x）=|sin （x-a2）|=|sin （x-）|=|cos |，x ，a3，对x）=m总有两个不同的根， a =3， 任意的 m0，1），f（31又 f3（x）=|sin （x-a3）|=|sin （x-3）|=|sin |，x3 ，a4 ，对任意的 b0，1），

17、f（x ）=m总有两个不同的根， a =6，14由此可得 an+1-an=n，第9页，共 16页an=a1+（a2-a1）+ +（an-an-1）=0+ +（n-1）=，故答案为：an=，利用三角函数的 图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得 an+1-an=n，再利用 “累加求和 ”方法、等差数列的求和公式即可得出本题考查了三角函数的 图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和 ”方法、等差数列的求和公式，考 查了推理能力与 计算能力，属于中档题17.【答案】解：（ 1）连接 AC，则 A1CA 为 A1C 与平面 ABCD 所成的角，A1 CA= ，AB=BC=2，V=V= ，（

18、2）连接 A1D，易知 A1DB1C，BA1D（或其补角）即为所求，连接 BD，在 A1DB 中， BD=2，由余弦定理得：cosBA1D = ，第10 页，共 16页，故异面直线A1B，B1C 所成角的大小为arccos 【解析】（1）转换顶点，以 A 1 为顶点，易求体积；（2）B1C 平移至 A1D，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大18.【答案】 解：（ 1）函数 f （ x） =cosx?sinx+= sin2x+ cos2x=sin （ 2x+）令2x+，得x，f（x）的单调递增区间为，； kZ；（ 2）由 f（A） = ，

19、即 sin（ 2A+ ）= ，ABC 是锐角三角形， 2A+ =可得 A=余弦定理： cosA=解得： c=ABC 的面积 S=4【解析】（1）利用二倍角，辅助角公式化 简，结合三角函数的 单调性即可求解 f （x）的单调递增区间；（2）根据f （A ）=，求解 A ，a=3，b=4利用余弦定理求解 c，即可求解ABC的面积本题主要考查三角函数的 图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本 题的关键第11 页，共 16页19.【答案】 解：（ 1）对于函数模型f（x） =+10 ，当 x25 ，1600时， f（ x）是单调递增函数，则f（x） f（ 1600 ）=10

20、75，显然恒成立，若函数 f（ x）=+10- 0恒成立，即x60f（x） =+10 不恒成立，综上所述，函数模型f（ x） =+10 ，满足基本要求，但是不满足，故函数模型f（ x） =+10 ，不符合公司要求；（ 2） x25 ，1600 时， g（ x） =a-5 有意义，g（ x） max =a-5 75，a2，设 a -5 恒成立，ax（ 5+ ）2 恒成立，即 a +2+ ， +2=2 ，当且仅当x=25 时取等号，a2a1，1a2，故 a 的取值范围为1， 2【解析】（1）研究它的单调性和恒成立 问题，即可判断是否符合的基本要求；2）先求出g（x）时a 的范围满足恒成（max=a

21、-575，此，再求出立 a 的范围，即可求出本题主要考查函数模型的 选择，其实质是考查函数的基本性 质，同时，确定函数关系 实质就是将文字 语言转化为数学符号 语言-数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的 结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化1B1F1B2 的边长为 4的等边三角形，得a=4，且 b=220.【答案】 （ ）解：如图，由 椭圆的标准方程为；（ 2）解： 直线 PB1 的一个方向向量是（1， 1），直线 PB1 所在直线的斜率k=1，则直线 PB 1 的方程为y=x+2，第12 页，共 16页联立，得 5x2+16x=0，解得， 则 PB1 的中点坐标为，则以 PB1

22、为直径的圆的半径r =以 PB1 为直径的圆的标准方程为；（ 3）证明：方法一、设P（ x0， y0）， R（ x1 ，y1）直线 PB1 的斜率为，由 RB1PB1，得直线 RB1 的斜率为于是直线 RB1 的方程为：同理， RB2 的方程为：联立两直线方程，消去y，得P（ x0， y0）在椭圆上，从而，方法二、设直线 PB1， PB2 的斜率为 k， k，则直线 PB1 的方程为 y=kx+2由 RB1 PB1，直线 RB1 的方程为 y=-，将 y=kx+2 代入22，得（ 4k +1） x +16kx=0，P 是椭圆上异于点 B1，B2 的点， x0 0，从而 x0=P（ x0， y0

23、）在椭圆上，从而k?k = ，得RB2PB2， 直线 RB2 的方程为y=4kx-2联立，解得，即第13 页，共 16页=|=4【解析】（1）由B1F1B2 是边长为 4 的等边三角形得 a=4，进一步求得 b=2，则椭圆方程可求；（2）由直线 PB1 的一个方向向量是（ 1，1），可得直线 PB1所在直线的斜率 k=1，得到直线 PB1 的方程，由椭圆方程联立，求得 P 点坐标，得到PB1 的中点坐 标，再求出 |PB1|，可得以 PB1 为直径的圆的半径，则以 PB1 为直径的圆的标准方程可求；（3）方法一、设 P（x0，y0），R（x1，y1）求出直线 PB1 的斜率，进一步得到直 线RB1 的斜率，得到直线 RB1 的方程，同理求得直 线 RB2 的方程，联立两直线方程求得 R 的横坐标，再结合 P（x0，y0）在椭圆上可得 x1 与 x0 的关系，由求解；方法二、设直线 PB1，PB2 的斜率为 k，k，得直线 PB1 的方程为 y=kx+2 结合线RB1 的方程为y=-，把y=kx+2与椭圆方程联立可RB1PB1，可得直得 x0=，再由 （ ，y椭圆上，得